--PAGE_BREAK--Свойстватрапеции:
1 ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
2 если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
3 если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
4 если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
5 Площадь трапеции:
aиb — основания; h —расстояние между ними; l — средняя линия
, S = lh (3.4)
6 Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.
Признакитрапеции:
Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны
3.3. ПРЯМОУГОЛЬНИК. ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника:
1 все свойства параллелограмма;
2 диагонали равны.
3 площадь равна:
S
=
ab
(3.5)
S
=
d1d2 sin
(3.6)
4 если прямоугольник вписан в окружность, то он является квадратом.
Признаки прямоугольника:
Параллелограмм является прямоугольником, если:
1. Один из его углов прямой.
2. Его диагонали равны.
3.4. РОМБ. ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойстваромба:
1 все свойства параллелограмма;
2 диагонали перпендикулярны;
3 диагонали являются биссектрисами его углов.
4 площадьромба:
S = aha (3.7)
S = a2sin (3.8)
S =d1d2 (3.9)
Признакиромба:
1. Параллелограмм является ромбом, если:
2. Две его смежные стороны равны.
3. Его диагонали перпендикулярны.
4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
3.5. КВАДРАТ. ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата
1 все углы квадрата прямые;
2 диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
3 площадьквадрата:
S = a2 (3.10)
S =
d2 (3.11)
Признаки квадрата:
Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.
4.ПРИМЕРЫ РЕШЕННЫХ ЗАДАЧ.
Задача1 Точка Р лежит внутри прямоугольника ABCD
. Докажите, что .
РЕШЕНИЕ: Рассмотрим параллелограммы BLDPи APCL: по свойству d12+d22=2(a2+b2) получим
Т.к. ABCDпрямоугольник, то BD=AC. Тогда И . Приравняем полученные равенства:
=.
Задача2 AC– наибольшая сторона треугольника ABC. На АС выбираются точки А1 и С1 так, что АС1=АВ и СА1=СВ. Затем на стороне АВ берется точка А2 так, что АА1=АА2, а на стороне CD– точка С2 так, что СС1=СС2. Докажите, что точки А1, А2, С1, С2 лежат на одной окружности.
РЕШЕНИЕ: АА1=АА2 и АС1=АВ(по условию задачи), а тока А1и А2A
1
A
2
||
BC
1? При чем по теореме Фалеса. Можно сделать вывод, что A
1
A
2
BC
1равнобокая трапеция. Аналогично можно доказать, что четырехугольник A
1
ВС2С1также равнобокая трапеция. Так как эти трапеции правильные, то около них можно описать окружности и соответственно. Мы получили, что точки A
1
, Ви С1принадлежат двум окружностям одновременно, что невозможно, т.к. по свойству окружности: через три точки может проходить только одна окружность. Тогда можно сделать вывод о том, что и совпадают. А следовательно точки А1, А2, С1, С2 лежат на одной окружности.
Задача3 Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол вокруг некоторой точки.
РЕШЕНИЕ: Выпуклый n-угольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Пусть A1A2...An — правильный многоугольник, O — точка пересечения биссектрис его углов AnA1A2 и A1A2A3. Тогда треугольники AnOA1 и A2OA1 равны по двум сторонам и углу между ними.
Кроме того, из равенства углов n-угольника следует, что треугольники AnOA1A2OA1 — равнобедренные. Поэтому
OAn= OA1= OA2, AnOA1= A1OA2.
Аналогично докажем, что
OA1= OA2=...= OAn,A1OA2= A2OA3=...= =AnOA1 = .
Следовательно, O — центр окружности, проходящей через точки A1, A2, ..., An. При повороте на угол вокруг точки O данный n-угольник переходит сам в себя.
Пусть теперь известно, что некоторый выпуклый n-угольник A1A2...An переходит в себя при повороте вокруг некоторой точки O на угол . Ясно, что эта точка лежит внутри многоугольника, а т.к. многоугольник выпуклый, то
A1OA2 +...+ AnOA1 = 360o.
Поскольку вершины многоугольника при повороте переходят в вершины, то точки A1, A2, ..., An лежат на окружности с центром O, и
A1OA2 = A2OA3 =...= AnOA1 = .
Поэтому A1OA2, A2OA3, ..., AnOA1 — равные равнобедренные треугольники. Следовательно, все стороны и все углы многоугольника равны, т.е. он правильный.
Задача4 Докажите, что в правильном 12-угольнике A1A2...A12 диагонали A1A5, A2A6, A3A8 и A4A11 пересекаются в одной точке.
РЕШЕНИЕ:
Пусть A1A2...A12 — правильный 12-угольник. Рассмотрим треугольник A2A4A8. Прямые A2A6, A3A8 и A4A11 — биссектрисы его углов. Точно так же прямые A3A8, A5A1 и A11A4 — биссектрисы углов треугольника A3A5A11. Отсюда следует, что диагонали A1A5, A2A6, A3A8 и A4A11 проходят через одну точку.
Задача5 Пусть О — центрправильного многоугольникаA1A2A3...An, X — произвольная точка плоскости. Докажите, что:
a)+...+ =
б)+...+ = n.
РЕШЕНИЕ:
а) Обозначим+...+ = . При повороте на уголвокруг точкиO точка переходит в точку (1i n — 1), а точкаAn — в точкуA1. Поэтому векторпри таком повороте переходит сам в себя. Следовательно,=.
б)
Задача6 Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки X до вершин правильного n-угольника будет наименьшей, если X — центр n-угольника.
РЕШЕНИЕ:
Пусть Xk — образ точки X приповороте относительно центра O данного n-угольника, переводящем Ak в A1. При этом повороте отрезок AkX переходитв A1Xk. Следовательно, A1X +… + AnX = A1X1 +… + A1Xn. А так как n-угольник X1...Xn правильный, то +… + = n(см. Задачу5), а значит, A1X1 +… + AnXnn.
Задача7 В правильном n-угольнике (n 3) отмечены середины всех сторон и диагоналей. Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной, окружности?
РЕШЕНИЕ:
Пусть сначала n = 2m. Диагонали и стороны правильного 2m-угольника имеют m различных длин. Поэтому отмеченные точки лежат на m — 1 концентрических окружностях (по n точек на каждой) или в общем центре этих окружностей. Поскольку различные окружности имеют не более двух общих точек, окружность, не принадлежащая этому семейству концентрических окружностей, содержит не более 1+2(m — 1)=2m-1=n-1 отмеченных точек.
Пусть теперь продолжение
--PAGE_BREAK--