Министерствообразования Республики БеларусьУчреждениеобразования Гомельский государственныйуниверситетимени Франциска СкориныМатематическийфакультетКафедраДифференциальных уравненийКурсоваяработа«Системы, эквивалентныесистемам с известным типом точек покоя»Гомель 2005
Реферат
Курсоваяработа состоит из 14 страниц, 2-х источников.
Ключевыеслова: вложимая система, с известным типом точек покоя, первый интегралдифференциальной системы, отражающая функция, класс систем эквивалентныхсистеме с известным типом точек покоя, непрерывно дифференцируемая функция.
Цельюкурсовой работы является исследование системы с известным типом точек покоя, нахождениепервого интеграла системы, применение теоремы об эквивалентности дифференциальныхсистем.
Содержание
Введение
Определение вложимойсистемы. Условия вложимости
Общее решение системы
Нахождение первогоинтеграла дифференциальной системы и условия его существования
Отражающая функция
Применение теоремы обэквивалентности дифференциальных систем
Заключение
Список использованныхисточников
Введение
В курсовойработе рассматривается вложимая система с изаестным типом точек покоя. Какизвестно система является вложимой, если любая компонента этой системы вложима,т.е. система вложима тогда и только тогда, когда множество её решений являетсяподмножеством множества решений некоторой линейной стационарной системы.
В 1–2 мпунктах рассматривается вложимая система, с известным типом точек покоя. Далеепроверяем являются ли x и y общим решением нашей системы уравнений.
Во 3-м мы находимпервый интеграл системы и проверяем выполнение тождества.
В 4-м пунктеприменяем теорему об эквивалентности дифференциальных систем.
1. Определение вложимойсистемы. Условия вложимости
Рассмотримдифференциальную систему
/> /> />D. (1)
Будемназывать i-юкомпоненту x/> системы (1) вложимой,если для любого решения x(t)=(x/>(t),…, x/>(t)), t/>, этой системы функция x/>t/>, являетсяквазимногочленом. Таким образом i-я компонента системы (1) вложима тогда и только тогда, когдадля каждого решения x(t)этой системы существует линейное стационарное уравнение вида
/>
/>/>, (2)
для которого/> является решением.
Вообщеговоря, порядок и коэффициенты уравнения (2) зависят от выбора решения />. В частном случае, когдакомпонента /> любого решения /> системы (1) являетсяодновременно и решением некоторого, общего для всех решений /> уравнения (2), компоненту />системы (1) будем называтьсильно вложимой в уравнение (2).
2. Общеерешение системы
Рассмотрим вложимуюсистему
/> (1)
/>(b>0 и а-постоянные) с общим решением
/>, если с/>0;
x=0, y=at+c/>, если с=0, гдепостоянные с, с/>, с/> связаны соотношением с/>(b+c/>+c/>)=a/>, имеет два центра вточках/>/>и />./>
Решение:
Подставимобщее решение
/> в нашу систему (1) получим />
/>/>
=/>/>=c(c/>cosct-c/>sinct)=/>
a-/>/>
Для краткостираспишем знаменатель и преобразуем
x/>+y/>+b=/>
/>/>=/>
/>/>
=a+c(c/>sinct+c/>cosct)
a-/>/>
/>
Получаем, чтоx и y являются общим решениемсистемы.
3. Нахождениепервого интеграла дифференциальной системы и условия его существования
Рассмотримсистему />= f (t, x), x= (x/>,…, x/>), (t, x)/> (1) снепрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторойподобласти Gобласти D,называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решенияx(t), t/>, системы (1), графиккоторого расположен в G функция U (t, x(t)),t/>, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только отвыбора решения x(t)и не зависит от t.
Пусть V (t, x), V:G/>R, есть некоторая функция.Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V/> V/>R, определяемую равенством
V/> (t, x(t))/>t/>.
Лемма 1.
Для любогорешения x(t), t/>, системы (1), графиккоторого расположен в G, имеет место тождество
V/>/> t/>.
Бездоказательства.
Лемма 2.
Дифференцируемаяфункция U(t, x), U:G/>R, представляет собой первыйинтеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U/> в силу системы (1)тождественно в G обращается в нуль.
Необходимость.Пусть U (t, x) есть первый интегралсистемы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества
U/>/>/>
Откуда при t=t/> получим равенство U/>(t/> справедливое при всехзначениях t/> и x(t/>). Необходимостьдоказана.
Достаточность.Пустьтеперь U/> при всех (t, x)/> Тогда для любого решения x(t) системы (1) наосновании леммы1 будем иметь тождества
/>
а с ним идостаточность.
Изопределения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также являетсяпервым интегралом системы (1). Первый интеграл U (t, x) будем называть на G, если при всех (t, x)/> выполняется неравенство.
/>
Функцию U(x) будем называть стационарнымпервым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первыминтегралом системы (1).
Найдемпервый интеграл нашей системы:
/>
Возведем вквадрат и выразим с
/>
y/>
/>
/>
/>
/>
Положим />, получим
/>
/>
/>
/>
/>
Проверим, чтофункция />/> – это первый интегралсистемы (1), т.е. проверим выполнение тождества /> (2)
Найдемпроизводные по t, x, y
/> /> />
/>/>/>/>/>/>/>/>
После вышесделанных преобразований получаем, что функция />/> – это первый интегралсистемы (1),
2) Положим />, т.е. />,
где />, Q/>/>
3) Проверимвыполнение тождества:
/> (3), где />
Преобразуем(3).
/>[в нашем случае />] = />/>/>/>=/>[учитывая все сделанныеобозначения] =
=/>
=/>
=/>[ввиду того, что />которое в свою очередь какмы уже показали есть тождественный ноль]/>
Таким образом,тождество (3) истинное.
/>
4.Отражающая функция
Определение. Рассмотрим систему
/> (5)
cчитая, что правая частькоторой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по />. Общее решение в формеКоши обозначено через />). Через />обозначим интервалсуществования решения />.
Пусть
/>
Отражающейфункцией системы (5) назовём дифференцируемую функцию />, определяемую формулой
/>
Дляотражающей функции справедливы свойства:
1.) длялюбого решения />системы (5) вернотождество
/>
2.) дляотражающей функции F любой системы выполнены тождества
/>
3) дифференцируемаяфункция /> будет отражающей функциейсистемы (5) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений вчастных производных
/>
и начальномуусловию
/>
5. Применениетеоремы об эквивалентности дифференциальных систем
Получаем /> где />-любая нечетная непрерывная функция.
Наряду сдифференциальной системой /> (1)
рассмотримвозмущенную систему/> (2), где /> — любая непрерывнаянечетная функция. Известно по [3], что дифференциальная система /> /> /> (3)
эквивалентнавозмущенной системе
/> /> /> (4), где />непрерывная скалярнаянечетная функция удовлетворяющая уравнению />
Так как вышеуже показано, что функция /> где /> {есть первый интеграл}удовлетворяет этому уравнению, то справедлива следующая теорема.Теорема1.
Система /> (1) эквивалентна системе /> (2) в смысле совпаденияотражающей функции.
Так каксистема /> (1) имеет две особыеточки, в каждой из которых находится центр, то и система /> (2) имеет центры в этихточках.
Заключение
В даннойкурсовой работе рассмотрена вложимая система с известным типом точек покоя, провереноудовлетворение общего решения нашей системе, найдены первый интеграл ипроверено выполнение тождества, затем с помощью теоремы 1 доказанаэквивалентность дифференциальных систем. Сформулированы определения вложимойсистемы, первого интеграла, отражающей функции и общие свойства отражающейфункции. Cформулированатеорема при помощи которой мы доказали эквивалентность нашей системы сдифференциальной системой.
Списокиспользованных источников
1. Мироненко В.И. Линейнаязависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. – Мн., Изд-во БГУим. В.И. Ленина, 1981, 50 – 51 с.
2. Мироненко В.И. Отражающаяфункция и периодические решения дифференциальных уравнений. – Мн.: изд-во «Университетское»,1986, 11,17 – 19 с.
3. Мироненко В.В. Возмущениядифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.