Федеральное агентство по образованию (Рособразование)
Архангельскийгосударственный технический университет
Кафедраэксплуатации автомобилей и МЛК
(наименованиекафедры)Расчётно-графическая работа
По дисциплине
Основы теориинадежности и диагностики
На тему
Расчетпоказателей надежности и законов их распределения
Руководитель
Кузнецов Н.И.
Архангельск
2009
Задание
По данным, (онипредставляют собой ресурсы автомобилей или их агрегатов до капитального ремонтав тысячах километров пробега), необходимо:
— определить среднееарифметическое значение ресурса автомобиля до капитального
ремонта;
— рассчитать среднееквадратическое отклонение ресурса;
— определить коэффициентвариации ресурса;
— построить эмпирический законраспределения ресурса;
— подобрать теоретическийзакон;
— проверить согласиетеоретического и эмпирического законов распределений;
— определитьдоверительный интервал для математического ожидания ресурса.
1.Расчет параметров экспериментального распределения
Число классовстатистического ряда определяем по формуле (11):
/>,
где N – общее число наблюдений
/>
Принимаем />.
Размах выборки для нашегоряда
/>
/>
Значение классовогопромежутка находим по формуле (12):
/>
/>
Для удобства вычисленийпринимаем />.
Середина классов W –полусумма начала данного класса и начала следующего класса. Середины крайнихклассов принимаем близкими к наименьшему и наибольшему значениям случайнойвеличины.
Начало Wa и конец Ww классанаходим по формулам:
/>
где h-принятая точностьизмерения случайной величины.
Результаты расчетовсведены в таблицу 1.
Таблица 1 — Cоставление статистического рядаГраницы класса Середина Частота 15,09 17,08 16,09 0,00 13,09 15,08 14,09 0,00 11,09 13,08 12,09 0,00 9,09 11,08 10,09 2,00 7,09 9,08 8,09 9,00 5,09 7,08 6,09 16,00 3,09 5,08 4,09 14,00 1,09 3,08 2,09 9,00 Всего 50,00 /> /> /> /> />
2. Вычисление среднегоарифметического значения и среднего квадратического отклонения
Среднее арифметическоезначение случайной величины способом произведений вычисляем по формуле
/> (13)
где А — условная средняя,середина модального или близкого к нему класса;
S1 — первая сумма,
/>
а — условные отклонениясередин классов, выраженные в классовых промежутках,
/>
Среднее квадратическоеотклонение определяем по формуле
/> (14)
где с — сумма взвешенныхквадратов центральных отклонений середин классов от средней ряда, выраженная вквадратах классов промежутков,
/>;
S2 – вторая сумма,
/>
Результаты расчетовсведены в таблицы 2 и 3.
Таблица 2 — Вспомогательные вычисления для определения /> W f a fa fa^2 16,09 3,0 14,09 2,0 12,09 1,0 10,09 2 0,0 8,09 9 -1,0 -9 9 6,09 16 -2,0 -32 64 4,09 14 -3,0 -42 126 2,09 9 -4,0 -36 144 Всего 50 -119 343
Таблица 3S1 S2 X C Сигма V -119 343 5,33 59,78 2,21 0,414
3. Определение видазакона распределения случайной величины
распределениеэкспериментальный случайный величина
Закон распределенияслучайной величины определяют в следующей последовательности:
— выравниваютэмпирический ряд одним из теоретических распределений;
— производят оценкуразличий эмпирического и теоретического распределений по критериям c2 или l.
3.1 Экспоненциальныйзакон распределения
Теоретические частоты дляраспределения определяют по формуле
/>,
где /> — экспоненциальнаяфункция, значения которой табулированы;
/> — условные отклонения серединклассов,
/>.
Результаты расчетовсведены в таблицу 4, выравнивание статистического ряда по экспоненциальномузакону приведено на рисунке 1.
Таблица 4 — Выравниваниестатистического ряда по экспоненциальному законуW f W-X x=Wi/X ℓ (Nk/X)*ℓ f' 16,09 0,00 10,76 3,02 0,026 0,488 0,00 14,09 0,00 8,76 2,64 0,035 0,657 1,00 12,09 0,00 6,76 2,27 0,492 0,657 1,00 10,09 2,00 4,76 1,89 0,077 1,435 1,00 8,09 9,00 2,76 1,52 0,135 2,538 3,00 6,09 16,00 0,76 1,14 0,237 4,445 4,00 4,09 14,00 -1,24 0,77 0,415 7,782 8,00 2,09 9,00 -3,24 0,39 0,733 13,760 14,00 Всего 50,00 31,76 32,00
/>
Рисунок 1 — Выравниваниестатистического ряда по экспоненциальному закону распределения
3.1.1 Оценка различийэмпирического и теоретического распределений
Методика оценки различийэмпирического и теоретического распределений для различных законовраспределения одна и та же.
Для проверкисогласованности теоретического и эмпирического распределений чаще всего используюткритерий c2 Пирсона,величину которого рассчитывают по формуле
/>
где c02 – стандартные значения критерия,его значения находят по специальным таблицам в зависимости от числа степенейсвободы v;
/>, /> – эмпирические и теоретическиечастоты классов соответственно.
Первичное v1 и вторичное v2 числа степеней свободы определяютпо следующим формулам:
/>; />; />.
где r1,r2 — числа классовдо и после объединения классов с малыми теоретическими частотами.
Крайние классы с частотой/>объединяют ссоседними классами (/>– минимально допустимаятеоретическая частота крайних классов в зависимости от начального числастепеней свободы)
Различия распределениймогут считаться случайными, если эмпирический критерий не достигает требуемогопорога вероятности b. Необходимо ориентироваться на три уровня вероятности: при малойответственности исследований b1 >= 0,999; при обычной b2 >= 0,99; при большой b3 >= 0,95.
Таблица 5 — Определениеразличий законов распределенияW1 f f ' f-f ' (f-f ' )^2 ( f-f ' )^2/f ' 16,1 0,49 -0,49 0,24 0,49 14,1 0,66 -0,66 0,43 0,66 12,1 0,66 -0,66 0,43 0,66 10,1 2 1,44 0,56 0,32 0,22 8,1 9 2,54 6,46 41,75 16,45 6,1 16 4,44 11,56 133,53 30,04 4,1 14 7,78 6,22 38,66 4,97 2,1 9 13,76 -4,76 22,66 1,65 Всего 50 31,762 55,13
Следовательно, c02: 13,3; 18,5 при b соответственно, 0,99, 0,999
Такимобразом, при b=0,99и 0,999 ответственности испытаний c2 больше c02, то есть эмпирическое распределение противоречит экспоненциальномузакону распределения.
3.2 Нормальныйзакон распределения
Таблица 6 — Выравниваниестатистического ряда по нормальному законуНормальный закон Теор частоты W f W-X x=(W-Ч)/сигма f(x) Nkf(x)/сигма f' 16,09 0,00 10,76 4,87 0,00 0,000 0,00 14,09 0,00 8,76 3,97 0,00 0,007 0,00 12,09 0,00 6,76 3,06 0,00 0,167 0,00 10,09 2,00 4,76 2,15 0,04 1,773 2,00 8,09 9,00 2,76 1,25 0,18 8,277 8,00 6,09 16,00 0,76 0,34 0,38 17,026 17,00 4,09 14,00 -1,24 -0,56 0,34 15,431 15,00 2,09 9,00 -3,24 -1,47 0,14 6,162 6,00 Всего 50,00 48,84 48,00
/>
Рисунок 2 — Выравниваниестатистического ряда по нормальному закону распределения
Таблица 7 — Определениеразличий законов распределенияW1 f f ' f-f ' (f-f ' )^2 ( f-f ' )^2/f ' 16,1 0,00 0,00 0,00 0,00 14,1 0,01 -0,01 0,00 0,01 12,1 0,17 -0,17 0,03 0,17 10,1 2 1,77 0,23 0,05 0,03 8,1 9 8,28 0,72 0,52 0,06 6,1 16 17,03 -1,03 1,05 0,06 4,1 14 15,43 -1,43 2,05 0,13 2,1 9 6,16 2,84 8,06 1,31 Всего 50 48,842 1,77
Следовательно, c02:11,1; 15,1; 20,5 при b соответственно 0,95, 0,99, 0,999
Такимобразом, при b=0,99и 0,999 ответственности испытаний c2 меньше c02, то есть эмпирическое распределение не противоречит нормальному законураспределения.
3.3 РаспределениеВейбула
Таблица 8 — Выравниваниестатистического ряда по распределение ВейбулаW f Wi /a x=af (Wi/a)
/> f' 16,09 0,00 2,74 1,2134 20,636 20,6 14,09 0,00 2,40 1,4715 25,026 25,0 12,09 0,00 2,06 1,5130 25,731 25,7 10,09 2,00 1,72 1,3597 23,124 23,1 8,09 9,00 1,38 1,0791 18,352 18,4 6,09 16,00 1,04 0,7590 12,908 12,9 4,09 14,00 0,70 0,4697 7,988 8,0 2,09 9,00 0,36 0,2495 4,243 4,2 Всего 50,00 138,01 137,90
/>
Рисунок 3 — Выравниваниестатистического ряда по распределению Вейбула
Таблица 9 — Определениеразличий законов распределенияW1 f f ' f-f ' (f-f ' )^2 ( f-f ' )^2/f ' 16,1 20,6 -20,60 424,36 20,60 14,1 25,0 -25,00 625,00 25,00 12,1 25,7 -25,70 660,49 25,70 10,1 2 23,1 -21,10 445,21 19,27 8,1 9 18,4 -9,40 88,36 4,80 6,1 16 12,9 3,10 9,61 0,74 4,1 14 8,0 6,00 36,00 4,50 2,1 9 4,2 4,80 23,04 5,49 Всего 50 137,900 106,11
Следовательно, c02: 15,1; 20,5 при b соответственно, 0,99, 0,999
Такимобразом, при b=0,99и 0,999 ответственности испытаний c2больше c02, то есть эмпирическое распределение противоречит распределенияВейбула.
Вывод:Эмпирическое распределение соответствует нормальному закону распределения.
4. Определениедоверительного интервала для математического ожидания случайной величины
Врассмотренном способе оценки числовых характеристик случайных величиннеизвестный параметр определялся одним числом. Такая оценка называетсяточечной. При оценке надежности машин и оборудования часто требуется не тольконайти для заданного параметра числовое значение, но и оценить его точность идостоверность. Пусть для параметра X (например,математического ожидания) получена по результатам выборочного обследованияточечная оценка этого параметра X.
Требуетсяопределить ошибку замены параметра X еготочечной оценкой X. Назначим некоторую вероятность b (b = 0,9) и определим такое значениеошибки e > 0, длякоторого />.
Эторавенство означает, что с вероятностью /> неизвестное значение параметра X попадаетв интервал />.
Интервал/> называетсядоверительным, а b — доверительнойвероятностью.
Рассмотримзависимости, используемые при построении доверительных интервалов дляпараметров случайной величины, распределенной по нормальному закону.
Дляматематического ожидания границы доверительного интервала определяют по формуле
/>,
где tb — коэффициент распределенияСтьюдента, определяемый по таблицам в зависимости от доверительной вероятности b и числа степеней свободы или размеравыборки N -1, ( tb=1,658)
Доверительныйинтервал для математического ожидания ресурса согласно формуле:
Iβ=(4,812; 5,848)
Вывод:
Таким образом, точноезначение ресурса автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта свероятностью 0,99 находится в пределах от 4,812 до 5,848 тыс. км пробега.
Список использованныхисточников
1. Кузнецов Н. И.,Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Методические указания и заданияк выполнению расчетных работ и задач. — Архангельск: Изд-во АГТУ, 2001. — 36 с.
2. Кузнецов Н. И.,Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Нормативно справочный материалк выполнению расчетных работ и задач. — Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003. — 14 с.