--PAGE_BREAK-- (1.2.1) при ограничениях (1.2.2) , где В этих выражениях:
— объемы бензина А-го, В-го и С-го сорта соответственно.
Тогда
объёмная доля первой компоненты (алкилата) в бензине А.
объёмная доля первой компоненты (алкилата) в бензине В.
объёмная доля первой компоненты (алкилата) в бензине С.
и т.д.
Целевая функция выражает стоимость всей продукции в зависимости от объема производимого бензина каждого сорта. Таким образом, для получения максимальной стоимости продукции необходимо максимизировать целевую функцию (1.2.1) с соблюдением всех условий задачи, которые накладывают ограничения (1.2.2) на .
2
.
Приведение задачи к канонической форме
Задача линейного программирования записана в канонической форме, если она формулируется следующим образом.
Требуется найти вектор , доставляющий максимум линейной форме
(2.1)
при условиях
(2.2)
(2.3)
где
Перепишем исходную задачу (1.2.1) - (1.2.2):
(2.4) при ограничениях (2.5)
, где (2.6)
В канонической форме задачи линейного программирования необходимо, чтобы все компоненты искомого вектора Х были неотрицательными, а все остальные ограничения записывались в виде уравнений. Т.е. в задаче обязательно будут присутствовать условия вида (2.3) и 8 уравнений вида (2.2), обусловленных неравенствами (2.5), (2.6).
Число ограничений задачи, приводящих к уравнениям (2.2) можно уменьшить, если перед приведением исходной задачи (2.4) - (2.6) к канонической форме мы преобразуем неравенства (2.6) к виду (2.3). Для этого перенесем свободные члены правых частей неравенств (2.6) в левые части. Таким образом, от старых переменных перейдем к новым переменным, где :
, .
Выразим теперь старые переменные через новые
, (2.7)
и подставим их в линейную форму (2.4) и в неравенства (2.5), (2.6). Получим
, где .
Раскрывая скобки и учитывая, что
(2.8),
можем окончательно записать:
(2.9)
продолжение
--PAGE_BREAK-- (2.10)
, где (2.11)
Путем несложных преобразований задачу (1.2.1), (1.2.2) свели к задаче (2.9) - (2.11) с меньшим числом ограничений.
Для записи неравенств (2.10) в виде уравнений введем неотрицательные дополнительные переменные , и задача (2.9) - (2.11) запишется в следующей эквивалентной форме:
(2.12)
(2.13)
, где
Задача (2.12), (2.13) имеет каноническую форму.
3. Нахождение начального опорного плана с помощью
L
-задачи
Начальный опорный план задачи (2.1) - (2.3), записанной в канонической форме, достаточно легко может быть найден с помощью вспомогательной задачи (L-задачи):
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Начальный опорный план задачи (3.1) - (3.3) известен. Он состоит из компонент
и имеет единичный базис Б = = E
.
Решая вспомогательную задачу первым алгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4), в силу ограниченности линейной формы сверху на множестве своих планов () получим, что процесс решения через конечное число шагов приведет к оптимальному опорному плану вспомогательной задачи.
Пусть — оптимальный опорный план вспомогательной задачи. Тогда является опорным планом исходной задачи. Действительно, все дополнительные переменные . Значит, удовлетворяет условиям исходной задачи, т.е. является некоторым планом задачи (2.12) - (2.13). По построению план является также опорным.
3.1. Постановка
L
-задачи
Вспомогательная задача для нахождения начального опорного плана задачи (2.12) - (2.13) в канонической форме состоит в следующем.
Требуется обратить в максимум
при условиях
, где .
продолжение
--PAGE_BREAK--
рассматривая в качестве исходного опорного плана план
Здесь добавление только одной дополнительной переменной (вместо пяти) обусловлено тем, что исходная задача уже содержит четыре единичных вектора условий А4, А5, А6, А7.
3.2. Решение
L
-задачи
Решение L-задачи будем проводить в соответствии с первым алгоритмом симплекс-метода (описание алгоритма приводится в п.4). Составим таблицу, соответствующую исходному опорному плану (0-й итерации).
Т.к. Б0 = — базис, соответствующий известному опорному плану, является единичной матрицей, то коэффициенты разложения векторов Аjпо базису Б0
.
Значение линейной формы и оценки для заполнения (m+1)-й строки таблицы определяются следующими соотношениями:
,
.
Отсюда получим:
;
;
;
…
.
Весь процесс решения задачи приведен в табл. 3.2.1, которая состоит из 2 частей, отвечающих-й (исходная таблица) и 1-йитерациям.
Заполняем таблицу 0-й итерации.
Среди оценок имеются отрицательные. Значит, исходный опорный план не является оптимальным. Перейдем к новому базису. В базис будет введен вектор А1 с наименьшей оценкой . Значения tвычисляютсядля всех позиций столбца t(т.к. все элементы разрешающего столбца положительны). Наименьший элемент достигается на пятой позиции базиса. Значит, пятая строка является разрешающей строкой, и вектор А9 подлежит исключению из базиса.
Составим таблицу, отвечающую первой итерации.
В столбце Бх, в пятой позиции базиса место вектора А9занимает вектор А1. Соответствующий ему коэффициент линейной формы С41 = 0 помещаем в столбец Сх. Главная часть таблицы 1 заполняется по данным таблицы 0 в соответствии с рекуррентными формулами. Так как все , то опорный план является решением L-задачи. Наибольшее значение линейной формы равно .
Таблица 3.2.1
3.3. Формирование начального опорного плана исходной задачи линейного программирования из оптимального плана
L
-задачи
Поскольку , где — оптимальный опорный план L-задачи, то является начальным опорным планом исходной задачи (2.12) - (2.13).
4. Решение исходной задачи
I
алгоритмом симплекс-метода
Описание
I
алгоритма
Симплекс-метод позволяет, отправляясь от некоторого исходного опорного плана и постепенно улучшая его, получить через конечное число итераций оптимальный план или убедиться в неразрешимости задачи. Каждой итерации соответствует переход от одной таблицы алгоритма к следующей. Таблица, отвечающая опорному плану в ν-й итерации имеет вид табл. 4.1.
Таблица 4.1
продолжение
--PAGE_BREAK--
Заполнение таблицы, соответствующей исходному опорному плану (0-й итерации). Пусть некоторый опорный план задачи (2.1) - (2.3) с базисом . Тогда – базисные компоненты, а – небазисные компоненты.
Вычисляем коэффициенты разложения векторов Аj по базису Б0
(в случае, если Б0является единичной матрицей, )
и находим оценки . Далее определяем значение линейной формы
Полученные результаты записываем в таблицу 4.1.
В первом столбце N таблицы указываются номера строк. Номера первых mстрок совпадают с номерами позиций базиса. Во втором столбце Сх записываются коэффициенты линейной формы при базисных переменных. Столбец Бх содержит векторы базиса . В столбце В записываются базисные переменные опорного плана. Столбцы содержат коэффициенты разложения соответствующих векторов условий по векторам базиса. Все вышесказанное относится только к первым mстрокам таблицы. Последняя (m+1)-я строка таблицы заполняется последовательно значением линейной формы Fи оценками . Позиции таблицы, которые не должны заполняться, прочеркиваются.
В результате заполнена таблица 0-й итерации кроме столбца t.
Столбцы В, А1,…, An(все m+1 позиций) будем называть главной частью таблицы.
Порядок вычислений в отдельной итерации. Пусть ν-я итерация закончена. В результате заполнена таблица νза исключением последнего столбца t.
Каждая итерация состоит из двух этапов.
I
этап:проверка исследуемого опорного плана на оптимальность.
Просматривается (m+1)-ястрока таблицы ν. Если все , то опорный план, полученный после ν-й итерации, является оптимальным(случай 1), завершаем решение задачи. Пусть теперь имеются отрицательные оценки. Проверяем знаки элементов столбцов с . Наличие по крайней мере одного столбца , для которого и все , свидетельствует о неразрешимости задачи (случай 2). Установив это, прекращаем вычисления.
Если в каждом столбце , для которого , содержится хотя бы один положительный коэффициент , то опорный план является неоптимальным (случай 3). Переходим ко IIэтапу.
II
этап:построение нового опорного плана с большим значением линейной формы.
Определяется векторAk, который должен быть введен в базис, из следующего условия
.
После этого заполняется последний столбец таблицы ν – столбец t. В него записываются отношения базисных переменных (элементы столбца В) к соответствующим составляющим (элементы столбца Ak). Т.о. заполняются только те позиции, для которых . Если , то в позиции iстолбца tзаписывается . Вектор базиса , на котором достигается t0,
,
подлежит исключению из базиса (если t0достигается на нескольких векторах, то из базиса исключается любой из них).
Столбец Ak, отвечающий вектору, вводимому в базис, и l-я строка, соответствующая вектору
, исключаемому из базиса, называется соответственно разрешающим столбцом и разрешающей строкой. Элемент , расположенный на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, называется разрешающим элементом.
После выделения разрешающего элемента заполняется (ν+1)-я таблица. В l-е позиции столбцов Бх, Сх вносятся соответственно Ак, Ск, которые в (ν+1)-й таблице обозначаются как , . В остальные позиции столбцов Бх, Сх вносятся те же параметры, что и в таблице ν.
Далее заполняется главная часть (ν+1)-й таблицы. Прежде всего происходит заполнение ее l-йстроки в соответствии с рекуррентной формулой
.
Рекуррентная формула для заполнения i-й строки (ν+1)-й таблицы имеет вид
.
Здесь
.
Заполнение главной части (ν+1)-й таблицы завершает (ν+1)-ю итерацию. Последующие итерации проводятся аналогично. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет получен оптимальный план либо будет установлено, что исследуемая задача неразрешима.
Решение исходной задачи
Весь процесс решения исходной задачи (2.12) - (2.13) приведен в табл. 4.2.
Заполнение таблицы, отвечающей 0-й итерации, происходит на основе табл. 3.2.1 (см. итерацию 1) следующим образом. Главная часть таблицы 0-й итерации исходной задачи (за исключением (m+1)-й строки) полностью повторяет главную часть таблицы заключительной итерации L-задачи без столбца А9. Также без изменений остается столбец базисных векторов Бх. Строка С коэффициентов линейной формы исходной задачи и столбец Сх коэффициентов при базисных переменных заполняются исходя из (2.12). С учетом новых коэффициентов С пересчитываются значение линейной формы Fи оценки .
Заполнение таблиц, отвечающих последующим итерациям, происходит в соответствии с описанным выше первым алгоритмом.
Таблица 4.2
Решение исходной задачи(2.12) - (2.13) получено за 3итерации. Оптимальный план ее равен и .
Найденное решение задачи в канонической форме (2.12) - (2.13) соответствует решению (4.1) общей задачи линейного программирования (2.9) - (2.11), записанной для новых переменных . Для общей задачи из (2.9) следует, что (4.2).
Вернемся к задаче (1.2.1), (1.2.2) со старыми переменными . Учитывая (4.1) и (4.2) из (2.7) и (2.8) получим
(4.3)
и
. (4.4)
Таким образом, для получения максимальной цены (142750 руб.) всей продукции необходимо произвести:
- 450 тыс.л. бензина А из полуфабрикатов в следующих количествах:
- Алкитата тыс.л.
- Крекинг-бензина тыс.л.
- Бензина прямой перегонки тыс.л.
- Изопентона тыс.л.
- тыс.л. бензина В из полуфабрикатов в следующих количествах:
- Алкитата тыс.л.
- Крекинг-бензина тыс.л.
- Бензина прямой перегонки тыс.л.
- Изопентона тыс.л.
- 300 тыс.л. бензина В из полуфабрикатов в следующих количествах:
- Алкитата тыс.л.
- Крекинг-бензина тыс.л.
- Бензина прямой перегонки тыс.л.
- Изопентона тыс.л.
5. Формирование М-задачи
Далеко не всегда имеет смысл разделять решение задачи линейного программирования на два этапа – вычисление начального опорного плана и определение оптимального плана. Вместо этого решается расширенная задача (М-задача). Она имеет другие опорные планы (один из них всегда легко указать), но те же решения (оптимальные планы), что и исходная задача.
Рассмотрим наряду с исходной задачей (2.1) - (2.3) в канонической форме следующую расширенную задачу (М-задачу):
(5.1)
(5.2)
. (5.3)
Здесь М>0 – достаточно большое число.
Начальный опорный план задачи (5.1) - (5.3) имеет вид
Переменные называются искусственными переменными.
Таким образом, исходная задача линейного программирования с неизвестным заранее начальным опорным планом сводится к М-задаче, начальный опорный план которой известен. В процессе решения этой расширенной задачи можно либо вычислить оптимальный план задачи (2.1) - (2.3), либо убедиться в ее неразрешимости, если оказывается неразрешимой М-задача.
В соответствии с вышеизложенным имеем: требуется решить задачу (2.12), (2.13), записанную в канонической форме. Введем искусственную неотрицательную переменную х9 и рассмотрим расширенную М-задачу
(5.4)
при условиях
(5.5)
, где .
где М – сколь угодно большая положительная величина.
Как и в L-задаче, добавление только одной искусственной переменной (вместо пяти) обусловлено тем, что исходная задача уже содержит четыре единичных вектора условий А4, А5, А6, А7.
6. Решение М-задачи
II
алгоритмом симплекс-метода
Описание
II
алгоритма
Второй алгоритм(или метод обратной матрицы) симплекс метода основан на ином способе вычисления оценок векторов условий Аj, чем в первом алгоритме.
Рассматривается задача линейного программирования в канонической форме(2.1) - (2.3). Пусть Х – опорный план с базисом . Все параметры, необходимые для оценки плана на оптимальность и перехода к лучшему плану, можно получить, преобразовывая от шага к шагу элементы матрицы .
Действительно, зная обратную матрицу , можно получить базисные составляющие опорного плана:
и вычислить оценки векторов условий относительно текущего базиса
, (6.1)
предварительно определив вектор-строку по формуле
или
. (6.2)
Здесь — вектор-строка из коэффициентов линейной формы, отвечающих базисным переменным.
Оценки позволяют установить оптимальность рассматриваемого опорного плана и определить вектор Ак, вводимый в базис. Коэффициенты разложения вектора Ак по текущему базису вычисляются по формуле
.
Как и в I алгоритме, вектор, подлежащий исключению из базиса, определяется величиной
.
Таким образом при втором алгоритме на каждом шаге запоминаются базисные компоненты , обратная матрица , значение линейной формы F(X)и вектор Y, соответствующие текущему опорному плану Х. Элементы столбцов матрицы удобно рассматривать как коэффициенты разложения единичных векторов по векторам базиса. Рекуррентные формулы, связывающие параметры двух последовательных итераций
; (6.3)
. (6.3)
Здесь
.
Результаты вычислений сводятся в основные таблицы (вида табл. 6.1) и вспомогательную таблицу (вида табл. 6.2); столбцы В, е1, …, еm основных таблиц (все m+1 позиций) называют главной частью этих таблиц. Столбец Аk – разрешающий столбец, строка l – разрешающая строка.
Таблица 6.1 Таблица 6.2
--PAGE_BREAK--