Курсовая работа
«Решетки субнормальных и />-субнормальныхподгрупп»
Введение
В теории конечных групп одним из центральных понятий являетсяпонятие />-субнормальной подгруппы.Изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп положило начало в 1939 г.известная работа Виландта [10], оказавшая огромное влияние на развитие всейтеории конечных групп в последующие годы.
В первом разделе курсовой работы изучаются основные положениятеории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории являетсярезультат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любойконечной группы образует решетку.
Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп иподпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей потеории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитиетеории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся кразличным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формацияразрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных исверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытываланедостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилиеполученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новыхобщих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работойГашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению новогонаправления – теории формаций.
В теории формаций одним из важнейших понятий является понятие />-субнормальных подгрупп,которое является естественным расширением субнормальных подгрупп. Поэтому,конечно, возникает задача о построении теории />-субнормальныхподгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп Виландта.
Во втором разделе курсовой работы рассматриваются минимальные не />-группы.
В третьем разделе приводится описание локальных наследственныхформаций, обладающих решеточным свойством для />-субнормальныхподгрупп.
1. Субнормальные подгпруппы и их свойства
Определение. Пусть /> – подгруппа группы />. Цепь подгрупп
/>
в которой /> для любого />, />,…, />, называется субнормальной />-цепью, а число /> – длиной этой цепи.Наименьшее />, при котором существуетхотя бы одна субнормальная />-цепьдлины />, называется дефектомподгруппы /> в /> и обозначается через />.
Определение. Пусть /> – подгруппа группы />. Если существует хотя быодна субнормальная />-цепь, топодгруппа называется субнормальной, обозначается />.
Лемма. Если /> субнормальна в />, и /> субнормальна в />, то /> субнормальна в />.
/> субнормальнав />, следовательно, поопределению субнормальной подгруппы существует субнормальная />-цепь
/>
/> субнормальнав />, следовательно, существуетсубнормальная />-цепь
/>
Таким образом, мы получили субнормальную />-цепь
/>
то есть /> субнормальна в /> по определению. Леммадоказана.
Теорема. Если подгруппа /> субнормальна, но ненормальна в />, то существует такойэлемент />, что
/>
Доказательство. Пусть /> – дефект подгруппы /> в группе />. Рассмотрим субнормальную />-цепь длины />:
/>
Из того, что /> ненормальна в />, следует, что />. /> не нормальна и в />, иначе мы получаемпротиворечие с тем, что /> – дефектподгруппы /> в группе />, так как в этом случаеподгруппу /> в цепи можно былоопустить. Поэтому существует элемент /> такой,что />. Теперь имеем
/>
Так как />, то />. С другой стороны, /> и />, откуда получаем />. Теорема доказана.
Определение. Пусть /> – субнормальная подгруппадефекта /> в />. Субнормальная />-цепь
/>
называется канонической, если для любой субнормальной />-цепи
/>
имеет место />, />, />,…, />.
Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно влюбую другую субнормальную цепь той же длины.
Теорема. Если /> субнормальна в />, то существуетединственная каноническая субнормальная />-цепь.
Доказательство. Пусть /> – дефект подгруппы /> в группе />. Будем рассматривать всевозможные субнормальные />-цепидлины />.
/>
все субнормальные />-цепидлины /> (/> – второй индекс). Положим />. Так как />, то для любого />, />,…, /> мы имеем
/>
Таким образом, цепь
/>
является субнормальной />-цепьюдлины /> и, следовательно, не имеетповторений. Так как /> при любых /> и />, то теорема доказана.
Теорема. Если /> субнормальна в /> и /> – подгруппа />, то пересечение /> есть субнормальнаяподгруппа />.
Доказательство. Рассмотримсубнормальную />-цепь минимальнойдлины />:
/>
Положим />. Получаем цепь
/>
Ясно, что она будет субнормальной, так как />. Действительно, пусть />, значит, /> и />. Тогда для любого />, так как /> и />.
Мы получили субнормальную />-цепь.Теорема доказана.
Следствие. Пусть /> и /> – подгруппы группы />. Если /> субнормальна в /> и /> – подгруппа />, то /> субнормальна в />.
Доказательство. Пусть /> и цепь
/>
является субнормальной />-цепью.
Положив />, получимсубнормальную />-цепь
/>
что и требовалось.
Теорема. Пусть /> субнормальна в /> и /> субнормальна в />. Тогда пересечение /> есть субнормальнаяподгруппа в/>.
Доказательство. Пусть /> – наибольший из дефектовподгрупп /> и /> в группе />. Очевидно, существует(возможно, с повторениями) цепи
/>
/>
Положим />, />, />,…, />. Из />, /> следует, что /> нормальна в />. Следовательно, цепь
/>
является субнормальной />-цепью,что и доказывает теорему.
Лемма. Если /> субнормальна в />, а /> – нормальная подгруппагруппы />, то произведение естьсубнормальная подгруппа группы />.
Доказательство. /> субнормальна в />, следовательно, существуетсубнормальная />-цепь
/>
Следовательно, цепь
/>
будет субнормальной.
Действительно, так как /> и />, то />. Лемма доказана.
Лемма. Если подгруппы /> и /> субнормальны в /> и />, топроизведение /> есть субнормальная подгруппагруппы />.
Доказательство. Если /> нормальна в />, то результат следует полемме 1.9.
Предположим, что /> ненормальна в />, то есть />. Будем считать, чтотеорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим />. Таким образом, если /> и /> субнормальны в /> причем /> и />, то по индуктивномупредположению /> субнормальна в />.
Пусть /> – каноническаясубнормальная />-цепь. Так как /> нормализует подгруппу />, то для любого /> цепь
/>
будет субнормальной />-цепью.По свойству канонической субнормальной />-цепи/>, а значит, /> для любого />, />,…, /> (по определеделению).
Следовательно, /> содержитсяв /> для любого />. Так как /> и />, то по индукции /> субнормальна в />. По следствию 1.7.1 /> субнормальна в />. Так как /> и />, то />. Таким образом, />, />, а значит, по лемме 1.9подгруппа /> субнормальна в />. К тому же />, то мы получаем />. Лемма доказана.
Теорема. Если /> и /> – субнормальный подгруппыгруппы />, то /> есть также субнормальнаяподгруппа />.
Доказательство. Положим />. Среди субнормальныхподгрупп группы />, содержащихся в />, выберем подгруппу />, имеющю наибольшийпорядок. По следствию 1.7.1 /> субнормальнав />. Докажем, что /> нормальна в />. Предположим противное, тоесть что /> не нормальна в />. Тогда по теореме 1.4найдется такой элемент />, что />, /> и />. Так как /> субнормальна в /> и />, то /> субнормальна в />. Получается следующаяситуация: /> и /> субнормальны в />, />. По лемме 1.10 /> субнормальна в />. Ввиду выбора /> отсюда следует />, что противоречит />.
Итак, /> нормальна в />, а значит, /> и /> нормализуют подгруппу />. По лемме 1.10 /> и /> субнормальны в />. Так как /> и />, то ввиду выбора /> получаем />. Следовательно, />, откуда вытекает, что />. Теорема доказана.
Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.
Теорема (Виландт). Множествовсех субнормальных подгрупп группы /> образуетподрешетку решетки />.
Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.
Теорема. Пусть /> – некоторое непустое множествосубнормальных подгрупп группы />,удовлетворяющее следующим условиям:
1) если /> и />, то />;
2) если />, />, />, />, то />.
Тогда /> для любойподгруппы />.
Доказательство. Возьмемпроизвольную подгруппу /> из />. Если /> не нормальна в />, то по теореме 1.4найдется такой элемент />, что />, />, />. По условиям 1) и 2) />, />. Если /> не нормальна в />, то найдется /> такой, что />, />, />. Тогда /> и />. Если /> не нормальна, то описаннуюпроцедуру применяем к />. Так как /> конечна, то этот процессзавершится построением нормальной подгруппы />,представимой в виде />, где /> – некоторые элементы из />. Очевидно, />, и теорема доказана.
Следствие. Если /> – непустой радикальныйкласс, то /> содержит все субнормальные/>-подгруппы группы />.
Доказательство. Пусть /> – множество всехсубнормальных />-подгрупп из />. Ввиду теоремы 1.12 легкозаметить, что /> удовлетворяетусловиям 1) и 2) теоремы 1.13.
Следствие. Для любойсубнормальной подгруппы /> группы /> справедливы следующиеутверждения:
1) если /> – />-группа, то />;
2) если /> нильпотентна, то/>;
3) если /> />-нильпотентна, то />;
4) если /> разрешима, то />.
2. Минимальные не />-группы
Лемма [3]. Пусть />, где /> – локальная формация.Тогда справедливы следующие утверждения:
1) группа /> монолитична смонолитом
/>
2) /> – />-группа для некоторогопростого />;
3) /> – />-эксцентральный главныйфактор />;
4) />;
5) если группа /> неабелева,то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту />;
6) если /> абелева, то онаэлементарна;
7) если />, то /> – экспонента />; при /> экспонента /> не превышает 4;
8) для любой />-абнормальноймаксимальной подгруппы /> из /> имеет место
/>
9) любые две />-абнормальныемаксимальные подгруппы группы /> сопряженыв />;
10) если /> и подгруппа /> содержит />, то /> для любого полноголокального экрана /> формации />;
11) если /> – />-абнормальная максимальнаяподгруппа группы /> и /> – некоторый полныйлокальный экран />, то /> – минимальная не />-группа и либо />, либо />.
Доказательство. 1) Пусть /> – минимальная нормальнаяподгруппа из /> такая, что />. Очевидно, что />. Противоречие. Итак, /> – минимальная нормальнаяподгруппа />. Так как /> – формация, то, нетруднозаметить, что /> – единственнаяминимальная нормальная подгруппа из />. А этозначит, что
/>
Отсюда следует, что
/>
2) Выше мы показали, что /> –главный />-фактор. Покажем, что /> – />-группа. Предположимпротивное. Пусть простое число /> делит />, но не делит />. По лемме 4.4 из [5] />, где /> – содержащаяся в /> силовская />-подгруппа из />. Тогда
/>
Отсюда и из насыщенности /> получим/>. Но тогда />, что невозможно.
Пусть /> – главный факторгруппы />. Ввиду 2) /> является />-группой и />. Следовательно, каждая />-абнормальная масимальнаяподгруппа группы /> является />-нормализатором группы />. Так как />-нормализатор группы /> покрывает только />-центральные главныефакторы, то мы получаем, что /> />-гиперцентральна в />. Согласно следствию 9.3.1из [5] />. Отсюда следует, что />, т.е. />.
Обозначим через /> коммутантгруппы />. Так как /> – />-корадикал группы />, то по теореме 11.6 из [5]каждый главный фактор группы /> научастке от /> до /> />-эксцентрален. Отсюда и из />-гиперцентральности /> заключаем, что />. Так как
/>
то мы получаем тaкже рaвенство />.Таким образом, утверждения 2) – 6), 9) доказаны.
Докажем 7). Предположим, что /> неабелева.Пусть /> – произвольный элемент из />. Ввиду 4) />, причем />. Следовательно,
/>
для всех элементов />,/> из />. Это означает, что /> имеет экспоненту />. Учитывая это и то, что /> содержится в />, получаем для любых />, из /> при />:
/>
Значит, отображение /> является/>-эндоморфизмом группы />. Так как
/>
то /> />-гиперцентральна в />. Вспоминая, что /> – />-эксцентральный главныйфактор, получаем равенство />. Таккак /> имеет экспоненту />, то утверждение 7) при /> доказано.
Пусть />. Тогда
/>
где />. Рассматриваяотображение /> как и выше получаем, что />. Значит /> имеет экспоненту не больше4.
Докажем 8). Выше мы доказали, что />.Пусть />. Тогда в /> найдется такаямаксимальная подгруппа />, что />. Так как />, то />. Отсюда />. Противоречие. Итак, />. По теореме 9.4 из [5]имеем /> для любой />-абнормальной максимальнойподгруппы /> группы />. Нетрудно показать, что />.
По теореме 7.11 из [5],
/>
Так как />, то
/>
Ввиду того, что /> и /> – главный фактор />, имеем />. Итак, />. Пусть /> – любая />-абнормальная максимальнаяподгруппа группы />. Тогда />. Ясно, что
/>
Не ограничивая общности, положим />.Тогда /> – единственная минимальнаянормальная подгруппа />. Легко видеть,что /> и />. Но /> – />-группа. Значит, />. По условию />. Следовательно, ввидуполноты экрана /> имеет место
/>
/>
то />. Таким образом,всякая собственная подгруппа группы /> принадлежит/>. Допустим, что />. Тогда
/>
и поэтому />. Полученноепротиворечие показывает, что />, т.е. /> – минимальная не />-группа.
Предположим теперь, что />.Покажем, что />. Не теряяобщности, можно положить, что />. Тогда />, />. Пусть />, где /> и />, где />. Для всякого /> через /> обозначим подгруппу />. Предположим, что все /> отличны от />. Так как />, то /> – дополнение к /> в />. Если /> для всех различных /> и />, то
/>
и поэтому />.Противоречие. Значит /> для некоторыхразличных /> и />. Из последнего вытекает
/>
что невозможно. Полученное противоречие показывает, что /> для некоторого /> и, следовательно, />. Лемма доказана.
Лемма [4]. Пусть /> – наследственная локальнаяформация, /> – такая нормальнаяподгруппа группы />, что />. Тогда /> равносильно />.
Доказательство. Пусть />. Тогда />, и если /> – произвольнаямаксимальная подгруппа />, то />, а значит, и /> принадлежит />. Следовательно, />.
Предположим теперь, что />.Понятно, что />.Пусть /> – произвольнаямаксимальная подгруппа />, тогда />. Пусть /> – произвольный />-главный фактор из />. Обозначим />. Пусть /> – максимальный внутреннийлокальный экран формации />, ипусть />. Так как />, то />. Покажем, что />. По лемме 8.7 из [6]формация /> наследственна.Следовательно, если />, то сразуполучим />. Если же />, то /> вытекает из изоморфизма />. Итак, всякий />-главный фактор из />, />-централен в />. Значит, />. Таким образом, />. Лемма доказана.
Лемма [3]. Пусть /> – локальная наследственнаяформация, /> – некоторый ее полныйэкран. Группа /> принадлежит /> тогда и только тогда,когда выполняются следующие два условия:
1) />;
2) />, где /> – главный />-фактор группы />, /> – минимальная не />-группа.
Доказательство.Необходимость вытекает из леммы 2.1.
Достаточность. Пусть /> и /> – произвольныемаксимальные подгруппы />. Покажем, что />. Если /> />-абнормальна, то ввидулеммы 2.1 имеем />. Значит, />. Пусть />. По условию
/>
Следовательно, /> и полемме 2.1 /> – />-группа. Значит по лемме8.2 из [6] />. Итак, />. Применяя теперь лемму 2.1получаем, что />. Лемма доказана.
Лемма [3]. Пусть /> – локальная формация,имеющая постоянный наследственный локальный экран />.Тогда справедливы следующие утверждения:
1) /> для любого /> из />;
2) /> тогда и толькотогда, когда /> для любого /> из />, /> – главный /> фактор />, />.
Доказательство. 1) Пусть /> – произвольная группа из />. Покажем, что />. Предположим противное.Пусть /> – подгруппа наименьшегопорядка из />, не принадлежащая />. Очевидно, что />. Так как /> – постоянный экран, товвиду леммы 4.5 из [5] /> длялюбого /> из />. Если />, то из того, что /> следует />. Получили противоречие.Итак, /> – собственная подгруппа из/>. Но тогда />, что невозможно.
2) Пусть />. Покажем, что />. Так как
/>
то, не ограничивая общности, можно считать, что />. Пусть /> – произвольная />-абнормальная максимальнаяподгруппа группы />. Тогда по лемме2.1 />, где />. Очевидно, что />. Отсюда следует, что /> – />-группа. Так как /> и /> – постоянный экран, то />. Пусть /> – произвольная собственнаяподгруппа из />. Так как формация /> наследственна, то />. Кроме того, />. Отсюда />. Следовательно,
/>
Если теперь />, то />. Отсюда нетрудно заметить,что />. Противоречие. Итак, />. Из леммы 2.1 следует, что
/>
есть главный />-факторгруппы />.
Пусть теперь />.Очевидно, что />. Пусть /> – собственная подгруппа из/>.Рассмотрим подгруппу />. Если />, то тогда
/>
Согласно пункту 1 />. Пусть/>. Тогда /> – собственная подгруппагруппы />. Тогда
/>
Отсюда />. А это значит,что />. Итак, />. Так как />, то по лемме 2.1 />. Лемма доказана.
Лемма. Пусть /> – непустая наследственнаяформация. Тогда:
1) если /> – подгруппагруппы /> и />, то /> />-субнормальна в />;
2) если /> />-субнормальна в />, /> – подгруппа группы />, то /> />-субнормальна в />;
3) если /> и /> />-субнормальные подгруппы />, то /> – />-субнормальная подгруппа />;
4) если /> />-субнормальна в />, а /> />-субнормальна в />, то /> />-субнормальна в />;
5) если все композиционные факторы группы /> принадлежат формации />, то каждая субнормальнаяподгруппа группы /> является />-субнормальной;
6) если /> – />-субнормальная подгруппагруппы />, то /> />-субнормальна в /> для любых />.
Лемма. Пусть /> – непустая формация, /> – подгруппа группы />, /> – нормальная подгруппа из />. Тогда:
1) если /> />-субнормальна в />, то /> />-субнормальна в /> и /> />-субнормальна в />;
2) если />, то /> />-субнормальна в /> тогда и только тогда,когда /> />-субнормальна в />.
3. Формации с решеточным свойством
Лемма [1]. Пусть /> – наследственная формация.Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) /> обладаетрешеточным свойством для />-субнормальныхподгрупп;
2) группа /> принадлежит />, если />, /> – />-субнормальные />-подгруппы группы />;
3) /> – формацияФиттинга и всякая />-субнормальная />-подгруппа группы /> содержится в />-радикале этой группы.
Установим, что из 1) следует 2).
Пусть /> – контрпримерминимального порядка. В этом случае />, где /> />-субнормальная />-подгруппа группы />, />, и /> не принадлежит />. Пусть /> – минимальная нормальнаяподгруппа группы />. Все условиялеммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора /> имеем, что />. В виду теоремы 4.3 из [7]формация /> является насыщенной.Поэтому группа /> имеетединственную минимальную нормальную подгруппу /> и/>.
Если />, то /> – простая группа. Так как /> и /> – />-субнормальная подгруппагруппы />, />, то либо />, либо />. Значит, />. Противоречие с выборомгруппы />.
Пусть />. Рассмотримподгруппы /> и />. Так как /> – собственная />-субнормальная подгруппа /> и />, то нетрудно видеть, что /> – собственная подгруппа />, />. Покажем, что />.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть /> – абелевагруппа. Тогда /> – />-группа, /> – простое число. Так как /> и подгруппа /> />-субнормальна в />, то по лемме 2.6 получаем />, />.
2. Пусть /> – неабелевагруппа. В этом случае
/>
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и />.
Рассмотрим подгруппу />. Таккак подгруппа /> />-субнормальна в />, то ввиду леммы 2.4 иподгруппа /> />-субнормальна в группе />. Пусть
/>
Ввиду леммы 2.5 подгруппа /> />-субнормальна в /> для любого /> из />. Так как формация /> обладает решеточнымсвойством для />-субнормальныхподгрупп, то /> – />-субнормальная подгруппа />. Кроме того, из /> следует, что />. Если />, то />. Получили противоречие с />. Значит, />. Так как /> нормальна в />, то /> нормальна в />. Но
/>
где /> – неабелевапростая группа и /> для всех />. Поэтому
/>
Из /> инаследственности формации /> следует,что />. Но тогда />. Далее, так как />, то по лемме 2.5 подгруппа/> />-субнормальна в />. Значит, она />-субнормальна и в />, />. Тогда из /> получаем что
/>
Пусть /> – добавление кподгруппе /> в группе />. Так как />, то />. В силу насыщенностиформации /> из
/>
и
/>
получаем, что />. Итак, />, /> и />.
Используя тождество Дедекинда, имеем
/>
Если предположить, что />, то />. В этом случае
/>
Так как />, то /> не может быть />-субнормальной подгруппой в/>. Следовательно, можносчитать, что />, />.
Так как подгруппа /> />-субнормальна в группе /> и />, то из наследственностиформации /> следует, что подгруппа /> />-субнормальна в />.
Так как формация /> обладаетрешеточным свойством для />-субнормальныхподгрупп, то /> – />-субнормальная подгруппагруппы />. Кроме того, из /> и наследственностиформации /> имеем />. Обозначим />, />, и рассмотрим подгруппу />. Если />, то />, что невозможно ввиду />-субнормальности в /> подгруппы />.
Пусть />. Из />, нормальности /> в /> и нормальности /> в /> следует, что /> нормальна в />.
Так как
/>
то
/>
Таким образом получаем
/>
Так как />, то /> – подгруппа из />. Тогда из />-субнормальности в /> подгрупп /> и /> следует, что подгруппа
/>
/>-субнормальнав />. Это невозможно ввидуравенства />. Значит, />. Противоречие.
Докажем, что из 2) следует 3). Пусть />,где /> – нормальная />-подгруппа группы />, />. Так как
/>
и />, то />. Из наследственностиформации /> получаем, что подгруппа /> />-субнормальна в />. Ввиду леммы 2.6 подгруппа/> теперь />-субнормальна в />, />. Так как выполняетсяусловие 2) леммы, то
/>
Следовательно, /> –формация Фиттинга.
Пусть /> – />-субнормальная />-подгруппа группы />. Ввиду леммы 2.5 подгруппа/> />-субнормальна в /> для всех />. Так как выполняютсяусловия 2) леммы, то
/>
Отсюда следует, что
/>
Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведеминдукцией по порядку группы />. Пусть /> и /> – />-субнормальные подгруппыгруппы /> и />. Если /> – минимальная нормальнаяподгруппа группы />, то можносчитать, что />. Учитывая лемму 2.6 поиндукции получаем, что /> – />-субнормальная подгруппагруппы />. На основании леммы 2.6тогда подгруппа /> />-субнормальна в />. Если />, то по индукции подгруппа /> />-субнормальна в />, и значит, ввиду леммы 2.5она />-субнормальна.
Будем далее считать, что /> длялюбой минимальной нормальной подгруппы группы />.Ясно, что />. Если />, то в силу леммы 3.1.3 /> субнормальна в />. Но тогда ввиду [8]
/>
Это означает, что />.Противоречие. Значит /> и />. Аналогично доказывается,что />. Итак, /> и />.
По условию леммы /> –формация Фиттинга и />, />. Следовательно,
/>
Пусть /> – минимальнаянормальная подгруппа группы />,содержащейся в />. Тогда
/>
Из наследственности формации /> следует,что /> – />-субнормальная подгруппагруппы />.
Итак, порождение двух />-субнормальныхподгрупп /> и /> группы /> />-субнормальна в />. Ввиду леммы 2.5 /> – также />-субнормальная подгруппагруппы />. Значит, формация /> обладает решеточнымсвойством для />-субнормальныхподгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть /> – наследственная локальнаяформация. Если /> замкнутаотносительно расширений, то формация /> обладаетрешеточным свойством для />-субнормальныхподгрупп.
Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы3.1.7.
Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации /> и /> обладают решеточнымсвойством для />-субнормальныхподгрупп.
Пусть /> обозначаютнекоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть /> – некоторое семействоклассов групп. Обозначим через /> классвсех групп />, представимых в виде
/>
где /> и />, />.
Лемма [1]. Справедливы следующиеутверждения:
1) пусть /> – наследственнаялокальная формация, обладающая решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп, />. Тогда и формация /> обладает решеточнымсвойством для />-субнормальныхподгрупп;
2) пусть /> – некотороесемейство наследственных локальных формаций и /> длялюбых />. Тогда и только тогдаформация
/>
обладает решеточным свойством для />-субнормальныхподгрупп, когда для каждого /> формация/> обладает решеточнымсвойством для />-субнормальныхподгрупп.
Пусть формация /> обладаетрешеточным свойством для />-субнормальныхподгрупп, />. Ввиду леммы 3.1 /> и /> – формации Фиттингапоэтому из леммы 2.1.3 следует, что /> такжеявляется формацией Фиттинга.
Пусть /> – />-субнормальная подгруппагруппы /> и />. Ясно, что подгруппа /> />-субнормальна в /> для любого />. Так как /> и />, то ввиду леммы 3.1получаем, что /> и />. Следовательно,
/>
Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.
Докажем утверждение 2). Пусть формация
/>
обладает решеточным свойством для />-субнормальныхподгрупп. Отметим, что />. Отсюдаввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация /> обладает решеточнымсвойством для /> — субнормальныхподгрупп.
Обратно, пусть для любого /> формация/> обладает решеточнымсвойством для />-субнормальныхподгрупп. Пусть
/>
Индукцией по порядку группы /> покажем,что любая группа />, где />, /> – />-субнормальные />-подгруппы группы /> принадлежат />.
Пусть /> – минимальнаянормальная подгруппа группы />. Ввидулеммы 2.6 из соображений индукции получаем, что />.Так как /> – насыщенная формация, то /> имеет единственнуюминимальную нормальную подгруппу /> и />. Ясно, что
/>
Отметим также, что
/>
где /> – изоморфныепростые группы для />.
Докажем, что />.Рассмотрим группу />. Так какподгруппа /> />-субнормальна в />, то />. Тогда по индукции
/>
Рассмотрим пересечение />. Если
/>
то
/>
Отсюда и из того факта, что /> –нормальная подгруппа /> и /> следует, что />.
Пусть />. Так как /> – нормальная подгруппа из />, то /> – нормальная подгруппа из />. А это значит, что
/>
Из наследственности формации /> и/> получаем, что />. Но тогда />.
Из строения /> и
/>
для любых />, следует, что /> для некоторого />. Так как
/>
то нетрудно видеть, что группа /> имеeт/>-холловскую подгруппу />.
Так как />, то /> – />-субнормальная подгруппагруппы />. Так как />, /> и />, /> – />-субнормальные подгруппы,то по индукции имеем, что
/>
Отсюда и из /> ввиду /> получаем />. Аналогично доказывается,что />. Таким образом,
/>
Отсюда и из />-субнормальности/> и /> в /> нетрудно заметить, что />, /> – />-субнормальные подгруппыгруппы />. Из /> и /> ввиду наследственности /> следует, что /> и />. Так как по условиюформация /> обладает решеточнымсвойством для /> — субнормальныхподгрупп, то ввиду леммы 3.1
/>
Итак, /> содержитнекоторую группу />, где />, /> – />-субнормальные />-подгруппы группы />. Следовательно, ввидулеммы 3.1 формация /> обладаетрешеточным свойством для />-субнормальныхподгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть /> – нормально наследственнаяразрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если в каждой разрешимой группе все />-субнормальныеподгруппы образуют решетку, то /> имеетвид
/>
где /> для любых /> из />;
2) если /> – формация изпункта 1), то она обладает решеточным свойством для />-субнормальныхподгрупп.
1) Покажем, что /> являетсялибо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что /> и />.
Пусть /> – максимальныйвнутренний локальный экран формации />.Согласно лемме 2.3
/>
где /> – единственнаяминимальная нормальная подгруппа группы />,/> (/> – простое число), а /> – максимальная подгруппагруппы />, являющейся минимальной не/>-группой.
Докажем, что /> –циклическая />-группа для некоторогопростого числа />. Допустимпротивное. Тогда в /> найдутся покрайней мере две несопряженные максимальные подгруппы /> и />. Рассмотрим в /> подгруппу />, />. Ясно, что /> />-субнормальна в />, />. Из />, /> и /> по лемме 3.1 получаем, что/>. Получили противоречие свыбором />.
Следовательно, /> –циклическая группа порядка />, где /> – некоторое простое число,/>, /> – натуральное число.Допустим, что />. Обозначим через/> – регулярное сплетениециклических групп /> и /> соответственно порядков /> и />.
По теореме 6.2.8 из [2] /> изоморфнанекоторой подгруппе группы />. Таккак /> и />, то ввиду теоремы 2.4 из[5] />.
Рассмотрим регулярное сплетение />,где />. Тогда />, где /> – элементарная абелева />-группа. Так как />, то />. Из
/>
следует что />.
Рассмотрим в /> подгруппы/> и />, где /> – база сплетения />. Ясно, что /> />-субнормальна в />, />. Кроме того, />. Отсюда
/>
Так как />, то /> по лемме 3.1. Получилипротиворечие.
Следовательно, /> и /> – группа Шмидта. Если /> и />, то по лемме 1.1.6 /> также является группойШмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не />-группа является либогруппой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12 /> является наследственнойформацией.
Покажем, что формация /> имееттакой локальный экран />, что
/>
p(F)/>p'(F)/>p(F)/> Действительно. Пусть /> – локальный экран формации/>. Так как /> для любого простого числа /> из />, то />. Покажем обратное.
Пусть /> – группаминимального порядка из />. Таккак /> – наследственная формацияи /> – насыщенная формация, то /> – минимальная не />-группа и />. Теперь, согласно лемме2.3
/>
где /> – единственнаяминимальная нормальная подгруппа группы />,причем /> – />-группа, />, а /> – минимальная не />-группа. Как показано выше /> является либо группойпростого порядка, либо группой Шмидта.
Пусть /> – группапростого порядка. Так как />, тоочевидно, что />. Противоречие.
Пусть /> – группа Шмидта.Тогда /> – группа простого порядка,причем />, />. Так как />, то очевидно, что
/>
Отсюда следует, что />.Получили противоречие. Следовательно />.
Итак, /> и /> – полный локальный экранформации />.
Покажем, что /> либо /> для любых простых />, />.
Вначале докажем, что из /> следует/>. Допустим противное. Пусть/>. Рассмотрим точныйнеприводимый />-модуль /> над полем />, который существует полемме 18.8 из [6].
Возьмем группу />. Таккак /> и /> имеет единственнуюминимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точныйнеприводимый />-модуль /> над полем />. Рассмотрим группу
/>
Так как
/>
то />. Ясно, что />. Так как />, то найдется /> такой, что />. Заметим, что />. Тогда
/>
Так как />, то /> />-субнормальна в /> и /> />-субнормальна в />. По лемме 3.1 />. Получили противоречие.Таким образом, если />, то />.
Пусть теперь />. Тогда />. Предположим, что найдетсятакое простое число />, которое непринадлежит />. Рассмотрим точныйнеприводимый />-модуль /> над полем />.
Группа /> принадлежит /> ввиду /> и />. Теперь рассмотрим точныйнеприводимый />-модуль />. Группа /> формации /> не принадлежит, так как />. Ясно, что />. Рассуждая как и выше,можно показать, что /> для некоторого />, причем подгруппы />, /> />-субнормальны в />, причем />, /> принадлежат />. Отсюда по лемме 3.1 />. Получили противоречие.
Следовательно, если />, то />, а значит />. Более того, если
/>
где /> и />, то /> и />, а значит, />.
Таким образом, множество /> можноразбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде />, где /> для любых /> из /> и /> для />. Покажем, что
/>
Обозначим
/>
Так как для любого /> имеетместо />, то включение /> очевидно.
Допустим, что множество /> непусто,и выберем в нем группу /> наименьшегопорядка. Так как /> – наследственнаяформация, то />. Группа /> непримарна в силуравенства /> и локальности формации />. Из строения
/>
и /> нетруднопоказать, что /> – группа Шмидта.Ясно, что />. Тогда по теореме 26.1 из[5] />, где /> – элементарная абелева />-группа, /> – некоторые простые числа.Так как />, то
/>
Как показано выше, /> длянекоторого номера />. Но тогда />. Получили противоречие свыбором />. Следовательно,
/>
где /> для всех />.
Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что разрешимая наследственнаялокальная формация /> тогда и толькотогда обладает решеточным свойством для />-субнормальныхподгрупп, когда
/>
Заключение
В курсовой работе рассмотрены решетки субнормальных и />-субнормальных подгрупп.Для построения теории решеток />-субнормальныхподгруп, аналогичной теории решеток субнормальных подгрупп, разработаннойВиландтом, используются свойства минимальных не />-групп.
В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формациябудет обладать решеточным свойством.
Список использованных источников
1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. Орешетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающиеалгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. – Киев,1993. – С. 27–54.
2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп).Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. – 144 с.
3. Семенчук В.Н. Минимальные не />-группы // Алгебра илогика. – 1979. – Т.18, №3. – С. 348–382.
4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальныхне />-подгрупп //Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. – Минск:Наука и техника, 1981. – С. 138–149.
5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. –1978. – 267 с.
6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формацииалгебраических систем. М.: Наука. – 1989. – 256 с.
7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solublagroups // Math.Z. – 1972. – V.127, №3. – P.217–233.
8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. – Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300–305.
9. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, dieSubnormalteilorverband echt enthalten // Arch. Math. – 1978. – V.30. –P.225–228.
10. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untegruppen //Math.Z. – 1939.-V.45. – P.209–244.