ВВЕДЕНИЕ.
Целью моей работы былоисследование и приминение свойств параллельного проектирования при изображенииифигур на плоскости и при построении сечений многогранников. Я выбрала даннуютему потому что передо мной стояла задача научиться быстро и точно производитьразличные построения. Актуальность темы заключается в том, что построение сечение широко используется в строительном деле, архитектуре,машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники, а вшкольном курсе геометрии решение такого типа задач уделяется очень маловремени. В работе былииспользованы задачи, теоремы, аксиомы, свойства, которые являются методами иприемами изучения данной темы. Также были использованны научные пособия такихавторов как А.В. Бубенков, М.Я. Громов(Начертательная геометрия), С. А. Фролов (Начертательная геометрия), А.А.Беклемшнева (Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре).
Геометрическиезадачи традиционно делятся на три типа:
1. навычисление;
2. на доказательство;
3. на построение.
Решение любыхстереометрических задач требует не только вычислительных и логических умений инавыков, но и умений изображать пространственные фигуры на плоскости (например,на листке бумаги, классной доске), что по сути своей тесно связанно с темой«Геометрические построения на плоскости». Стереометрические задачи навычисления и доказательство легко можно решать, используя правильный рисунокпространственной фигуры. При изучении тем «Параллельность прямых и плоскостей впространстве», «Перпендикулярность прямых и плоскостей», «Углы между прямой иплоскостью, между двумя прямыми, между двумя плоскостями» и других темпрекрасным иллюстрационным материалом является решение позиционных иметрических задач на построение пространственных фигур и сечений этих фигурплоскостями. [1].
ОСНОВНАЯЧАСТЬ
1. Основныепонятия теории изображения фигур.
1.1.Параллельное проектирование и его свойства.
Параллельное(цилиндрическое) проецирование можно рассматривать как частный
случай центральногопроецирования с несобственным центром. Здесь предмет
рассматривают сбесконечно удаленной точки зрения.
Чертежигеометрических образов в ортогональных проекциях широко применяются в
начертательной геометрии.Они просты в построениях, дают возможность легко
производить различныеизмерения геометрических образов и определять
взаимоположениеотдельных элементов.
Пусть в евклидовом пространстве[1]дана некоторая плоскость По и вектор р + По. Пусть М
— любая точка пространства, непринадлежащая плоскости По. Проведем прямую l|| р
через М, тогда l∩ По = (Мо). Мо называют проекцией точки М на плоскость По.Если р ┴ По, то Мо — ортогональная[2]проекция точки М на По. Если М € По, то Мо=М. (рис. 1а и 16)
Множество Fо проекций точек данной фигуры Fна плоскость По называется проекциейфигуры Fна плоскость По.
Легкопоказать, что параллельное проецирование, как отображение множества точекпространства во множество точек плоскости По, обладает свойствами (рис. 2а, б,в)
1.Проекцией прямой lявляется прямая lо, если , если то проекцией прямой lявляется точка Lо,где (Lо)= l∩ По.
2. Проекцией параллельныхпрямых являются параллельные прямые или совпавшие прямые, или две точки.
3.Коллинеарные точки А, В, С проектируются в коллинеарные точки Ао, Во, Со.
4. Неколлинеарные точки А, В, С,лежащие в плоскости П, не параллельной вектору р, проектируются внеколлинеарные точки Ао, Во, Со.
5. Сохраняется отношение«лежать между» для трех коллинеарных точек А, В, С, если
6.Сохраняется простое отношение трех точек А, В, С, если
7. Если отрезок (луч) АВ непараллелен вектору р, то проекцией АВ является отрезок (луч) АоВо(рис.3)
8.Проекцией пересекающихся прямых являются пересекающиеся прямые или совпадающиепрямые.
9.Проекцией скрещивающихся прямых являются пересекающиеся прямые или параллельныепрямые, или совокупность точки и прямой (рис. 4а, 46, 4в).
10. Проекцией угла АВС является уголАоВоСо в общем случае ему неравный. (плоскость АВС || р ).
11.Если две фигуры Fи Ф — плоские и плоскости в которых они лежат
параллельны между собой, но непараллельные p, то отношение площадей проекций Fо и Фо равно отношению площадей самихфигур Fи Ф
Если F-проектируемая фигура при параллельном проецировании,заданном вектором р на плоскость По, то Fназывают оригиналом, р,направлением проецирования, По — плоскостью проекции, Fо — проекция фигуры на плоскость По.Если некоторая фигура Fплоскости П подобна фигуре Fо плоскости По, то Fможет быть принята за изображениефигуры, т.е. изображением фигуры может являться любая фигура F, подобная параллельной проекции Fо. [4]
1.2.Требования к чертежу
Я установила, что первыми важнейшим шагом решения геометрической задачи является построение чертежа,соответствующего условию. Если задача планиметрическая, то чертеж является либокопией оригинала, либо ему подобен. При изображении пространственных фигурвозникают трудности, ибо не может плоская фигура быть подобнойпространственной. Чертеж должен удовлетворять некоторым требованиям,способствующим наилучшему восприятию изображения пространственной фигуры.
Прежде всего,чертеж должен быть верен, т, е. представляет собой фигуру, подобнуюпроизвольной параллельной проекции оригинала. При этом естественно должнывыполняться все свойства параллельного проецирования. При проецированииустанавливается геометрическая (проективная) связь между оригиналом ипроекцией. Геометрические образы (формы) содержат в себе свойства,сохраняющиеся в проекциях.[3]
Свойство 1:
Если отрезок прямой делитсяточкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки втом же отношении.
Свойство 2:
Точкапересечения проекций пересекающихся прямых линий является проекцией точкипересечения этих прямых линий.
Свойство 3:
Проекцииотрезков параллельных прямых линий параллельны и имеют одно направление, адлины их находятся в таком же отношении, как и длины самих отрезков.
Свойство 4:
Проекцииотрезков двух скрещивающихся прямых линий в зависимости от направленияпроецирования могут или пресекаться, или быть параллельными.
Свойство 5:
При прямоугольном проецированиипрямой угол между отрезками прямых проецируется без искажения(прямым углом),если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая неперпендикулярна к ней.
Во-вторых,чертеж должен быть наглядным, т. е. дающим пространственное представление оборигинале. С этой целью на изображении помимо очертания рассматриваются видимыеи невидимые линии. Сравните восприятие рис. 6 и 7.
Наконец, чертеж долженбыть легко выполним циркулем и линейкой, его построение должно удовлетворятьаксиомам конструктивной геометрии. Однако разделы «Геометрические построения наплоскости» и «Методы изображений» так далеко стоят друг от друга, что приизучении одного мы совершенно забываем об изученном ранее другом. [5]
1.3.Изображение плоских фигур в параллельной проекции
Приизображении плоских фигур в параллельной проекции применяются следующиетеоремы.
Теорема 1.
Изображением является любой треугольник АВС.
Теорема 2.
Если даноизображение на плоскости П, то можнопостроить изображение любой точки.[4][2]
Исходя изтеорем 1 и 2, легко построить изображения любых плоских фигур; в частности,изображением параллелограмма (квадрата, ромба, прямоугольника) является любойпараллелограмм. Изображением трапеции является трапеция с тем же отношениемдлин оснований. Изображением окружности является эллипс, изображениемперпендикулярных диаметров окружности являются сопряженные диаметры эллипса.
Ввиду того,что при изображении сферы, цилиндра, конуса необходимо уметь строитьизображение окружности, я остановлюсьнемного подробнее на способах построения эллипса.
Способ I.Построение эллипса[5] по двумглавным диаметрам АВ и CД (рис. 8).
1. АВ ∩ СД = О, О- середина отрезка АВ
2. W1 (0, ОС),. W2(0, ОА) — окружности
3.
4. М1€l, М2 €l∩ W2.
5. l1|| 0В, М1€ l1 , l2|| ОС, М2 € l2
6. М€ l1∩l2 , М — искомая точка эллипса.
Доказательство правильностипостроения легко провести, введя систему координат O(0;0), В(а; 0), С(0; b) и рассматривая параметр t-угол между осью Ох и прямой l.
Способ П.Построение эллипса по двум сопряженным диаметрам, используя перспективноаффинные преобразования[6]плоскости (рис. 9).
Пусть АВ и CD-два сопряженных диаметра эллипса[7]. Я построю на диаметре АВ окружность и проведудиаметр С1D1ей перпендикулярный. Применяю перспективно аффинное преобразование,заданное осью АВ и парой соответствующих точек С1 → С (или D1→ D). Тогдаобразом окружности будет эллипс.
Собственнопостроение.
1. АВ, CD, О — середина отрезков АВ и СD.
2. W(O, ОА) — окружность.
3. OD1 ┴ AB, C1 € W, D1 € W
4.
5. С1 М1∩ АВ=Мо
6. СМо.
7. l || С1С, М1 € l
8. СМо ∩l=М — искомая точка эллипса.
Можно значительноупростить построение образа точки М1, используя подобиетреугольников ОСС1 и ОММ1 (ОМ1 || ОС1, ММ1|| СС1 и ОМ || ОС). Существует много других способов построения эллипса. [2]
1.4Задание многогранников.
Геометрическимиэлементами многогранников[8]являются вершины, ребра, грани и для многогранников-тел — пространство внутримногогранника. Все элементы можно представить в виде структурированного массиваточек.
Совокупностьвсех граней называется поверхностью многогранника. Поверхность
многогранниказадана, если есть алгоритм, с помощью которого можно определить на ней точку.Если точка принадлежит многограннику, то она располагается либо на ребре, либона грани, либо внутри многогранника. Задание точки на ребре выполняется так же,как построение точки на прямой. Построение точки на поверхности грани — какпостроение точки в плоскости. Точка принадлежит внутренней части многогранника,если она принадлежит какому-либо сечению этого многогранника. Частомногогранники задаются графически, поэтому и приходится выполнять построенияэлементов принадлежащих им (точки-вершины, отрезки-грани, плоские сечения). Вслучае, когда многогранник задан как тело, основная трудность таких построенийсостоит в том, что ребра, грани, сечения на проекциях могут оказатьсяневидимыми (в системе 3-Dстудия есть возможность моделировать прозрачные поверхностии там этой проблемы нет). Однако, если многогранник задан, как поверхность, всостоянии «поверхность» можно визуализировать сетку поверхности и всепостроения выполнять относительно ее.[3]
1.5. Изображение пространственных фигур в параллельнойпроекции
Приизображении пространственных фигур в параллельной проекции применяют теоремуПольке-Шварца[9]. Всякийполный невыраженный четырехугольник АВСDвместе с его диагоналями можнорассматривать как изображение тетраэдра любой наперед заданной формы (рис. 10).
Используятеорему Польке-Шварца и свойство параллельного проецирования, я показываю, что изображением призмы ипирамиды (рис. 11), цилиндра и конуса (рис. 12) являются фигуры. [4]
2. Методы построения сечений многогранников
2.1. Методследов
Суть методазаключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линиипересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры F.Удобнее всего строить изображение линии пересечениясекущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следомсекущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущейплоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры F.Для тех, кто знаком с гомологией[10],удобно ее применять при нахождении образов точек нижнего основания фигуры F — изображения фигуры F.Последовательно соединяя образы этих точек, получимизображение искомого сечения. В дальнейшем будем допускать вольность речи, иговорить «строим сечение» вместо «строим изображение сечения». [5]
Пусть М, N, К- точки секущей плоскости, М1, N1, К1 — ихпроекции на плоскость основания. При этом для призм и цилиндров ММ1|| NN1, NN1 || КК1, для конусов и
пирамид ММ1∩NN1 ∩ КК1= S(S — вершина). Удобнее обозначатьвершины нижнего основания через А1, В1, С1,…верхнего основания — А, В, С,… Кратко суть метода следов можнозаписать следующим образом.
1. МN ∩ М1N1=X
2. МК ∩ М1К1=У
3. ХУ= S — след секущей плоскости
4.A1M1 ∩S = A0 возможно
5. АоМ ∩А1А == А
6. Пункты 4-5повторить для вершин В1, С1,… нижнего основания фигуры F;
7. -искомое сечение.
Фактически где fгомология, заданная осью sи парой точек М1 →М или N1 → N, или К1 → К.
Строитьсечение фигуры Fсекущей плоскостью α методом следов удобно в тех случаях, когдасекущая плоскость задана тремя точками, ей принадлежащими, или прямой и непринадлежащей ей точкой, или двумя пересекающимися прямыми, или двумяпараллельными прямыми. Во всех случаях легко взять три точки М, N, К,принадлежащие плоскости α, и решение проводить по указанной схеме.
Пример 1.Построим сечение призмы А1B1C1D1ABCDплоскостью, проходящей через триточки М, N, К. Я рассматриваю все случаи расположения точек М, N, К на поверхности призмы (рис. 13).
Рассмотримслучай: М € ВВ1, N € СС1D1D, K€ АА1E1. В данном случае, очевидно, что
М1=В1.
Построение.
1.МN∩ М1К1 =Х
1. МК ∩М1К1 = У
2. ХУ=S — след секущейплоскости
3. А1К1 ∩S=Ао
4. АоК ∩А1А= A, АоК ∩ ЕЕ1=Е.
5. D1N1 ∩ S= Dо
6.DоN ∩DD1 = D, DоN∩ CC1= C
7. -искомое сечение. [7]
Пример 2.
Построим сечение пирамиды SABCDEплоскостью, проходящей через точку М€ SBC и прямую lлежащую в грани SED. (рис. 14).
Построение.
1. SМ ∩ ВС=М1
2. МЕ ∩ МЕ = X, l∩ ЕО = У, ХУ = S — след секущей плоскости
3. S∩ АВ=К, S∩ АЕ = N.
4. ВС ∩S= Во, ВоМ ∩SB= B, ВоМ ∩ SC= С.
5. -искомое сечение.
Приобъяснении шагов построения можно использовать понятие гомологии или фактыстереометрии, опираясь на наглядное представление о данных в условии задачифигурах. Например, в последнем примере комментарии могут быть следующими.
1. То, чтодано, считается построенным.
2. Так как точка М лежит в грани SВС, то прямые SМ и ВС пересекаются, следовательно,легко построить их точку пересечения М1.
3. Прямая lлежит в грани SЕD, значит, она пересекает ребра SDи SEв точках и Dи Е.
4. Находим прямую sпересечения плоскости основания исекущей плоскости, используя известные точки М, D, Ев секущей плоскости.
5. Очевиденшаг построения.
6. Прямые ВС и sлежат в одной плоскости, Во — ихточка пересечения лежит в секущей плоскости, в плоскости основания и вплоскости SВС. Точка М лежит в секущей плоскости и в плоскости SВС. Следовательно, прямая ВоМявляется прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани SВС. Таким образом, легко построитьточки и В и С .ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В задачах на построение сечений не принятопроводить исследования, хотя было бы очень полезно его провести. Например, впримере 2 на втором шаге построения рассмотреть случай, когда l|| SВ или l|| SЕ, на третьем шаге — l|| ЕD, на четвертом — sне пересекает АЕ и АВ, на пятом — s|| ВС. Рассматривая различные точки,получим при одном условии задачи несколько вариантов решения. В общем случаеколичество вершин многоугольника сечения может изменяться от 3 до п + 1- для пирамиды, п +2 — для призмы.
Проведяисследование построения сечения методом следов, я установила, что метод следовлегко объясним, нагляден, но не всегда удобен в практике построения сечениймногогранников, так как расположение точек Х и У следа sможет быть за рамками чертежа,прямые, определяющие точку Х (или Y) могут быть параллельны (рис. 15). Втех случаях, когда применение метода следа затруднено, применяют методвнутреннего проецирования или так называемый метод вспомогательных сечений. [6]Изучив параллельное проецирование, я научилась легко и быстро производитьразличные построения на плоскости. Эти навыки и умения помогли мне при изучениипредметов школьного курса, таких как геометрия и черчение, а также припрохождении учебы на художественном отделении Динской школы искусств.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Геометрия 10-11 класс — А.И.Александров, 1999. с.47
2. Геометрия 10-11 класс — Л.С.Атанасян. «Просвещение», 2001. с.60
3. Модели многогранников- М. Веннинджер. «Мир», М. — 1974. с. 11
4.Начертательная геометрия — А.В. Бубенков, М.Я. Громов, М. — 2000. с.220
5. Начертательнаягеометрия- С. А. Фролов. «Просвещение», 1999. с. 137
6. Сборникзадач по аналитической геометрии и линейной алгебре — А.А. Беклемшнева. М.,«Наука», 1987. с.314, с.216
7. Сборникзадач по геометрии — В.Т. Базылев, К.И. Дуничев. М. «Просвещение», 1980. с.107
[1]Евклидово пространство – пространство, свойствакоторого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е.п. называется n-мepное векторноепространство, в котором возможно ввести некоторые специальные координаты(декартовы).
[2]Ортогональная – прямоугольная (Начертательная геометрия А.В. Бубенков)
[3]Свойства в данномпреобразовании называют проективными, или инваририантными.
[4]«Геометрия 10-11кл.» Александрова, 1992г.
[5] Эллипс представляет собой геометрическоеместо точек, сумма расстояний от каяадой из которых до двух данных точек(фокусов) есть величина постоянная.
[6]Аффинные преобразования, точечные взаимно однозначные отображения плоскости (пространства) насебя, при которых прямые переходят в прямые. Если на плоскости задана декартовасистема координат, то любое А. п. этой плоскости может быть определенопосредством т. н. невырожденного линейного преобразования координат х и уточек этой плоскости
[7]Диаметры эллипса — отрезки прямых, проходящих через центр эллипса. Два такихдиаметра, каждый из которых делит пополам хорды, параллельные другому,называются сопряженными.
[8]Многогранники — замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскимимногоугольниками.
[9] Польке теорема,основная теорема аксонометрии; впервые была сформулирована немецким геометромК. Польке в 1860 (без доказательства). П. т. утверждает, что три отрезкапроизвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки подпроизвольными углами, представляют собой параллельную проекцию трёх равных ивзаимно перпендикулярных отрезков, выходящих из одной точки в пространстве. Наосновании П. т. три произвольных отрезка, выходящих из одной точки на плоскостипроекций, можно принять за изображение координатного трёхосника с одинаковымимасштабными отрезками на его осях. П. т. была обобщена немецким математиком Г.Шварцем, который дал её элементарное доказательство (1864).
[10] Гомология — в проективной геометрии взаимнооднозначное преобразование проективной плоскости в себя, при которомсохраняется прямолинейное расположение точек, и остаются неподвижными все точкинекоторой прямой (оси Г.).