МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Реферат на тему: «Решение нелинейных уравнений
методом простых итераций»
Выполнил:. Бубеев Б.М.
Проверил: Ширапов Д.Ш.
Улан-Удэ
2011 г.
Введение
Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса — алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.
Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:
точные методы;
итерационные методы.
Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.
Пусть дано уравнение
/>
(1)
где:
Функцияf(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.
Значения f(x) на концах отрезка имеют разные знаки (f(a) f(b) .
Первая и вторая производные f' (x) и f'' (x) сохраняют определенный знак на всем отрезке.
Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.
Решить уравнение (1) итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.
Всякое значение />, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что:
/>
называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x).
Задача нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:
отделение корней — отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;
уточнение приближенных корней — доведение их до заданной степени точности.
Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных x =a и x =b точках области ее существования.
Пример 1. Отделить корни уравнения:
f(x)x3— 6х + 2= 0.
(2)
Составим приблизительную схему:
x
-
-3
-1
0
1
3
+
f(x)
-
-
+
+
-
+
+
Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3].
Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.
В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.
Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) — это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x)с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением:
/>,
(3)
где функцииf1(x) и f2(x) — более простые, чем функцияf(x). Тогда, построив графики функций у =f1(x) и у = f2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.
/>
Рисунок 2.
Пример 2. Графически отделить корни уравнения (Рисунок 2):
x lgx = 1.
(4)
Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства:
lgx=/>.
Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lgx и гиперболы y = />. Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень />уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3].
Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х1, х2, ..., хn. Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.
Метод простой итерации
Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f(х) = 0 заменяется равносильным уравнением
x = (x).
(8)
Пусть известно начальное приближение корня х = х0. Подставляя это значение в правую часть уравнения (8), получим новое приближение:
х1 = (х0).
Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (8), получаем последовательность значений:
/>
(9)
Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у =
(х). Каждый действительный корень />уравнения (8) является абсциссой точки пересечения М кривойу =
(х) с прямой у = х (Рисунок 6, а).
/>
Рисунок 6.
Отправляясь от некоторой точки А0[x0,
(x0)], строим ломаную А0В1А1В2А2… (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу, вершины А0, А1, А2, ...лежат на кривойу=
(х), а вершины В1, В2, В3, …, — на прямой у = х. Общие абсциссы точек А1 и В1, А2 и В2, ..., очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х1, х2, ... корня />.
Возможен также другой вид ломанойА0В1А1В2А2 ... — “спираль” (Рисунок 6, б). Решение в виде “лестницы” получается, если производная ' (х) положительна, а решение в виде “спирали”, если ' (х) отрицательна.
На Рисунке 6, а, б кривая у = (х) в окрестности корня /> — пологая, то есть />>1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рисунок 7).
/>
Рисунок 7.
Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.
Теорема: Пусть функция (х) определена и дифференцируема на отрезке [a, b], причем все ее значения (х) />[a,b].
Тогда, если существует правильная дробь q такая, что
/>/>q
при a x b, то: 1)процесс итерации
/>
сходится независимо от начального значения х0 [a,b];
2) предельное значение />является единственным корнем уравнения х =
(х) на отрезке [a, b].
Пример 5. Уравнение
f(x) x3 — x — 1 = 0
(10)
имеет корень />[1, 2], так как f(1) = — 1 f(2) = 5 > 0.
Уравнение (10) можно записать в виде
х = х3 — 1.
(11)
Здесь
(х) = х3 — 1 и ' (х) = 3х2;
поэтому
' (х) />3 при 1 />х />2
и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.
Если записать уравнение (10) в виде
/>
(12)
то будем иметь:
/>.
Отсюда />при 1 />х />2 и значит, процесс итерации для уравнения (12) быстро сойдется.
Найдем корень уравнения (10) с точностью до 10-2. Вычисляем последовательные приближения хnс одним запасным знаком по формуле
/>
Найденные значения помещены в Таблицу 1:
Таблица 1
Значения последовательных приближений xi.
i
0
1
2
3
4
xi
1
1,260
1,312
1,322
1,3243
С точностью до 10-2 можно положить = 1,324.