М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Этотипичная ситуация в конденсаторе. Для ее рассмотрения используется уравнениеПуассона с ρ = 0, которое интегрируется с учетом условий φ(x1) = φ1,φ(x2) = φ2 (для плоскостного случая) или φ(r1) = φ1, φ(r2)= φ2 (сфера, цилиндр). Рассмотрим далее случай плоскости.
/>
/>
/>
/>
Далееможно дифференцированием по x найти поле Ex и Dx:
/>
Следующийшаг — нахождение поляризованности и ее дивергенции, то есть связанного зарядаρ':
/>
Вточках разрыва ε(x) (на стыке двух диэлектриков) производная ε'(x) обращаетсяв бесконечность, формула для ρ' cтановится неприменимой и надо искатьповерхностный связанный заряд:
/>
Обязательнопроверяются условия на границах (в данном случае x1, x2) на наличиеповерхностного связанного заряда:
/>
Всферическом и цилиндрическом случаях надо правильно писать div всоответствующей системе координат. Выражения для φ(r) принимают вид: φ(r) =
/> φ(r) =
/>
послечего Er(r) и связанные заряды находятся аналогично тому, как это было сделановыше для плоскостного (декартового) случая.
Задача.Получить выражения для φ(r), Er(r), ρ ', σ ' в случаецилиндрической и сферической симметрии, если заданы зависимость ε(r), атакже потенциалы граничных поверхностей φ(R1(2)) = φ1(2). ρ = 0.
Указание:Для промежуточной проверки использовать вышеприведенные выражения дляпотенциала.
Задача.Пространство между обкладками плоского конденсатора шириной d заполненонеоднородным диэлектриком c проницаемостью ε(x) = 1+α x. Найтиφ(x), Ex(x), ρ ', σ ' на обкладках.
Решение:Будем считать, что конденсатор занимает область координат x = 0… d, причемпотенциал одной обкладки (x = 0) равен φ1 = 0, а другой φ2 = U. Тогдазависимость потенциала от координаты находится как
/>
послечего находим поле Ex(x) дифференцированием:
/>
идалее получаем поляризованность Px:
/>
Взявдивергенцию, получаем объемный связанный заряд:
/>
иеще проверяем условия на обкладках на наличие поверхностного заряда σ ': σ '|x = 0 = –Px|x = 0+ = 0 σ '|x = d =
/>
Каки следовало ожидать, σ '|x = 0 = 0, поскольку у обкладки x = 0диэлектрическая проницаемость равнa единице. Если U>0, то σ '|x = d
/> =
/> =
/> =
/>
Список литературы
1.И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. — 448с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. — 416 с.
2.В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М.Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. — 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.:Наука, 1992. — 661 с.
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe.ru/r