СОДЕРЖАНИЕ:Уравнения с одним неизвестным Уравнения первой степени с двумя неизвестными Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными Общий случай уравнения второй степени с двумя неизвестными
Р А З Р А Б О Т К А П Р О Г Р А М М Программа №1 (уравнения с одним неизвестным)
ВВЕДЕНИЕ
Мой курсовой проект посвящен одному из наиболееинтересных разделов теории чисел — решению уравнений в целых числах.
Решение в целых числахалгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестнымпредставляет собой одну из труднейших проблем теории чисел.
Проблема решения уравненийв целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумянеизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным онане представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача можетбыть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени сдвумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всехрешений в целых числах, но даже и более простая задача установлениясуществования конечного или бесконечного множества таких решений.
В своем проекте япостаралась изложить некоторые основные результаты, полученные в теории;решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в нем, снабженыдоказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.
1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМНЕИЗВЕСТНЫМ
Рассмотрим уравнение первойстепени с одним неизвестным
(1)
Пусть коэффициентыуравнения и — целые числа. Ясно,что решение этого уравнения
будет целым числом только в том случае, когда нацело делится на Таким образом, уравнение (1) не всегда разрешимо вцелых числах; так, например, из двух уравнений и первое имеет целоерешение
С тем же обстоятельством мывстречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратноеуравнение имеет целые решения в целых числахнеразрешимо, так как его корни
Вопрос о нахождении целыхкорней уравнения n-ой степени с целыми коэффициентами
(2)
решается легко. Действительно, пусть — целый корень этогоуравнения. Тогда
Из последнего равенства видно,что делится без остатка;следовательно, каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободногочлена уравнения. Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те изделителей
только -1 является корнем. Следовательно это уравнение,имеет единственный целый корень
в целых числах неразрешимо.
Значительно больший интереспредставляет решение в целых числах уравнении с многими неизвестными.
2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙСТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Рассмотрим уравнение первойстепени с двумя неизвестными
(3)
где и — целые числа,отличные от нуля, а — произвольное целое.Будем считать, что коэффициенты и не имеют общихделителей, кроме единицы. Действительно, если общий наибольший делитель этихкоэффициентов отличен от единицы, тосправедливы равенства
и может иметь целые решения только в том случае, когда делится на — все коэффициенты уравнения(3) должны делиться нацело на
коэффициенты которого и взаимно просты.
Рассмотримсначала случай, когда
(3')
Решаяэто уравнение относительно
Ясно, что будет принимать целыезначения в том и только в том случае, когда делитсяна без остатка. Но всякоецелое , кратное
где принимает произвольныецелые значения в предыдущее уравнение,тогда
и мы получаем формулы, содержащие все целые решенияуравнения (3'):
Перейдем теперь к случаю
Покажем, прежде всего, чтодля нахождения всех целых решений уравнения (3) достаточно найти какое-нибудьодно его решение, т. е. найти такие целые числа, длякоторых
Т е о р е м а I. Пусть а и bвзаимно просты и — какое-нибудьрешение уравнения
(3)
Тогдаформулы
(4)
при дают все решенияуравнения (3).
Д о ка з а т е л ь с т в о. Пусть — произвольное решениеуравнения (3). Тогда из равенств
и
получаем
;
Так как -целое число и числа и взаимно просты, то должно нацело делитьсяна , т. е. имеет вид
,
где — целое. Но тогда
,
и получаем
,
Таким образом доказано, чтовсякое решение имеет вид (4).Остается еще проверить, что всякая пара чисел ,получаемаяпо формулам (4) при целом , будет решением уравнения (3). Чтобы провести та кую проверку, подставим величины в левую частьуравнения (3):
но так как -решение, то и, следовательно, — решение уравнения(3), чем теорема полностью доказана.
Итак, если известно однорешение уравнения
3аметим, что в случае,когда
могут быть получены из только что выведенных формул являются, очевидно,решением уравнения
Как же найти какое-нибудьодно решение уравнения (3) в общемслучае, когда
Пусть дано уравнение
Преобразуем отношениекоэффициентов при неизвестных.
Прежде всего, выделим целуючасть неправильной дроби
Правильную дробь заменим равной ейдробью
Тогда получим Проделаем такие жепреобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью
Теперьисходная дробь примет вид:
Повторяя те же рассуждениядля дроби получим .
Выделяя целую частьнеправильной дроби
Мы получили выражение,которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этойцепной дроби — одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь впростую и вычтем ее из исходной дроби
Приведем полученноевыражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда
Из сопоставленияполученного равенства с уравнением следует, что будет решением этогоуравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях
Полученный результатнаводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения надо разложитьотношение коэффициентов при неизвестных в цепкую дробь, отбросить ее последнеезвено и проделать выкладки, подобные тем, которые были проведены выше.
Для доказательства этогопредположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей.
Рассмотрим несократимуюдробь частное и через остаток от деления ана b. Тогдаполучим:
Пусть, далее, -частное и — остаток от деления на Тогда
Величины неполнымичастными.Приведенный выше процесс образованиянеполных частных называется алгоритмом Евклида. Остатки от деления
(5)
т. е. образуют ряд убывающих неотрицательных чисел.
Так как количествонеотрицательных целых чисел, не превосходящих b, не может быть бесконечным, то на некотором шаге процессобразования неполных частных оборвется из-за обращения в ноль очередногоостатка r.Пусть — последний отличныйот нуля остаток в ряде (5); тогда и алгоритм Евклида длячисел aи bпримет вид
(6)
Перепишем полученныеравенства в виде
Заменяя значение в первой строке этихравенств соответствующим значением из второй строки значение — выражением из третьей,строки и т. д., получим разложение в цепную дробь:
Выражения, получающиеся изцепной дроби при отбрасывании всех ее звеньев, начиная с некоторого звена,назовем подходящими дробями. Первая: подходящая дробь получится при отбрасываниивсех звеньев, начиная с :
Вторая подходящая дробь
и т.д.
В силу способа образованияподходящих дробей возникают очевидные неравенства:
Запишем k-ю подходящуюдробь в виде
и найдем закон образования числителей и знаменателей подходящихдробей, Преобразуем первые подходящие дроби :
, ;
; ; ;
;
;
Отсюда получаем:
; .
Применяя индукцию, докажем,что соотношения того же вида
, (7).
выполняются для всех
Действительно, пустьравенства (7) выполняются для некоторого величины на перейдет в
Заменяя здесь на
Отсюда, так как
Таким образом, из выполненияравенств (7) для некоторого следует выполнение ихдля Но для равенства (7) — выполняетсяи, следовательно, их справедливость установлена для всех
Покажем теперь, чторазность соседних подходящих дробей удовлетворяет соотношению
(8)
Действительно,
Пользуясь формулами (7),преобразуем числитель полученной дроби:
Выражение, стоящее вскобках, получается из исходного заменой на
Отсюда следует, что
Если разложение в цепную дробь имеет звеньев, то п-я подходящаядробь совпадает с получим
(9)
Вернемся теперь к решениюуравнения
(10)
Перепишем соотношение (9) ввиде
Приводя к общемузнаменателю и отбрасывая его, получим
Умножим это соотношение на
Отсюдаследует, что пара чисел
(11)
является решением уравнения (10) и согласно теореме все решения этого уравненияимеют вид
Полученный результатполностью решает вопрос о нахождении всех целочисленных решений уравненияпервой степени с двумя неизвестными. Перейдем теперь к рассмотрению некоторыхуравнений второй степени.
3. ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
П р и м е р I. Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными:
(12)
Геометрически решение этогоуравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровыхтреугольников, т. е. прямоугольных треугольников, у которых и катеты выражаются целымичислами.
Обозначим через общий наибольшийделитель чисел и
и уравнение (12) примет вид
Отсюда следует, что делится на и, значит, кратно
Теперь уравнение (12) можнозаписать в виде
сокращая на ,получим
.
Мы пришли к уравнению тогоже вида, что и исходное, причем теперь величины и не имеют общихделителей, кроме 1. Таким образом, при решении уравнения (12) можноограничиться случаем, когда и взаимно просты. Итак,пусть и (например, ) будет нечетной. Перенося в правую частьуравнения (12), получим
. (13)
Обозначим через общий наибольшийделитель выражений и Тогда
, (14)
где и взаимно просты.
Подставляя в (13) значения и , получим
.
Так как числа и не имеют общихделителей, то полученное равенство возможно только в том случае, когда и будут полнымиквадратами:
Но тогда
и
(15)
Найдем теперь и из равенств (14). Сложениеэтих равенств дает:
;. (16)
Вычитая второе из равенств(14) из первого, получим
(17)
В силу нечетности из (15) получаем, что и также нечетны. Болеетого,
и
следовало бы, что величины и имеют общий делитель связаны с взаимнопростыми числами и равенствами
и в силу этого сами взаимно просты; , так как
Подставляя в равенства (15)- (17) , получим формулы:
(18)
дающие при нечетных взаимно простых и все свободные от общих делителей тройки целыхположительных чисел (12). Простойподстановкой , и в уравнение (12) легкопроверить, что при любых числа (18)удовлетворяют этому уравнению.
Для начальных значений и формулы (18) приводятк следующим часто встречающимся равенствам:
Как уже было сказано,формулы (18) дают только те решения уравнения
в которых числа и не имеют общихделителей. Все остальные целые положительные решения-этого уравнения получаютсяумножением решений, содержащихся в формулах (18), на произвольный общиймножитель .
Тем же путем, каким мыполучили все решения уравнения (12), могут быть получены и все решения другихуравнений того же типа.
Пример II. Найдем все решения уравнения
(19)
в целых положительных попарно взаимно простыхчислах .
Заметим,что если есть решениеуравнения (19) и