ВВЕДЕНИЕ
Простые числа с давнихвремен привлекают внимание математиков. Простые числа следует одно за другим позакону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важнуюроль. Среди натурального ряда выделяют простые числа.
В данной работепоставленная цель:
доказать, что простыечисла играют большую роль в математике.
Задачи для этой работыследующие:
1. Показатьспособы нахождения простых чисел.
2. Назватьимена математиков, связанных с историей открытия простых чисел.
3. Составитьзадачи с использованием простых чисел.
РОЛЬПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В МАТЕМАТИКЕ
Каждое натуральноечисло, больше единицы, делится по крайней мере на два числа: на 1 и на самосебя. Если ни на какое другое натуральное число оно на целое не делится, тоназывается простым, а если у него имеются ещё какие- то целые делители,то составным. Не о всяком числе можно сразу сказать, простое оно илисоставное. Возьмем, например, число 1999. Если нет под рукой специальныхсправочных таблиц или помощника компьютера, то придется вспомнить о старом, нонадежном решете Эратосфена. Старинный способ, придуманный еще в 3 в. До н. э.Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.
Выпишем несколькоподряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберем в свою коллекцию, а остальныечисла, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим не зачеркнутым числом будет 3. Возьмем вколлекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется,что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и другие.Следующее наименьшее не зачеркнутое число-это 5. Берем пятерку, а остальные числа,кратные 5, зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, мы в конце концовдобьемся того, что не зачеркнутыми останутся одни лишь простые числа- онисловно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название РЕШЕТОЭРАТОСФЕНА. Можно ли, повторять поэту, сказать, что простых чисел столько, “сколько звезд на небе, сколько рыб в воде”? Ответ находим в девятой книгезнаменитого сочинения Евклида” Начала”- нетленного памятника Древнего мира.Двадцатая теорема в этой книге утверждает: ”Первых (простых) чисел существуетбольше любого указанного числа их”.
Вот доказательство этойтеоремы. Предположим, что существует некое наибольшее простое число P.Тогда перемножим все простые числа, начиная с 2 и кончая P,и увеличим полученное произведение на единицу: 2 3 5 7*… P+ 1 = M. Если число Мсоставное, то оно должно иметь по крайней мере один простой делитель. Но этимделителем не может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, …, Р,поскольку при делении М на каждое из них получаем в остатке 1. Следовательно,число М либо само простое, либо делится на простое число, большее Р. Значит,предположение, что существует наибольшее простое число Р, наверно и множествопростых чисел бесконечно.
Не о всяком числе можносразу сказать, простое оно или составное. Возьмем, например, число 1999. Еслинет под рукой специальных справочных таблиц или помощника-компьютера, топридется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена.
Первую известную намтаблицу простых чисел составил итальянский математик Пьетро Антонио Катальди в1603 г. Она захватывала все простые числа от 2 до 743
В 1770 г. Немецкийматематик Иоганн Генрих Ламберт опубликовал таблицу наименьших делителей всех чисел,не превосходящих 102000 и не делящихся на 2, 3, 5. Вложив в этот труд поистине колоссальныеусилия, Ламберт гарантировал бессмертие тому, кто доведет таблицу делителей домиллиона. На его призыв откликнулись многие вычислители.
К середине 19 века ужебыли составлены таблицы наименьших делителей не только первого миллиона, но иследующих, в плоть до 9. В это же время в прессе появились сообщения, которыепредставлялись абсолютно фантастическими: в Венскую академию поступило 7больших томов рукописных таблиц “Великий канон делителей всех чисел, которые неделятся на 2, 3 и 5, и простых чисел между ними до 100330201”. Автором этоготруда был Якуб Филипп Кулик, профессор высшей математики Пражскогоуниверситета.
В дальнейшем поискепростых чисел уже не носили характера массовой охоты, с которой можно сравнитьсоставление таблиц, а превратились в целенаправленный отбор отдельныхпредставителей. У охотников за числами больше всего популярны простые числаМарсена. Они названы в честь французского ученого Марена Марсенна, Сыгравшего в18в. Видную роль в становлении европейской науки.
Некоторые представленияо распределения простых чисел имели уже древние греки. Из доказательстваЕвклида следует, например, что они не собраны вместе, а разбросаны по всейчисловой оси. Но как часто?
В 1845 г французскийматематик Жозеф Бертан, исследуя таблицу простых чисел в промежутке от 1 до6000000, обнаружил, что между числами nиn2 – 2, где n> 3, содержится по крайней мере одно простое число. В последствии этосвойство получило название постулата Бертрана, хотя самому Бертануобосновать его так и не удалось. Доказал его в 1852 г русский математикПафнутий Львович Чебышев. Из результата Чебышева следовала и более точнаяоценка. Таким образом, даже среди очень больших чисел простые числа не так ужредки.
С другой стороны,существуют промежутки, включающие тысячи, миллионы, миллиарды и вообще какоеугодно большое количество подряд стоящих натуральных чисел, среди которыхнельзя найти ни одного простого! В самом деле, задавшись произвольным большимнатуральным числом к, построим ряд чисел к! +2,к! +3,…, к!+ к (здесь к! = 1*2*3*…*к). Каждое из этих чиселсоставное. Например, число к! + м делится на м, поскольку к!делится на м и само м делится нам.
Простые числа,делящихся только на единицу и на самих себя(2,3,5,7,11,13,17,…), с давнихвремен привлекают внимание математиков. Более двух тысяч лет назад великийдревнегреческий математик Евклид доказал, что ряд простых чисел бесконечен.Простые числа следуют одно за другим по закону, который еще не найден. Этичисла то на долго исчезают из натурального ряда, то по являются в нем часто, аиногда и по соседству: 11,13,;5971847,5971849.
Профессор И.К. Андроновв книге > приводит рассказ овоображаемом путешествии по бесконечной дороге простых чисел:
Мысленно подвесим напровод через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная сближней:1,2,3,…,1 000,…,1 000 000,…, включим ток с таким расчетом, чтобызагорелись все лампочки с простыми номерами, и полетим вблизи провода>>.
Вместе с автором этойкниги мы начинаем движение с первой электрической лампочки, которая не осветиланам старта; она не горит, так как ее номер (единица) не является простымчислом. Сразу за ней две лампочки с номерами 2 и 3 включены, эти числа простые. Оставим позади горящие лампочки 5 и 7. Они пронумерованы простыми числами. Нанашем длинном пути очень редко будут попадаться числа-близнецы. Вотпромелькнули следующие числа-близнецы: 11 и 13, 17 и 19. Мы быстро набираемскорость; оставляя позади лампочки 101 и 103, 827 и 829; теперь реже и режевстречаются освещенные островки из лампочек, пронумерованы простымичислами-близнецами. Вот на фоне темноты и мрака засверкали лампочки с номерами10 016 957и 10 016 959;это последняя пара известных простых чисел-близнецов. Возможно, где то вбесконечных просторах обрадуют наш взор еще пара светящихся лампочек, или такиеблизнецы исчезнут на всегда. Нам встречаются участки, довольно часто освещаемыелампочками, но чаще путь проходит в темноте. Из первого миллиона промелькнуловсего 78 498 горящихлампочек, 921 502 не горели.
Однако мы только началидвижение, они еще встретятся, но в какой миг? Закономерности нет.
Как и пространство,множество простых чисел бесконечно. Бесконечный ряд чисел, который мы врезультате счета предметов, называется НАТУРАЛЬНЫМ РЯДОМ ЧИСЕЛ: 1,2,3,4,5,….Среди натурального ряда чисел мы выделяем простые числа. Простыми числаминазываются такие, которые делятся на 1 и на самих себя. Наименьшее простоечисло2.
Выделение простых чиселявляется сложной задачей математики. Ученые на протяжении многих веков пытаютсянайти формулу, которая позволила бы из множества натуральных чисел выписатьпростые. Первый, кто занимался этой задачей, был великий математик древностиЭратосфен, живший почти 2 300лет назад. Эратосфен был главным библиотекарь знаменитой Александрийскойбиблиотеки, математиком, географом, историком, астрономом, философом и поэтом.Эратосфен вычислил наклон эклиптики – большой окружности сферы, по которойпроходит видимое годичное движение солнца, расстояние от солнца и луны, длинуземного меридиана (измерив расстояние от Асуана до Александрии), составив картумира с учетом шарообразности Земли и т. д.
Способ Эратосфенасоставления таблиц простых чисел чрезвычайно прост и не требует проверки чиселна делимость. Он воспользовался особым методом, который был назван в честьученого >. Чтобы очистить зерно, мы егопросеиваем. Подобно этому Эратосфен > числанатурального ряда, пользуясь особым приёмом.
Допустим, что быливыписаны ( в таблице из 10рядов ) все по следовательно от 1 до 100. Преждевсего надо > все четные числа, кроме 2. Подчеркнувчисло2, остальные числа, делящиеся на 2, зачеркнем. После 2 в таблице идетпростое число 3. Подчеркнем число 3 как простое, а все остальные, делящееся на3, зачеркнем. ( Числа, кратные 3, стоят на местах через два на третье.) теперьследующее простое число 5, которое опять подчеркиваем; выбрасываем все числа,кратные 5, которые расположены на местах через четвертое на пятое, считая ранеезачеркнутые. Дальше подчеркиваем следующее число 7 и зачеркиваем числа,делящиеся на 7, и т. д. Заметьте, что из всех натуральных чисел не зачеркнутымиостаются простые числа. Эратосфен у каждого составного числа прокладывалотверстие, и получалось нечто вроде решета, через которое эти составные числа>.
Древне греческих ученыхзаинтересовало: сколько может быть простых чисел в натуральном ряду? Ответил наэтот вопрос Евклид, доказав, что простых чисел бесконечное множество.
Однако способЭратосфена не смог удовлетворить ученых, и они пытались найти формулу простыхчисел. На протяжении многих столетий это сделать не удавалось. В ряду простыхчисел были найдены многие интересные закономерности, но поставленная задачаоставалась без ответа. Первым приблизился к решению проблем простых чисел П.Л.Чебышев.
В 1750 г. Леонард Эйлерустановил, что число 2³¹ — 1 является простым. Оно оставалось самымбольшим из известных простых чисел более ста лет. В 1876 г. Французскийматематик Лукас установил, что огромное число
2127 — 1 = 170 141 183 560 469 231 731 687 303 715 884 105727
также простое. Оно содержит 39 цифр. Для его вычисления были механическиенастольные счетные машины. В 1957 г. было найдено следующее простое число:23217 – 1. А простое число 244 497– 1 состоит из 13 000 цифр.
УЗЫДРУЖБЫ В МИРЕ ЧИСЕЛ
Два натуральных числа mи n называются дружественными, еслисумма собственных делителей mравнаn, асумма собственных делителей nравнаm.
История дружественныхчисел теряется в глубине веков. По свидетельству античного философа Ямвлиха(III-IVвв.), великий Пифагор на вопрос, кого следует считать своим другом,ответил:>.Проверьте, пожалуйста, что числа 220 и 284 дружественные.
Для нахождениядружественных чисел арабский ученый Сабит Ибн Курра (IXв. ) предложил хитроумный способ: задавшись натуральным числом n,подсчитать спамогательные величины p=3*2n-1– 1, q=3*2n-1 и r= 9*2 2n– 1`-1. Если окажется, что числа p,q, rпростые, тогда числа А = 2np qи В = 2nr дружественные.
Пифагорова пара 220 и284 получаются по этому методу при n=2.Следующую пару чисел – 17 296и 18 416 – обнаружилинезависимо друг от друга марокканский ученый Ибн Аль – Банна и три столетияспустя француз Пьер Ферма. В этом случае n=4.Третью пару – 9 363 584и 9 437 056(при n=7) – указал в 1638 г.Рене Декарт. Дальнейшие попытки найти дружественные пары при не большихзначениях n к успеху не приводят. Болеетого способ Сабита ибн Курры не выявляется ни одной новой пары дружественныхчисел, если n увеличивать до 20 000!Неужели дружественные числа – алмазы-самородки и для подсчета их пар многоватопальцев одной руки?
В 1747-1750 гг. ЛеонардЭйлер провел уникальные числовые раскопки. Он придумал оригинальные методыпоиска и обнаружил сразу 61 новую пару дружественных чисел. Примечательно, чтосреди них оказались и не четные числа: 69 615и 11 498 355;87 633 и 12 024 045.Сейчас известно около 1100 пар дружественных чисел. Любопытно, что в 1866 г.итальянский школьник Н. Паганини (однофамилец известного скрипача) нашел парудружественных чисел 1184 и 1210, которую все, в том числе и выдающеесяматематики, проглядели!
Вот пары дружественныхчисел в пределе 100 000:
220 – 284
1184 – 1210
2620 – 2924
5020 – 5564
6232 – 6368
10744 – 10856
12285 – 14595
17296 – 18416
63020 – 76084
66928 – 66992
67095 – 71145
69615 – 87633
79750 – 88730
Дружественные числапродолжают скрывать множество тайн. Есть ли смешанные пары, у которых одночисло четное, а другое не четное? Существует общая формула, описывающая вседружественные пары? На эти и другие вопросы ответы пока не найдены.
Из опыта вычислениялюди знали, что каждое число является либо простым, либо произведениемнескольких простых чисел. Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-тоиз его последователей нашел доказательство этого утверждения.
Теперь легко объяснитьроль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых спомощью умножения строят все остальные числа. Хорошо было бы, если все простыечисла можно было сосчитать! Пусть их было бы хоть миллион – все равно мы зналибы, что, перемножая эти простые числа, можем получить все остальные. Но этооказалось не так. Через два столетия после Пифагора греческий геометр Евклиднаписал книгу >. И одними из утверждений этой книги былоследующее: самого большого простого числа не существует.
Простые числа внатуральном ряде чисел, расположены очень причудливо. Иногда между ними естьтолько одно четное число (все простые числа, кроме числа 2, нечетные). Такимиблизнецами так их зовут в науке, являются: 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. До сихпор не известно, есть ли самые большие близнецы или нет. А иногда междусоседними простыми числами лежит пропасть в миллионы и миллиарды чисел. Первымглубокие результаты о том, как разбросаны простые числа среди остальныхнатуральных чисел, получил великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев,основатель и руководитель русских математических исследований в прошлом веке.
ПРОБЛЕМАГОЛЬДБАХА
Из простых чисел можнополучить любое число с помощью умножения. А что будет, если складывать простыечисла? Конечно, если брать сколько угодно слагаемых, то можно получить любоечисло: четные числа получаются путем сложения двоек, а не четные путем сложенияодной тройки и нескольких двоек. Но живший в России в XVIIIвеке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно.Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четноечисло в виде суммы двух простых чисел. Вот эти разложения для двухзначных чисел(как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом):
4=1+3, 6=1+5, 8=1+7,10=3+7, 12=5+7, 14=3+11,
16=3+13, 18=5+13,20=3+17, 22=11+11, 24=11+13,
26=13+13, 28=23+5,30=23+7, 32=19+13, 34=17+17,
36=17+19, 38=19+19,40=37+3, 42=37+5, 44=37+7,
46=23+23, 48=47+1,50=47+3, 52=47+5, 54=47+7,
56=53+3, 58=53+5,60=53+7, 62=31+31, 64=61+3,
66=61+5, 68=61+7,70=67+3, 72=67+5, 74=37+37,
76=73+3, 78=73+5,80=73+7, 82=41+41, 84=41=43,
86=43+43, 88=87+1,90=87+3, 92=87+5,94=87+7,
96=89+7, 98=97+1.
О своем наблюденииГольдбах написал великому математику XVIIIвека Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской академии наук. Проверивеще много четных чисел, Эйлер убедился, что все они являются суммами двухпростых чисел. Но четных чисел бесконечно много. По этому вычисления Эйлерадавали надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают всечисла. Однако попытки доказать, что это всегда будет так, ни к чему не привели.
Двести лет математикиразмышляли над проблемой Гольдбаха. И только советскому ученому ИвануМатвеевичу Виноградову удалось сделать решающий шаг. Он установил, что любоедостаточно большое натуральное число является суммой трех простых чисел. Ночисло, начиная с которого верно утверждение Виноградова, невообразимо велико.По этому пока что, к сожалению, нет надежды даже с помощью самых лучших ЭВМпроверить, верно ли это утверждение для всех остальных чисел.
АЛГОРИТМ
Длянахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужновыполнить следующие шаги:
1) Выписатьподряд все целые числа от 2 до n (2,3,4…,n)
2) Пустьпеременная p изначально равна 2-первому простому числу.
3)Вычеркнуть из списка все числа от 2p до n, делящиеся на p (то есть, числа 2p,3p,4p,… .)
4) Найтипервое невычеркнутое число, большее, чем р, и присвоить значению переменной p это число.
5)Повторять шаги 3 и 4 до тех пор, пока p не станет больше, чем n.
6) Всеневычеркнутые числа в списке — простые числа.
Напрактике, алгоритм можно немного улучшить следующим образом.
На шаге №3,числа можно вычеркивать, начиная сразу с числа p2, потому что все составные числа меньше его уже будут вычеркнуты кэтому времени.
И,соответственно, останавливать алгоритм можно, когда p2 станет больше, чем n.
ЗАДАЧИВ некотором царстве, в некотором государствежила принцесса. И однажды ей захотелось узнать ответ на свой вопрос о соседнемкоролевстве. В соседнем королевстве было 12 фей. За ночь всем феям надо быловыполнить одинаковое количество желаний. Всего им надо было выполнить 144желания. И принцессе захотелось узнать, сколько желаний должна выполнить однафея за ночь. Но чтобы узнать ответ на вопрос, принцессе надо было слетать всоседнее королевство и спросить у фей. Долететь до королевства принцессапоручила дракону и дала ему на всю дорогу 6 часов. Расстояние до королевства 448,8км. С какой скоростью должен лететь дракон, чтобы успеть слетать и туда, иобратно?Решение1) 6:2=3 (часа)- за такое время дракон долженслетать туда или обратно.2) 448,8:3=149,6 (км/ч)- с такой скоростьюдолжен лететь дракон, что бы прилететь в своё королевство вовремя.( Задачу придумала Сторожева Яна).Дракону надо лететь со скоростью 149,6 км/ч,что прилететь в своё королевство вовремя.Тем времен дракон прилетел в соседнеекоролевство. Решение вопроса принцессы оказалось очень простым:Решение1) 144:12=12(желаний)- должна выполнить 1 феяза ночь.( Задачу придумала Бордюгова Анастасия).1 фея должна выполнить 12 желаний за ночь.Дракон прилетел обратно и получил за ответ навопрос принцессы вознаграждение: 1,2 кг мороженого. Он решил поделитьсямороженым с друзьями. Друзей у него было 7. Сколько мороженого досталоськаждому другу и самому дракону?Решение1) 7+1=8- друзья и сам дракон.2) 1,2:8=0,15(кг)- досталось каждому другу исамому дракону.( Задачу придумала Хисемятдинова Нейля).0,15 кг мороженого досталось каждому другу исамому дракону.Принцесса решила позвать к себе на работу 7гномов, чтобы они искали изумруды. И сказала им, что за неделю они должны найти147 изумрудов. А сама принцесса решила узнать: сколько 7 гномов должны найтиизумрудов за 1 день? Сколько 1 гном должен найти изумрудов за 1 день? Сколько 1гном должен найти изумрудов за неделю?Решение1) 147:7=21(изумруд)- должны найти 7 гномов за1 день.2) 21:7=3(изумруда)- должен найти 1 гном за 1день.3) 3*7=21(изумруд)- должен найти 1 гном занеделю.( Задачу придумала Сторожева Яна).21 изумруд должны найти 7 гномов за 1 день, 3изумруда должен найти 1 гном за 1 день, 21 изумруд должен найти 1 гном занеделю. Гномам надо было где-то жить. Принцесса решила отдать им подвал. В подвалебыло 476м2. Сколько каждому гному должно достаться м2,чтобы каждому гному досталось одинаковое количество м2?Решение1) 476:7=68(м2)- достанется каждомугному.( Задачу придумала Бордюгова Анастасия).Каждому гному достанется по 68м2.Как-то раз к принцессе пришла Красная шапочка исказала, что не умеет делить. Она приготовила 381 пирожок и должна раздать его3 своим бабушкам. Но она не знает, сколько пирожков должно достаться каждойбабушке. Принцесса стала считать:Решение1) 381:3=127 (пирожков)- достанется каждойбабушке.( Задачу придумала Хисемятдинова Нейля).Принцесса сказала Красной шапочке, что каждойбабушке достанется по 127 пирожков. Красная шапочка пИндийские математики нашли уникальный алгоритмпоиска простых чиселИндийские математики и специалисты в областикомпьютерного обеспечения заявляют, что разработали метод, позволяющийбезошибочно и быстро определять, простым ли является то или иное число.Проблема быстрого определения простых чисел, над которой исследователи бились втечение более чем 2200 лет, является важнейшей в улучшении современнойкомпьютерной техники.Простые числа — это ключ к разрешению многихматематических проблем, они также играют большую роль в криптографии(шифровании), благодаря чему интересуют не только математиков, но и военных,разведку и контрразведку. Простое число — то, которое делится без остаткатолько на единицу и на само себя. Так, к простым числам относятся 2, 3, 5, 7,11, 13 и так далее по возрастающей.Первым проблему определения простых чисел поставилдревнегреческий ученый Эратосфен примерно в 220 году до нашей эры, предложиводин из путей определения простых чисел. С тех пор ученые постепеннопродвигались вперед, а в последние десятилетия им на помощь в проверкеделимости огромных чисел пришли компьютеры. Математики, а позже и специалистыпо компьютерному программированию разработали много способов решения этойпроблемы, однако все они несут небольшую потенциальную возможность ошибки. «Наш алгоритм исключает вероятность любойошибки», — заявил основной разработчик нового метода Маниндра Агравал.Результаты вычислений уже разосланы ведущим компьютерным специалистам иматематикам во всем мире. Ученые еже получили несколько отзывов. Никто невысказывает сомнений в новом алгоритме, и все выражают удовлетворениедостигнутым результатом, сообщает NTVRU.com.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В даннойработе рассмотрены вопросы:
Историявозникновения простых чисел.
Рассмотреналгоритм нахождения простых чисел.
Названыимена ученых, которые занимались изучениям простых чисел.
А такжеподобраны задачи на простые числа.
Даннуюработу можно использовать на уроках математики, и в кружковой работе, что бы неказалось, что наука математика это сухая, сухая неинтересная наука.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьногокружка 5 6 кл. М.: изд во нц энас, 2005 208с (портфель учителя)
2. Агеева И.Д. Занимательные материалы по информатике иматематике. Методическое пособие. М.: Ту. Сфера, 2006 240с (игровые методыобучения).
3. Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразовательное учреждений /Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. С.Б. Суворова и др.; Под редакцией Г.В. дорофеева,И.Ф. Шарыгина. М.: Просвещения, 1998. 368с.: ил. ISBN 5 09 008059 3
4. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборникзаданий. Выпуск 2 В.В. Трошин М.: Глобус, 2008 282с. (учение с увлечением).