РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
Работу выполнил студент гр.И-29 Уханов Е.В.
Кафедра “Системы и Процессы Управления”
“ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ”
Харьков 2001
ВВЕДЕНИЕ
Во многих областях науки и техники, а также отраслях наукоемкой промышленности, таких как: авиационная, космическая, химическая, энергетическая, — являются весьма распространенные задачи прогноза протекания процессов, с дальнейшей их коррекцией .
Решение такого рода задач связано с необходимостью использования численных методов, таких как: метод прогноза и коррекции, метод Адамса-Башфорта, метод Эйлера, метод Рунге-Кута, и др. При этом, стоит задача решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методов интегрирования, на произвольном промежутке времени. Одним из оптимальных методов дающих высокую точность результатов – является пяти точечный метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта. Для повышения точности метода используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага, что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования .
Разработка программных средств реализующих расчет точного прогноза протекания процессов, является важнейшей вспомогательной научно-технической задачей .
Целью данной курсовой работы является разработка алгоритма решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта .
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :
/> (1.1)
тогда как :
А = /> (1.2)
где А заданная матрица размером N x N .
/> — вектор с N координатами, который подлежит определению ;
N – произвольное целое число ;
/>
заданные вектора правых частей с N координатами .
С использованием метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта пятого порядка, необходимо получить значения неизвестных для заданных временных интервалов. Для стартования метода необходимо использовать метод прогноза и коррекции третьего порядка с переменным шагом, на заданных временных промежутках ..
2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
2.1. Метод прогноза и коррекции
Метод прогноза и коррекции относится к задачам класса Коши, а именно к численным решениям многошаговыми методами .
Рассмотрим задачу Коши :
/>, /> (2.1.1)
Подставим в (2.1.1) точное решение y(x), и проинтегрируем это уравнение на отрезке />, тогда получим :
/>/>(2.1.2)
где в последнем член предполагаем, что p(x) полином, аппроксимирующий f(x,y(x)). Чтобы построить этот полином, предположим, что /> — приближения к решению в точках />. Будем считать для начала, что узлы Xi расположены равномерно с шагом h. тогда fi = f(xi,yi), ( i=k,k-1,k-2,…,k-N) есть приближения к f (x,y(x)) в точках />и мы в качестве P возьмем интерполяционный полином для выбора данных (xi,fi),
( i =k,k-1,k-2,…,k-N). Таким образом, P – полином степени N, удовлетворяющий условиям P(xi)=fi, ( i = k,k-1,k-2,…,k-N). В принципе, можем проинтегрировать этот полином явно, что ведет к следующему методу :
/>(2.1.3)
В простейшем случае, когда N=0, полином P есть константа, равная fk, и (2.1.3) превращается в обычный метод Эйлера :
/>(2.1.4)
Если N=1, то P есть линейная функция, проходящая через точки
(xk-1,fk-1) и (xk,fk), т.е.
/>(2.1.5)
интегрируя этот полином от Xk до Xk+1, получим следующий метод :
/>(2.1.6)
который является двухшаговым, поскольку использует информацию в двух точках xk и xk-1. Аналогично, если N=2, то P — есть кубический интерполяционный полином, а соответствующий метод определяется формулой :
/>(2.1.7)
Отметим, что метод (2.1.6) – есть метод Адамса-Башфорта второго порядка, (2.1.7) – метод Адамса-Башфорта четвертого порядка .
Для стартования метода (2.1.7) необходимы сведения о четырех предыдущих точках. Соответственно данный метод требует вычисления стартующих данных. Воспользуемся для нахождения второй точки одношаговым методом Эйлера, который имеет вид :
/>
Таким образом, подставляя начальные условия, мы находим вторую точку. Следует заметить, что степень точности совпадает со степенью точности остальных методов, что является существенным фактором в стартовании метода прогноза и коррекции .
Ввиду того, что стартовые методы имеют более низкий порядок, в начале приходится считать с меньшим шагом и с использованием большего промежутка времени. В данном случае метод Эйлера для дальнейшего интегрирования не оправдывает себя. Для этих целей воспользуемся трехшаговым методом прогноза и коррекции с переменным шагом .
Рассуждая также, как для метода Адамса-Башфорта, который излагается в работах: [1],[2],[3], мы мы приходим к формулам :
Прогноз :
/>(2.1.8)
Коррекция :
/>(2.1.9)
где h — шаг интегрирования, изменяющийся на малом промежутке времени в соответствии с условиями Рунге :
/>,
где в свою очередь /> — малое конкретное значение, при невыполнении условия которого увеличивается шаг h=h*N а /> — малое конкретное значение, при невыполнении условия шаг соответственно уменьшается h=h/N, где N — некоторое целое число больше единицы .
Оптимально, для вычисления новой точки, с помощью метода прогноза и коррекции, используется формула :
/>(2.1.10)
Таким образом, мы воспользовались простым трех шаговым методом прогноза и коррекции, для стартования метода Адамса-Башфорта. Преимущества данного метода заключаются: в его высокой точности, авто подборе шага, что во много раз повышает точность самого метода Адамса-Башфорта, и делает его оптимальным для задач такого рода .
Метод Адамса-Башфорта использует уже посчитанные значения в точке Xk и в предыдущих точках. В принципе, при построении интерполяционного полинома, мы можем использовать и точки Xk+1,Xk+2,…. Простейший случай при этом состаит в использовании точек Xk+1,Xk,…,Xk-N
и построения интерполяционного полинома степени N+1, удовлетворяющего условиям P(Xi)=fi, (I=k+1,k,…,k-N). При этом возникает класс методов, известных как методы Адамса-Моултона. Если N=0, то p – линейная функция, проходящая через точки (Xk,fk) и (Xk+1,f k+1), и соответствующий метод :
/>(2.1.11)
является методом Адаиса-Моултона [2], именно им мы воспользовались в формуле (2.1.9) – коррекции спрогнозированной точки в трех шаговом методе. Если N=2, то p – кубический полином, построенный по точкам />и соответствующий метод :
/>(2.1.12)
является методом Адамса-Моултона четвертого порядка. В силу того, что по сути fk+1 – неизвестная, то методы Адамса-Моултона (2.1.11),(2.1.12) называют неявными. В тоже время методы Адамса-Башфорта – называют явными .
Теперь воспользовавшись явной формулой (2.1.7), и неявной формулой (2.1.12), используя их совместно, мы приходим к методу Адамса-Башфорта четвертого порядка :
/>(2.1.13)
/>
/>
/>
Стоит обратить внимание, что в целом этод метод является явным. Сначало по формуле Адамса-Башфорта вычисляется значение/>, являющееся “прогнозом”. Затем />используется для вычисления приближенного значения />, которое в свою очередь используется в формуле Адамса-Моултона. Таким образом формула Адамса-Моултона “корректирует” корректирует приближение, называемое формулой Адамса-Башфорта .
Теперь рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :
/>
где
A = />
Заданная матрица размером NxN; /> — вектор с N координатами, который подлежит определению. В связи с тем, что связь между искомыми неизвестными определяется матрицей коэффициентов A, на каждом шаге по времени, необходимо решить систему относительно неизвестных скоростей, для её решения воспользуемся модифицированным методом Гаусса, который описан в разделе 2.2 .
Далее, интегрируя сначала ранее описанными методами: методом Эйлера на первом шаге, трех точечным методом прогноза и коррекции с авто подбором шага, на малом промежутке времени и с малым начальным шагом, для повышения точности стартующих методов на оставшемся промежутке времени производим интегрирование с постоянным шагом – пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта (2.1.13), [2], [3].
--PAGE_BREAK--2.2 Модифицированный метод Гаусса
Как типичный пример решения систем линейных дифференциальных уравнений, рассмотрим систему четырех линейных алгебраических уравнений .
Для решения системы четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными модифицированным методом Гаусса необходимо
Составить систему: />(2.2.1)
1) Каждое уравнение делиться на коэффициент при X1
/>
2) Теперь образуем нули в первом столбце матрицы системы: вычитаем 2-ое
из 1-ого, 3-е из 2-ого, 4-ое из 3-его :
/>
(2.2.2)
3) Повторив еще раз эти операции получим систему двух уравнений с двумя неизвестными, решение которой можно получить по формулам Крамера :
/> (2.2.3)
Решение же X1 и X2 можно получить, подставив в какое-либо из уравнений систем (2.2.1) и (2.2.2) и разрешив эти уравнения относительно соответствующей переменной.
3. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА
Программа начинается с вывода сообщения о программе. После происходит считывание необходимых исходных данных из файла, для дальнейшей работоспособности алгоритма, а именно – начальных условий и матрицы коэффициентов системы линейных дифференциальных уравнений первого рода, начального шага интегрирования, левого и правого условий Рунге, время интегрирования по трех шаговому методу прогноза и коррекции, время интегрирования по пяти точечному методу Адамса-Башфорта .
С помощью метода Эйлера находим дополнительные начальные условия. Решение систем линейных дифференциальных уравнений мы описываем отдельной процедурой, что облегчает дальнейшую алгоритмизацию .
Далее составляем цикл, для реализации алгоритма нахождения всех Yk+1 точек на заданном малом промежутке времени, и проверкой на условия Рунге, по трех шаговому методу прогноза и коррекции с авто подбором шага. После чего мы организовываем цикл, реализующий алгоритм нахождения точек по методу Адамса-Башфота, на заданном большом промежутке времени и с шагом автоматически подобранным предыдущим методом .
Вычисленные данные записываем файл, по ним формируем массив данных, которые выводим в сответствии с масштабированием на экран в виде графиков .
Блок-схема приведена в Приложении 1 .
4.ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ
Программа реализующая универсальный алгоритм для решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка произвольного вида, — построена по принципам объектно-ориентированного программирования.Основная программа построена на объектной библиотеке VFH, реализующей возможности реализации гибкого интерфейса между программой и пользователем .
Основная программа включает в себя только один модуль PACM, и использует всего два метода объекта TApplPandC, — метод Application — рабочий цикл программы; деструктор Done – реализует разрушение таблицы виртуальных методов, и операций, связанных с завершением программы .
Модуль PACM включает в себя модули библиотек — реализующих построение интерфейса. Модуль реализующий алгоритм метода Адамса-Башфорта, и по вычесленным данным строящий график, есть – PACMBtn .
Главным родителем всех объектов есть объект – Tobject. Основным рабочим объектом библиотеки VFH есть объект Tform. Рассмотрим потомка являющегося типичным представителем родителя TForm — TApplPandC. Он имеет два виртуалых метода: MouseHandler: Boolean Б – выходным параметром которого есть признак закрытия формы, и метод FormCreate — реализующий построение интерфейса формы. Не виртуальный метод Application — предназначен для создания формы, конфигурирования программной среды, и дальнейшего управления программой .
Модуль реализующий создание и управления главного и субменю, есть – PACMMenu, позволяющий пользователю изменять параметры и настройки системы, предоставляющий справку о разработчике, а также дает доступ к справочной системе PrandCo M Help System. Данные свойства меню реализуют объекты TMenu, и THelpForm, объектной библиотеки VFH.
Теперь рассмотрим модуль PACMBtn – рреализующий алгоритм построения вычисленных данных. Процедура реализующая алгоритм пяти точечного метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта, — MethodAdamsaBashforta ( h,tp,ta: real; NU: array[1..N] of real ) – параметры которой представляют: h — начальный шаг интегрирования; tp – время интегрирования трех точечным методом прогноза и коррекции, ta – время интегрирования по методу Адамса-Башфорта, NU – массив начальных условий. Данная процедура способна производить решения систем линейных дифференциальных уравнений произвольного размера, на произвольном промежутке времени интегрирования. Вычисленные данные записываются в файлы prandcom*.df. Метод реализующий алгоритм построения вычисленных данных произвольной степени сложности, с возможностью построения графиков с не линейно изменяющимся шагом, построения одновременно любого количества графиков, — есть объект TCartFile, обладающего всеми свойствами родителей Tform, Tchart .
К заключению стоит заметить, что программа PrandCo M version 2.41 — разработана на языке Borland Pascal под защищенный режим работы процессора и имеет доступ ко всей оперативной памяти компьютера. Реализует гибкий интерфейс, облегчающим работу с программным обеспечением.Позволяет решить систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Адамса-Башфорта, с возможность просмотра результатов вычисления в виде графиков.
Как показали тестовые программы – разработанный алгоритм предоставляет точность вычислений, погрешность которых не превышает 1% .
Тексты программной оболочки PrandCo M version 2.41 приведены в приложении 4 .
5. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
Для анализа достоверности получаемых результатов рассмотрим следующие примеры :
5.1.Решение одного дифференциального уравнения
Первым этапом анализа достоверности была проверка правильности решения одного дифференциального уравнения. Полученное численное решение сравнивается с аналитическим .
Пусть требуется решить уравнение :
/>
при начальном условии y(0)=1, 0
/>
которое поможет нам сравнить точность численного решения для случая с постоянным шагом, т.к. точность решений с переменным шагом выше. Результаты расчета представлены в Таблице 1.Как видно из таблицы, отличие между численными и аналитическими решениями удовлетворительное даже для такого большого шага, и не превышает 2%. Теперь решим этот же пример тем же методом, но с переменным шагом. Получаем любопытные зависимости точности от выбора шага, а также шага сходимости, — которые носят периодический характер. Результаты исследования приведены в таблице 2. Как мы видим, погрешность резко уменьшается с использованием метода с переменным шагом, и показывает очень высокую точность решения для численных методов, не превышающею 1% .
Таблица 2
/>
Таблица 2
Начальный шаг
Максимальная погрешность
Сведение к шагу
0.1
1.683 %
0.0250
0.01
1.163 %
0.0100
0.001
0.744 %
0.0040
0.0001
0.568 %
0.0032
0.00001
0.451 %
0.0025
0.000001
0.723 %
0.0040
0.0000001
0.578 %
0.0032
0.00000001
0.462 %
0.0026
0.000000001
0.740 %
0.0041
0.0000000001
0.592 %
0.0033
0.00000000001
0.473 %
0.0026
Иллюстрация решения данного дифференциального уравнения в виде графика – приведена в Приложении 2 .
5.2.Решение системы дифференциальных уравнений
Вторым этапом анализа достоверности полученных результатов была проверка правильности решения системы линейных дифференциальных уравнений с аналитическим решением .
Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений, которую требуется решить методом Адамса-Башфорта :
/>
Начальными условиями здесь являются :
/>. Возьмем начальный шаг интегрирования h=0.00001, время интегрирования по трех точечному методу прогноза и коррекции tp=0.1 и время интегрирования по методу Адамса-Башфорта ta=1 .
Результаты исследования для разных начальных шагов интегрирования приведены в таблице 2. Мы приходим к выводу, что точность решения одного уравнения и системы дифференциальных уравнений совпадают .
Иллюстрация решения данной системы дифференциальных уравнений приведены в виде графика в приложении 3 .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной курсовой научно-исследовательской работе разработан алгоритм и программа решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта .
Проведены тестовые расчеты, подтвердившие высокую эффективность и точность метода Адамса-Башфорта со стартованием трех точечным методом прогноза и коррекции с переменным шагом .
Проведены ряд исследований решения систем как с постоянным шагом, так и с переменным шагом на сходимость к постоянному шагу .
Во всех случаях получены результаты высокой точности .
Список литературы
1.Дж.Ортега, У.Пул “Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений ”. Пер.с англ.; под редакцией А.А.Абрамова — М.; Наука.Гл.ред.физ.мат.лит.1986.-288с.
2.Р.В.Хемминг “Численныеметоды для научных работников инженеров ”: Пер с англ.: Под редакцией Р.С.Гутера.-Гл.ред.физ.мат.лит.1968.-203 с.
Т.Шуп.”Решение инженерных задач наЭВМ. Практическое пособие “
Пер.с англ.-М.Мир.1982.-238с.
продолжение
--PAGE_BREAK--Приложение 1 :
Блок схема Алгоритма
/>
/>
/>
/>
/>/>/>/> —
/>
+
/>
/>
/>
/>
/>
/>/>/>-
/>+
/>/>
/>
/>
Приложение 2:
/>
Решение одного дифференциального уравнения
Приложение 3 :
/>
Решение системы линейных дифференциальных уравнений
/>/>1-ое уравнение 2 –ое уравнение
/>/>
3 – е уравнение 4 –ое уравнение
Приложение 4: Тексты программ
{
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
| PrandCoM version 2.41 Copiright ( c ) 2001 |
| Программа разработана студентом |
| Национального Технического Университета |
| " Харьковский Политехнический Институ " |
| группы И — 29 |
| Кафедры Автоматического Управления Движением |
| ( Системы и процессы управления ) |
| Ухановым Е.В. |
| NetMail ( FidoNet ) 2:461/212.21 |
| E-Mail: JVUMailbox@rambler.ru |
| |
| Программа разработана на основе объектной библиотеки VFH version 4.XX |
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
}
{$M 10000,0,0}
(****************************************************************************)
(****** Дата последней разработки: 05.05.2001 **********************)
(****************************************************************************)
Program Prognoz_and_Correction_Modification;
(****************************************************************************)
Uses PACM;
(****************************************************************************)
var
TPC: TApplPandC;
(****************************************************************************)
(******************************) begin (*************************************)
TPC.Application;
TPC.Done;
(*******************************) end. (*************************************)
(****************************************************************************)
{
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
| Версия 2.XX |
| Программа разработана студентом Национального Технического |
| Университета " Харьковский Политехнический Институ " группы И — 29 |
| Кафедры Автоматического Управления Движением — Ухановым Е.В. |
| NetMail ( FidoNet ) 2:461/212.21 |
| E-Mail: jvumailbox@rambler.ru |
| |
| Программа разработана на основе объектной библиотеки VFH version 4.XX |
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
}
(****************************************************************************)
(**** Дата последней разработки модуля: 15.04.2001 *****************)
(****************************************************************************)
(****************************************************************************)
(*******************************) Unit PACM; (*******************************)
(****************************************************************************)
(*******************************) INTERFACE (********************************)
(****************************************************************************)
Uses FormObj,MouseObj,PACMEr,PACMMenu,PACMBtn,PACMPnl,PACMPC,PACMCnst;
(****************************************************************************)
type
TApplPandC = object ( TForm )
Function MouseHandler: boolean;Virtual;
Procedure FormCreate;Virtual;
Procedure Application;
end;
(****************************************************************************)
(******************************) IMPLEMENTATION (****************************)
(****************************************************************************)
Procedure TApplPandC.FormCreate;
var
Pnl: TPanel;
Pnl1: TPanel;
TMenu1: TCreateMenus;
begin
Pnl.Init(548,35,619,50,1,7,1,1,1,1,false,false);
Pnl.Panel;
Pnl1.Init(470,407,630,460,1,7,1,0,1,4,true,false);
Pnl1.Panel;
TPnl1.ToolBarCreate;
TPnl1.PanelCreate;
TPageControl1.PageControlCreater;
TBitBtns.BitBtnCreaters;
TMenu1.MenusCreate;
end;
(********************************)
Function TApplPandC.MouseHandler;
var
TMouse1: TMouse;
b,x,y: word;
TMenu1: TCreateMenus;
TSubMenu1: TCreateMenus;
ST1: TSystemTime;
begin
MouseHandler:=false;
TMouse1.GetMouseState(b,x,y);
ST1.Init(549,36,618,49,1,15);
ST1.SystemTime;
TBitBtns.BitBtnHandlers(b,x,y);
MouseHandler:=fExitBtn;
TMenu1.MenusVisible(x,y);
TMenu1.MenusHandlers(b,x,y);
TPageControl1.PageControlHandlers(b,x,y);
end;
Procedure TApplPandC.Application;
var
TIEr: TInitErrors;
begin
TIEr.FatalErrorVFH;
TIEr.LoadFont('km_defj8.fnt');
TIEr.FindImEr1('x.bi');
InitObjGraph;
if InitMouseJVU then
begin
TIEr.LfLoad('Lf.sys');
TIEr.ErrorExec('x.bi');
TIEr.FindFile('f1.dat');
TIEr.FindFile('f2.dat');
TIEr.FindFile('f3.dat');
TIEr.FindFile('f4.dat');
TIEr.FindFile('km_defj8.fnt');
TIEr.FindFile('f_nfrj8.fnt');
TIEr.FindFile('t_nfrj8.fnt');
TIEr.FindFile('asdf.bi');
TIEr.FindFile('pacm_n1.bi');
TIEr.FindFile('pacm_n2.bi');
TIEr.FindFile('pacm_n3.bi');
TIEr.FindFile('pacm_n4.bi');
TIEr.FindFile('PrandCoM.hlp');
TIEr.FindFile('litj.chr');
TIEr.FindFile('scri.chr');
TIEr.FindFile('trip.chr');
TIEr.FindFile('tscr.chr');
TIEr.FindFile('initm.mtr');
TIEr.FindFile('initnu.mtr');
if not fQuickHalt then
begin
TIEr.LoadCFG('PrandCom.cfg');
With HT do
begin
hx1:=575;
hy1:=20;
hx2:=637;
hy2:=34;
hc:=true;
hs:='Закрыть';
end;
Init(1,1,639,479,7,1,'Prognoz & Corrections Modifications');
Form;
end;
end
else
begin
TIEr.ErrorVFH;
end;
end;
(****************************************************************************)
(***********************************) END. (*********************************)
(****************************************************************************)