--PAGE_BREAK--
0
М(х, у) – произвольные точки гиперболы, (х, у) – текущие координаты произвольной точки. Все точки гиперболы удовлетворяют условию
│F1M-F2M│=2a.
Пример 2. Дана гипербола х²-4у²=16. 1)Написать каноническое уравнение гиперболы; 2)Найти вещественную и мнимую полуоси; 3) Найти асимптоты гиперболы; 4) Вычислить эксцентриситет Е.
Ответ: 1)х²/16 — у²/4 = 1; 2) а= = 4; в= = 2. 3) у = ±(в/а) х или у = ±(2/4)х или у = ±(1/2)х; 4) с= (а² + в²) = = = 2,
Е=с/а=(2)/4 = ()/2;
Е=()/2 >1.
Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).
Каноническое уравнение параболы имеет два вида:
1) у²= 2рх – парабола симметрична относительно ох (рис.3)
2) х²= 2ру – парабола симметрична относительно оу (рис.4)
РИС.3
0
РИС.4
М (х, у) – произвольная точка парабола,
(х, у) – текущие координаты произвольной точки,
х = -р/2 – уравнение директрисы.
FM = d, гдеd – расстояние от точки М до директрисы.
В обоих случаях вершина параболы находится на оси симметрии в начале координат 0.
Парабола у² = 2рх имеет фокус F (р/2) и директрису х = — р/2
Парабола х = 2ру имеет фокус F (р/2) и директрису у = — р/2
Пример 3. Построить параболы заданные уравнениями:
1) у² = 4х; 2) у² = -4х; 3) х² =4у; 4) х² =-4у; а так же их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.
Ответ:
1)
0 0
y² = 4x, p=2, F(1,0)
х = -1 – уравнение директрисы
3)
0
Х2 = 4у, р = 2, F (0, 1)
У = -1 – уравнение директрисы.
Окружность. Уравнение окружности с центром в точке А (а, в) и радиусом R; (рис.6)
продолжение
--PAGE_BREAK--
Пример 4. 1) Написать уравнение окружности с центром в точке А ( -1, 2), R = 2. 2) Построить ее. 3) Лежит ли точка О (0, 0) на окружности?
Ответ: 1) (х + 1)2 + (у – 2)2 = 4, если раскроем скобки, то уравнение примет вид:
х2 + у2 + 2х – 4у + 1 = 0
2)
-1
2) О (0,0) не лежит на окружности, т. к. координаты этой точки не удовлетворяют уравнению: 0+0+0 + 0+1 ≠ 0.
Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы вычисления определителей. Решения систем линейных алгебраичных уравнений по формулам Крамера.
Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством = а11а22-а12а21.
Например, Вычислить определитель = 3*6 – (-2)*4 = 18 + 8 = =26
Числа, составляющие определитель называются его элементами. Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца.
Определитель третьего порядка называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством = а11*а22*а33 + а12*а23*а31 + а13*а32*а21 – (а13*а22*а31+а32*а23 *а11+а33*а12*а21).
Например, = 2*(-2)*3+3*1*1+4*2*5 – (1*(-2)*4 + 2*1*2 + 3*3*5) = -12+3+40 – (-8+4+45) = 31-41= — 10
Перечислим свойства определителей:
1. Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.
2. Величина определителя изменит знак на обратный при перестановке двух любых строк или столбцов.
3. Определитель равен нулю, если две его строки или два его столбца одинаковы.
4. Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
5. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.
Например, =
Алгебраическое дополнение. Минор.
Минором Мij элемента аij называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i строки j столбца, т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент аij. Минор Мij есть определитель порядка на единицу ниже исходного.
Например, в определителе, Минором к элементу 4 является М13= = = 10+2=12.
Алгебраическое дополнение Аij есть минор Мij, умноженный на (-1)i+j, т.е.
Аij = (-1)i+jMij
В приведенном примере А13= (-1)1+3 М13 = (-1)4* = 10+2=12.
В данном случае Минор и алгебраическое дополнение к элементу 4 совпали.
Продолжим изложение свойств определителей.
6. Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов.
Например, = а11*А11 +а12*А12+а13*А13; правая часть равенства называется разложением определителя по элементам первой строки.
7. Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.
Например, а11 А21+а12А22+а13А23=0.
Перечисленные свойства определителей справедливы для определителей любого порядка.
Пример. Вычислить определитель двумя способами.
первый способ. = 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 – (4*5*1+1*(-4)*2 + +(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 – (20 – 8+9) = 19 – 21= -2.
Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца. = -3 А12 + 5А22 + 1А32 = -3(-1)1+2 + 5(-1)2+2 +(-1)3+2 = -3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) – (-8 – 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 – 50 = -2.
Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам Крамера.
Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:
а11х1 + а12х2 + а13х3 = в1
а21х1 + а22х2 + а23х3 = в2
а31х1 + а32х2 + а33х3 = в3
Это система трех уравнений с тремя неизвестными х1, х2, х3. Вещественные числа аij (i = , j = ) называются коэффициентами системы. в1, в2, в3 – свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в1, в2, в3, отлично от нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю, то система имеет вид:
а11х1 + а12х2 + а13х3 = 0
а21х1 + а22х2 + а23х3 = 0
а31х1 + а32х2 + а33х3 = 0
и называется однородной.
По формуле Крамера решаются только неоднородные системы.
Определитель системы Δ называется определитель, составленный из коэффициентов системы:
Δ =
Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
Х1 = Δх1/ Δ; х2== Δх2/ Δ; х3== Δх3/ Δ; где
Δх1= ; Δх2= ; Δх3= .
Если определитель системы = Δ равен нулю, и хотя бы один из определителей ∆х1=∆х2=∆х3 отличен от нуля, то система несовместна.
Если определитель системы ∆=0, и ∆х1=∆х2=∆х3=0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система).
Пример. Решить систему уравнений:
Х + 2у – z = 1
-3х + у = 2z = 0
х + 4у + 3z = 2
1) Вычислим определитель системы ∆ = = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) – (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30.
Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0.
2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.
∆х = = 5; ∆у = = 13; ∆z = = 1.
3) По формулам Крамера находим решение системы:
Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z = ∆z/∆ = 1/30;
Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).
По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными.
Пример Решить систему уравнений.
х — у+z=1
х + у – z=2
5х + у – z=7
1) Составим и вычислим определитель системы ∆= = 0.
2) Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.
∆х = = 0, ∆у = = -2
Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения.
Тема 7. Алгебра матриц.
Определение. Таблица, составленная из m*n чисел называется матрицей размерности m*n,
а11 а12 а13…а1п
а21 а22 а23…а2п
……………… = Ам*п= //аij//
ам1 ам2 ам3…амп , где
m – число строк, n – число столбцов. Числа аij называются элементами матрицы, i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Разновидности матриц.
1. Матрица называется прямоугольной, если m≠n.
2. Матрица называется квадратной, если m=n.
3. Матрица называется матрицей — строкой, если m=1.
4. Матрица называется матрицей — столбцом, если n=1.
Например, 1) 1 2 3 = А2*3 – прямоугольная матрица размерности 2*3 (два на три)
0 –1 5
2) 1 2 — квадратная матрица.
3 4
3) (1 0 3 5, -1) – матрица строка.
4) 7
12 матрица столбец.
5
3
5) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц, расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.
Например, 1 0 0 5 1 –3
2 6 0 или 0 4 2
-1 –2 8 0 0 -1
6) Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.
Например, 1 0 0
0 –2 0
0 0 5
7) Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице.
1 0 0
Е = 0 1 0
0 0 1 .
Алгебра матриц.
1.
Равенство матриц. Две матрицы Ам*п и Вм*п одинаковой размерности равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.
Ам*п = Вм*пó аij = bij (i = , j = )
ó этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только тогда»,
обозначение (i = ) применяется, если хотят сказать, что i пробегает все значения от 1 до m.
2. Сумма матриц. Суммой двух матриц Ам*п = //аij// и Вм*п = //вij// называется матрица См*п, элементы которой Сij = аij + вij . Cm*n = Am*n + Bm*n. Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности.
Нпример, Если А= 1 –2 4 В= -3 2 5
3 1 –6 , 1 –6 4 , то
А+В = 1 –2 4 -3 2 5 1-3 -2+2 4+5 -2 0 9
3 1 –6 1 –6 4 , 3+1 1-6 6+4 4 –5 –2
3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число.
αА = //α aij//.
Например, вычеслить 4 А, если А =
4А = 4 *
4. Умножение матриц. Произведением матрицы Ам*е на матрицу Ве*п называется матрица См*п (Ам*е*Ве*п=См*п), элементы которой получаются по правилу «Строка на столбец»:
сij =aijbij + ai2b2j +…+ aiebej
(i= ; j= ), т.е. для вычисления сij следует элементы i – строки левой матрицы Ам*е умножить на соответствующие элементы j –го столбца правой матрицы Ве*п и полученные произведения сложить.
Замечание 1. Из этого определения следует, что произведение матриц имеет смысл тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.
Замечание 2. Если имеют смысл АВ и ВА, то как правило, АВ≠ВА.
Пример. Вычислить АВ, если А = В =
Решение: АВ=С
С= * = =
С11=1*3+2*2=7;
С12=1*4+2*(-1)=2
С13=1*1+2*(-2)= -3
С14=1*3+2*4=11
С21=2*3+4*2=14;
С22=2*4+4*(-1)=4
С23=2*1+4*(-2)= -6
С24=2*3+4*4=22
С31=3*3+1*2=11
С32=3*4+1(-1)=11
С33=3*1+1*(-2)=1
С34=3*3+1*4=13
Ответ: А*В=С=
Пример. Найти произведения двух матриц АВ и ВА, если А = 1 2 ,
В = 2 1 3 4
1 3
Сравним эти произведения.
1) С=АВ= 1 2 2 1 4 7
3 4 1 3 10 15
С11 = 1*2+2*1=4; С12 = 1*1+2*3=7;
С21 = 3*2+4*1=10; С22 = 3*1+4*3=15
2) Д=ВА= 2 1 1 2 5 8
1 3 3 4 10 14
d11=2*1+1*3=5; d12=2*2+1*4=8
d21=1*1+3*3=10; d22=1*2+3*4=14
Мы убедились, что в нашем примере АВ≠ВА.
Пример. Вычислить АВ, если А=(40-21); В=
Решение: АВ=(40-21)* =4*3+0*1+(-2)*5+1*(-2)=(0)
Ответ: АВ=(0) – нуль – матрица.
Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается матрица из одного элемента – число.
5. Транспонирование матрицы. Если в матрице А строки заменить столбцами, то новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается символом Ат. Замечание (Ат)т=А.
6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается символом Ø. А+Ø=А.
Основные свойства операций над матрицами:
А+В = В+А; А+(В+С) = А+В+С; (α +β)А = αА+βА; α(А+В) = αА + αВ; (А+В)*С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ; (αА)В=α(АВ); (АВ)*С=А(ВС); (АВ)т=Вт Ат.
Понятие матрицы, алгебра матриц имеют чрезвычайно важные значение в приложениях математики к экономике и другим наукам, т.к. позволяют записывать значительную часть математических моделей в достаточно простой, а главное компактной форме.
Пример. Каждое из трех предприятий производить продукцию двух видов. Количество продукции каждого вида в тоннах за рабочую силу на каждом предприятий можно задать матрицей А= 2 1 3
1 3 4 ,
Стоимость одной тонны продукции каждого вида задана матрицей В= (10 15). На какую сумму произведет всю продукцию каждое предприятие за рабочую смену?
Решение: В*А= (10 15)* 2 1 3 =(35 55 90)
1 3 4
Ответ: Первое предприятие произведет продукции на 35 тыс. руб.
Второе – на 55 тыс. руб.
Третье – на 90 тыс. руб.
Тема 8. Понятие множества.
Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.
Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множества называются элементами, или точками, этого множества.
Примерами множеств являются: множество студентов данного ВУЗа, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.
Множество обозначаются прописными буквами, а их элементы строчными. Если а есть элемент множества А, то используется запись а Є А. Если в не является элементом множества А, то пишут в Є А.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Например, множество действительных корней уравнения х2+1=0 есть пустое множество.
Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается
В С А.
Если, например, А – множество всех студентов ВУЗа, а В – множество студентов-первокурсников этого ВУЗа, то В есть подмножество множества А, т.е. В С А.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ.
Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d, е, f, с, к}
Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д = А∩В.
Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А∩В = {2, 3}. 2) если А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А∩В = Ø.
Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.
Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}.
Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.
Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
А∩В = {6, 8}
А \ В = {1, 3}
Множества называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, в противном случае оно называется бесконечным.
Множества элементами, которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел.
Очевидно, что N С Z C Q C R
Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано начало отчета, положительные направления и единица масштаба.
продолжение
--PAGE_BREAK--
Рис.1
Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное вещественное число.
Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ≤ x ≤ в, называется отрезком (илисегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а
Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.
Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число – х, если х – отрицательно:
/х/=
По определению /х/ ≥ 0. Например, /5/=5; /-1,5/=1,5.
Свойства абсолютных величин:
1. │х+у│ ≤ │х│+│у│, 2. │х-у│ ≥ │х│ — │у│,
3. │ху│ = │х│*│у│, 4. │х/у│ = │х│/│у│
Из определения абсолютной величины числа следует: -│х│≤ х ≤ │х│. Пусть │х│
Рассмотрим неравенства │х-а│0). Решениями этого неравенства будут точки открытого интервала (а – ε, а+ε), или а — ε
Всякий интервал, содержащий точку а называется окрестностью точки а.
Интервал (а – ε, а+ε), т.е. множество точек х таких, что │х-а│0), называется ε – окрестностью точки а. Рис.2 (ε – эсилон, буква греческого алфавита).
Рис.2
а – ε а а+ε
Тема 9. Функция. Классификация функций.
Определение. Рассмотрим два множества Х и У, элементами которых могут быть любые объекты. Предложим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону или способу поставлен в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят что на множестве Х задана функция у = ƒ(х), (или отображение множества Х во множество У).
Множество Х называется областью определения функции ƒ, а элементы у = ƒ(х) образуют множество значений функции – У.
х – независимая переменная (аргумент).
у – зависимая переменная,
ƒ – закон соответствия, знак функции.
Пусть Х и У множества вещественных чисел.
Пример. Найти область определения и область значений функции у = х2 + 1
Областью определения функции является множество Х = (-∞, ∞), область значений является множество У = [0, ∞).
Пример 2. Найти область определения функции у = 1/(х2 – 5х + 6).
Решение: Найдем значения х, в которых знаменатель обращается в нуль.
х2 – 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3. Функция не существует в этих точках. Областью определения является объединение таких множеств: (-∞, 2) U (2, 3) U (3, ∞).
Пример 3. Найти область определения функции у= log3(х – 1).
Решение: х – 1 >0, х>1. Запишем решение в виде интервала: (1, ∞) – область определения функции.
Пример 4. Дана функция f (х) = |х + 2|/х – 1. Найти значения функции в точках
х = -2, х = -3, х = 1, х = 0.
Решение: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0; f (-3) = |-3+2| / (3 – 2) = | — 1| / 1= 1;
f(1) = |1+2| / (1 – 1) = 3/0, точка х = 1 в область определения функции не входит, так как знаменатель в этой точке обращается в 0.
f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2.
Пример 5. Дана функция f(х) = 3х2 + х – 1.
Найти значение этой функции при 1) х=а2 – 1, 2) х = 1/t.
Решение: 1)f(а2 – 1) = 3(а2 – 1)2 + а2 – 1 – 1=3а4 – 6а2 + 3 + а2 — 2 = 3а4 – 5а2 + 1.
2) f (1/t) = 3(1/t2) + 1/t – 1 = (3 + t – t2)/t2.
Способы задания функции. Существует несколько способов задания функции.
а) аналитический способ, если функция задана формулой вида у = f (х). Все функции, рассмотренные в примерах 1-5 заданы аналитически.
б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения х и соответствующие значения f (х), например, таблица логарифмов.
в) графический способ, состоит в изображении графика функции – множество точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции у = f (х).
Например, у = х2 (Рис.1); у = (Рис.2)
у
у
0 х 0 х
Рис. 1. Рис. 2.
Г) Описательный способ, если функция записывается правилом ее составления, например, функция Дирихле:
1, если х – рациональное число.
f(х) =
0, если х – иррациональное число.
Основные элементарные функции.
Все функции, с которыми встречаемся в школьном курсе, элементарные. Перечислим их:
1. у = хп, у = х –п, у = хм/п, где п, Є N, м Є Z. Эти функции называются степенными.
2. Показательная функция у = ах, а > 0, а ≠ 1.
3. Логарифмическая функция у = logах, а>0, а ≠ 1
4. Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х.
5. Обратные тригонометрические функции у = argsin х, у = arccos х, у = arctg х,
у = arcctg х.
Сложная функция. (суперпозиция функций).
Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – У, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций). Например, у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.
Понятия элементарной функции. Функции построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий называются элементарными.
Например, у = )/(sin2х+3) или у = 2 — tg х.
Примером неэлементарной функции является функция у = |х|. Ее график представлен на рис. 3.
У
Рис.3
Классификация функции. Элементарные функции делятся на два класса.
1 класс алгебраических функций:
а) у = А0хп + А1хп-1 + А2хп-2 + … + Ап-1х + Ап, это многочлен (полином) п – степени или целая алгебраическая функция, где А0, А1, А2, …, Ап – вещественные числа, коэффициенты многочлена.
б) у = ( А0хп + А1хп-1 + … + Ап)/(В0хм + В1хм-1 + … +Вм), это дробно – рациональная функция, она представляет собой отношения двух многочленов.
в) Иррациональная функция, например, у = + х2.
2 класс трансценденных функций.
а) у = ах, а > 0, а ≠1, показательная функция,
б) у = logах, а> 0, а ≠1, логарифмическая функция,
в) все тригонометрические функции,
г) все обратные тригонометрические функции,
д) функции вида у = хL, где L – иррациональное число. Например, у = хπ.
Тема 10. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Понятие о непрерывности функции.
Определение. ε – окрестностью точки а называется открытый интервал (а-ε, а+ε) (ε – эпсилон буква греческого алфавита), или |х — а|
Определение предела функции. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой точке а, кроме, может быть, самой этой точки.
Число b называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого, наперед заданного ε>0 существует такое δ>0, что для всех х таких, что |х-а|
В компактном виде это определение можно записать lim f(x) = b.
(lim – сокращенное слово limit(предел)).
Читается так: предел f(x) при х стремящемся к а равен b.
При отыскании предела мы не учитываем значение функции в самой точке а, оно может быть любым. Рис. 1, 2, 3, 4.
y y
f(a) y= f(x)
y = f (x)
b
0
0 a x а х
Рис.1 Рис.2
y
f(a)
f(a)
0 a x 0 a x
Рис.3 Рис.4
На приведенных рисунках предел существует в случаях 1) и 2), причем во 2) значение функции в точке а не совпадает с предельным, а в 1) совпадает f(a) = b. На рисунках 3) и 4) предел у функции в точке а не существует.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, илиlim f(x) = f(a).
Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены.
Основные теоремы о пределах функций.
1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.
lim (f(x) + φ(x)) = lim f(x) + lim φ(x)
2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.
lim [f(x) * φ(x)] = lim f(x) * lim φ(x)
3. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции.
lim С*f(x) = С *lim f(x)
Это свойство можно записать так: постоянный множитель выносится за знак предела.
4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).
lim f(x) / φ(x) = lim f(x) / lim φ(x), limφ(х)≠0.
Если знаменатель стремиться к нулю, а числитель — нет, то говорят, что отношение стремиться к бесконечности.
Бесконечность – это не число, ее можно добавить ко множеству вещественных чисел R в качестве нового элемента ∞. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую.
Раз мы добавили новый элемент ко множеству вещественных чисел, то запишем арифметические операции с этим элементом ∞.
Пусть а любое вещественное число, а Є R, тогда
Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи называются неопределенностями.
Выделяют неопределенности двух типов:
Арифметические неопределенности (0/0); (00/00); (00 – 00); (0 * 00).
Степенно-показательные неопределенности (100); (000); 00.
Эти записи не являются операциями над числами и 00, они представляют собой только деловые обозначения.
В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечному числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно.
Пример 1. Найти lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)].
продолжение
--PAGE_BREAK--
Решение:
1) Подставим точку х = — 2 в нашу функцию, получим lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] =
= (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0).
2) Раскроем эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на простые множители, найдя корни числителя и знаменателя, тогда lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)]lim [(х – 2) * (x+2)] / [(x-1)*(x + 2)] = (-2 – 2)/(-2-1) = -4/ -3= 4/3/
Пример 2. lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)]
Решение:
lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = (00/00). Чтобы раскрыть эту неопределенность, вынесем за скобки из числителя и из знаменателя х в старшей степени, т.е. х2, получим:lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = lim [(х2*
(1 – 4/х2) / (x2(1+1/x – 2/x2)] = 1/1=1, т.к. lim 4/х2 = 4 / 00 = 0,. lim 1/х =
1/00=0 и. lim 2/х2 = 2/00
Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы преобразования функций, как мы видели в примерах 1 и 2, но и так называемые замечательные пределы.
Первый замечательный предел .lim sinx/х = 1, он раскрывает неопределенность (0/0).
Второй замечательный предел. . lim (1+1/х)х = ℮, где ℮=2, 7, …
иррациональное «непперово» число. Это число часто берут за основание логарифма, тогда такой логарифм обозначается так: log℮x = lnx и называется натуральным логарифмом.
Пример. 3 Найти lim (sin3x)/х = (0/0).
Решение: lim (3sin3x) / (3х) = 3 lim (sin3x) / (3х) = 3*1 = 3
Пример. 4 Найти lim (sin5x)/(sin2х) = (0/0).
Решение: lim (sin5x / sin2х) = lim [((sin5x / 5х)*5x) / ((sin2x / 2x) * 2x)]
= 5/2* [(lim (sin5x / 5х))/ lim(sin2x / 2х)] = 5/2
Пример.
5Найти lim (1+(1/2x))x = 100.
Решение: lim (1+(1/2x))2x * (1/2) = ℮1/2=℮
Пример.
6Найти lim (1+(1/(x-1))x = 100.
Решение: lim [1+(1/(x-1))]x -1+1= lim [(1+(1/(x-1)))x -1 * (1+(1/(x-1)))1] = ℮*1 = ℮
Тема 11. Производная и дифференциал.
Приращение аргумента, приращение функции.
Пусть функция у= f(х) определена в точке х0и некоторой ее окрестности, придадим точке х0приращение Δх и получим точку х0+Δх, значение функции в этой точке – f(х0+Δх). Разность значений f (х0+Δх) – f(х0) называется приращением функции, обозначается приращение функции Δf или Δу, т.е. Δf=f(х0+Δх) – f(х0). Рис. 1
у Рис.1
Δу
х0 х0+ Δх
Производная функция у = f(х), в точке х0определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении Δх к нулю. f`(x0) = lim (Δf/Δx). Этот предел будет иметь конечное значение, если только и числитель стремиться к нулю (приращение функции Δf→0).
Производная имеет смысл скорости изменения какого – либо показателя. Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции. Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее изменения была бы постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается через dy илиdf. Вычисляется он по формуле dy=f `(x)dx, где f ` (x) – производная функция f(x), а dx – число равное приращению независимой переменной (аргумента) ∆х.
Для вычисления производной выведены правила нахождения производной и таблицы производных элементарных функций. Функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в интервале.
Правила дифференцирования функций.
Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.
1. (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)
2. (U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x)+ V`(x) * U`(x)
3. (C*U(x))` = CU`(x), C — const
4. (U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) — V`(x) * U(x)]/ V2(x)
Таблица производных.
1. C` = 0, C – const.
2. x` = 1
3. (xα)` = α xα – 1, α Є R
4. (ax)` = ax lnx, a>0, a≠1
5. (ln x)` = 1/x
6. (sin x)` = cos x
7. (cos x)` = — sin x
8. (tg x)` = 1/(cos x)2
9. (ctg x)` = — 1/(sin x)2
10.(arcsin x)` = 1/2)
11.(arccos x)` = — 1/2)
12.(arctg x)` = 1/(1 + x2)
13.(arcctg x)` = — [1/(1 + x2)]
правила для нахождения дифференциала можно написать самим, умножив соответствующее правило взятия производной на dx.
Например: d sinx = (sinx)`dx = cosx dx.
Пример 1. Найти приращение функции f(x) = x2, если х = 1, ∆х = 0,1
Решение: f(х) = х2, f(х+∆х) = (х+∆х)2
Найдем приращение функции ∆f = f(x+∆x) – f(x) = (x+∆x)2 – x2 = x2+2x*∆x+∆x2 – x2 = 2x*∆x + ∆x2/
Подставим значения х=1 и ∆х= 0,1, получим ∆f = 2*1*0,1 + (0,1)2 = 0,2+0,01 = 0,21
Пример 2. Найти производную функции f(x) = x2, в произвольной точке х по определению производной, т.е. не используя таблицу производных.
Решение: (х2)` = lim ∆f / ∆х
Из первого примера ∆f = 2x*∆x+∆x2, подставим, получим
(x2)` = lim ∆f / ∆х= lim (2x*∆x+∆x2)/∆x = lim [∆x (2х+ ∆х)]/ ∆x = 2x
Пример 3. у = 1-х, Найти ∆у при х=2, ∆ = 0,1
Решение: у(х) = 1-х, у(х+∆х) = 1 – (х+∆х),
∆у = у (х+∆х) – у(х) = 1-х — ∆х – (1 – х) = 1-х — ∆х – 1 + х = — ∆х
при х = 2, ∆х = 0,1 ∆у = -∆х = -0,1.
Пример 4. Найти производную от функции у=3х4 – 2х2 + 1.
Решение у` = 3*4х3 – 2*2х + 0 = 12х3 – 4х.
Пример 5. Найти производную от функции у = x2 *℮х.
Решение: у` = (x2)` *℮х + x2 *(℮х)` = 2x ℮х + x2 *℮х ln℮
ln ℮ = log℮℮ = 1. y` = 2x℮x + x2 * ℮x
Пример 6. У = х/(х2+1). Найти у`.
Решение у` = [1*(х2+1) – х*2х] /(х2+1)2 = [х2+1 – 2х2] / (x2 +1)2 = (1-x2) / (x2+1)2
Производные от сложных функций.
Формула для нахождения производной от сложной функции такова:
[f (φ(х))]` = fφ`(φ(x)) * φ`(x)
Например: у = (1-х2)3; у`= 3(1 –х2)2 * (-2х) или у = sin2х; у` = 2sinx * cosx.
Пример 7. Найти dy, если у = sin 3х
Решение dy = у` * dx = (sin3x)` dx = (cos3x) * 3dx = 3 cos3x dx.
Пример 8. Найти dy, если у = 2х^2/
Решение: dy = y` * dx = (2x^2)` * dx = 2x^2 ln2 * 2xdx
Производные высших порядков.
Пусть мы нашли от функции у = f(х) ее производную у` = f `(х). Производная от этой производной и называется производной второго порядка от функции f(х) и обозначается у`` или f `` (х) или (d2y) / (dx2). Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка у``` = f ```(x) = (d3y) / (dx3).
производная четвертого порядка уIV= f IV(x) = (d4y) / (dx4).
производная n-oго порядка у(n)= f (n)(x) = (d n y) / (dxn).
Пример: у = 5х4 – 3х3 + 2х – 2. Найти у``.
Решение. Находим в начале первую производную: у` = 20х3 – 9х2 +2, потом вторую от первой производной: у`` = 60х2 – 18х.
Пример. y=хsinx. Найти у```.
Решение. y` = sinx + xcosx
y`` = cosx + cosx – x sinx = 2cosx – x sinx
y``` = -2sinx – sinx – x cosx = -3sinx – x cosx.
продолжение
--PAGE_BREAK--
Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие
F ` (x)=f(x).
Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х2для любых х Є (-∞, ∞).
Действительно, F`(x) = 2x = f(x).
F1(x) = x2 + 2 так же является первообразной для f(x) = 2x, F2(x) = x2 – 100 первообразная той же функции f(x) = 2x.
Теорема. Если F1(x) и F2(x) первообразные для функции f(x) на некотором интервале Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство:
F2(x) = F1(x) + C,
Или можно сказать так, две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f(x)dx, где — знак интеграла, f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение. Таким образом
f(x)dx = F(x) + C,
F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Основные свойства неопределенного интеграла.
1. ((f(x)dx)` = f(x). Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению. d(f(x)dx) = f(x)dx.
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.
d(F(x)) = F(x) + C.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
, где к — число
5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций
(f(x) +φ(x))dx = f(x)dx + φ(x)dx.
Для вычисления неопределенных интегралов от функций используют таблицу неопределенных интегралов, которая приводиться ниже.
Таблица неопределенных интегралов.
1. хαdx = [xα+1 / (α +1)] +C, α ≠ -1, α Є R
2. dx/x = ln│x│+C
3. ax = (ax/ln a)+C, exdx = ex+C
4. sinx dx = -cosx + C
5. cosx dx = sinx + C
6. dx/(cosx)2 = tgx + C
7. dx/(sinx)2 = -ctgx + C
8. dx /2-x2) = (arcsin x/a) + C
9. dx / 2 – x2) = (-arccos x/a) +C
10.dx / a2 +x2 = 1/a arctg x/a +C
11.dx / a2 +x2 = — 1/a arcctg x/a +C
12.dx / a2 -x2 = 1/2a ln │x+a/x-a│ +C
13.dx / a2 +x2) = ln │x+ 2+x2)│ +C.
Пример 1. Вычислить (2х2-3 -1)dx.
Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегралов и первой табличной формулой. (2х2-3 -1)dx = 2х2dx — 3х1/2dx — dx=
= 2(x2/2) – 3[(х3/2 *2)/3] – x + C = x2 — 23 – x +C.
Пример 2. (2/ -1/х + 4sinx)dx = 2х –1/2dx – ln │х│ — 4cosx + C =
= 2[(x1/2 *2)/1] – ln │x│ — 4 cosx +C = 4 -ln│x│- 4cosx + C.
Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы: метод непосредственного интегрирования, метод подстановки(метод замены переменной), метод интегрирования по частям.
Существуют элементарные функции первообразные которых элементарными функциями не являются. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами функции не интегрируемыми в элементарных функциях.
Например, e –x^2 dx, sinх2dx,cosх2dx, sinx/x dx, cosx/x dx, dx/lnx – «неберущиеся» интегралы, т.е. не существует такой элементарной функции, что F `(x) = e –x^2, F ` (x) = sinx2и т.д.
Тема 13. Определенный интеграл, его свойства.
Формула Ньютона — Лейбница.
Понятие интегральной суммы.
Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х0, х1, х2, …, хп = в. На каждом элементарном отрезке [xi-1, xi] выберем произвольную точку Сi и положим
∆хi= xi – xi-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке Сiнайдем значение функции f(Ci), составим произведения f(C1)∆x1, f(C2)∆x2, …, f(Ci)∆xi, …, f(Cn)∆xn, рассмотрим сумму этих произведений:
f(C1)∆x1 + f(C2)∆x2 + … + f(Ci)∆xi + … + f(Cn)∆xn = Σ f(Ci)∆xi.
Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции у=f(x) на отрезке [а, в]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a, в] на п частей так и от выбора точек С1, С2, …, Сп на каждом элементарном отрезке разбиения.
Геометрический смысл интегральной суммы.
Пусть у = f(x) неотрицательна на отрезке [а, в]. Рис.1
y = f(x)
у
S1 S2 S3
0 а=х0 в1 х1 с2 х2 с3 х3 =в х
Рис.1
Пусть п=3, тогда а = х0, х1, х2, х3=в.
С1, С2, С3 точки, выбранные произвольно на каждом элементарном отрезке.
S1 = f1(C1) ∆x1 – площадь прямоугольника, построенного на первом отрезке разбиения, ∆х1 = х1-х0,
S2 = f2(C2) ∆x2 – площадь прямоугольника, построенного на втором отрезке разбиения. ∆х2 = х2-х1,
S3 = f3(C3) ∆x3 – площадь прямоугольника, построенного на третьем отрезке разбиения. ∆х3 = х3-х2,
S = S1 + S2 +S3 = f1 (C1)∆x1 + f2 (C2)∆x2 + f3 (C3)∆x3 = Σ f(Ci)∆xi.
Это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.
Понятие определенного интеграла.
Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ∆хi, где i=1,2,…п
Определение. Пусть предел интегральной суммы Σ f(Ci)∆xiпри стремлении max ∆хi к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка
[a, в] на части и от выбора точек С1, С2, …, Сп. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в] и обозначается , т.е = lim Σ f(Сi)∆xiпри
max ∆xi →0
Число а называется нижним пределом, b – верхним пределом, f(x) – подинтегральной функцией, f(x)dx – подинтегральным выражением.
Некоторые свойства определенного интеграла.
10. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.
= = и т.д.
20. есть число.
30. = — , а
40. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
= m, где m – const.
50. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.
60. Если отрезок интегрирования разбит на части (a
=,
Существует еще ряд важных свойств определенного интеграла, которые подводят нас к формуле для вычисления определенного интеграла. Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница для f(x) непрерывной на[а; b].
= F(b) – F(a), где F(x) некоторая первообразная для функцииf(x).
Например, — вычислить.
1) Находим первообразную для функции х2, т.е. неопределенный интеграл от х2, произвольную постоянную С приравняем к нулю.
= x3/3 │ = 1/3 – 0/3 = 1/3
2) Подставим в первообразную х3/3 вначале значение верхнего предела, равного 1, затем значение нижнего предела, равного 0 вместо х.
Пример 1. Вычислить │= sin π/2 – sin π/6 = 1 – ½ = 1/2
Пример 2. Вычислить │= 22 – 24/4 – [ (-1)2 – ((-1)4/4)] =
продолжение
--PAGE_BREAK--
= 4 – 4 –(1- (1/4)) = -3/4.
Тема 14. Несобственные интегралы.
Мы ввели понятие определенного интеграла от функции y = f(x) на отрезке [а; b], когда функция y = f(x) была интегрируема (и, следовательно, ограничена) на конечном отрезке [а; b]. Если отрезок интегрирования бесконечен, или функция не ограничена на отрезке интегрирования, то мы встречаемся с понятием несобственного интеграла.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Такой интеграл есть некоторая функция от переменного верхнего предела, т.е.
= Ф(х), х ≥ а.
Определение. – называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [а;¥), вводится он как предел функции Ф(t) при t ®¥, т.е.
.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Пример 1. Вычислить
Решение = lnx │ = lim lnx – ln2 = ∞ — ln2 = ∞. Интеграл расходится.
Пример 2. Вычислить
Решение = = x –2/-2 │ = -1/(2x 2) │= -1/2 (lim 1/x2 – 1) = -1/2 (0-1) = 1/2
Интеграл сходится к ½.
По аналогии определяется несобственный интеграл на интервале (-¥, b].
Определение сходимости аналогично предыдущему.
Вводится понятие несобственного интеграла на интервале (-¥;¥).
, а – некоторое число.
Интеграл сходится, если оба интеграла и сходящиеся, если же один из них расходится, то — расходится.
Пример 3. Вычислить .
Решение. .
Рассмотрим = ex │ = e0– lim ex = e0– 1/e∞ = 1-0 = 1.
Интеграл сходящийся к 1.
Рассмотрим = ex │ =lim ex — e 0= e∞ – 1 = ∞.
Этот интеграл расходится, значит — расходящийся несобственный интеграл.
В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл . этот интеграл называется интегралом Эйлера-Пуассона.
Доказано, что 2p).
Несобственные интегралы от разрывных функций.
Если y = f(x) непрерывна на [а; b), но lim f(x) = ¥, то вводится понятие несобственного интеграла от разрывной функции.
Определение. Если существует и конечен предел lim , где e > 0, то он называется несобственным интегралом от функции y = f(x) на интервале [а; b) и обозначается, т.е. =lim
В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла
= lim , если lim f(x) = ¥
Пример 4. Вычислить = 2х1/2 │ = 2( -lim) =2.
Интеграл сходится к 2.
Тесты к теме 1.
1. На сколько периодов условно можно разделить развитие математики (по Колмогорову)?
1: 2
2: 4
3: 1
4: 5
2. К какому времени относится начало периода элементарной математики?
1-: XV в
2: I век н.э
.
3:VI-Vвек до н.э.
4: XII в.
3. Что является предметом изучения науки “Математический анализ”?
1: функция
2: число
3:совокупность чисел
4: геометрические образы (точка, прямая, плоскость).
4. Перечислите основные черты математического мышления.
1: логические рассуждения, математическая интуиция;
2: доказательство;
3: математическая интуиция;
4: умение правильно считать.
5. Какие два вида умозаключений преобладают в математике?
1: моделирование, дедукция.
2: индукция, интуиция;
3: абстрагирование, интуиция;
4: индукция, дедукция;
6. Является ли математика искусством вычислять или наукой?
1: наука,
2: искусство вычислять.
Тесты к тема 2
1.Аксиома – составная часть дедуктивной системы. Это …?
1: Определение основных понятий данной науки.
2: Утверждение, требующее доказательства.
3: Утверждение, принимаемое без доказательств.
4: Некоторое логическое рассуждение.
2.Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса. Какие из представленных?
1: Нужны ли доказательства аксиом? и Являются ли теоремы составной частью дедуктивного метода?
2: О смысле основных понятий.и Об истинности аксиом.
3: Можно ли определить в данной науке основные понятия? и Являюся ли доказательства составной частью дедуктивного метода?
3.Что представляет собой книга «Начала» Евклида?
1: Философское учение греческого философа и ученого Евклида.
2: Аксиоматическое построение геометрии.
3: Мифы Древней Греции.
4: Учение о параллельных прямых.
4Кто из математиков почти одновременно с Н.И. Лобачевским подошел к созданию неевклидовой геометрии?
1: Гаусс, Бойяй
2: Лагранж, Ферма
3: Пуассон, Эйлер
4: Коши, Буняковский
5.В каком году был построен Императорский Казанский Университет?
1;1804
2: 1800
3: 1850
4: 1900.
Тесты к теме 3.
1 Что представляет собой мнимая единица ?
1: корень кв. из -1,
2: –1
3: ( i )^2
4: (-1)^2
2. Найти корни квадратного уравнения х*х-х+1=0
1: Х1=1/2; Х2=3/2
2: Корней нет
3: Х1,2=1/2+-3/2i
4: Х1=2, Х2=-1
3. Произвести действия: Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1+Z2.
1: Z=1-i
2:Z= -1+i
3:Z=2+3i
4: Z=1+2i
4. Произвести действия: Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1*Z2.
1:Z= 4
2:Z=-8+3i
3: Z= -2+6i
4: Z=4-i
5. Найти Z”, если Z=2-i.
1: Z= -2-i
2:Z= -2+i
3:Z= 2+i
4: Z= 2
6. Представить число Z = -3 в виде комплексного числа. Указать его вещественную и мнимую части.
1:Z=3-3i, Re Z=3, Im Z= -3
2:Z=-3+iо, Re Z=-3, Im Z=0
3:Z=3i, Re Z=-0, Im Z=3
4: Z=3*i*i Re Z=0, Im Z=3
7. Найти корни квадратного уравнения х^2+4=0
1: Х=2
2: Корней нет
3: Х1,2=+-2i
4: Х=-2
8. Дано комплексное число Z= -3+2i. Найти координаты точки на плоскости хоу ему соответсвующие.
1; (-3;2)
2: (3,2)
3: (3, -2)
4: (-3,0)
9. Выделить вещественную и мнимую части числа Z=1-3i/5-i.
1: Z=1/5-3i
2:Z=4/13 – 7/13i
3:Z=1/26-3i
4: Z=1-i
Тесты к теме 4.
1.Даны точки М1(3,1); М2(2,3); М3(6,0); М4(-3,-1).
Определить какая из точек лежит на прямой 2х-3у-3=0
1: М1(3,1);
2: М2(2,3);
3: М3(6,0);
4: М4(-3,-1).
2.Дана прямая х-3у+2=0, точка М(1, у) лежит на этой прямой. Найти ордин ату этой точки.
1: у=-1,
2: у=0,
3: у=1,
4: у=5.
3.Дана прямая х-3у+2=0, точка Р(х,2) лежит на этой прямой. Найти абциссу этой точки.
1: х=0,
2: х=4,
3: х=1,
4: х= -4.
4.Даны точки А(-3,2) и В(1,6). Найти расстояние между ними АВ.
1: АВ=2.
2: АВ=4,
3: АВ=8,
4: АВ=4 * корень кв. из 2,
5.Даны четыре пары, указать какие из них являются параллельными прямыми.
1) 2х+3у-1=0
4х+6у+1=0
2) х+у+5=0
х-у-3=0
3) х+5=0
2х+5у=0
4) х-2у+3=0
2х-у-1=0
1: 2х+3у-1=0
4х+6у+1=0
2: х+у+5=0
х-у-3=0
3: х+5=0
2х+5у=0
4: х-2у+3=0
2х-у-1=0
продолжение
--PAGE_BREAK--