Отдел образования администрации Центрального района
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 4
Секция математика
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
По теме
Разбиение натурального ряда
Сорока АлександраАлександровна
Василькова ЕвгенияСергеевна
Учащихся 11 Вкласса МОУ СОШ №4
Центральногорайона
8-905-958-2583
8-913-954-3357
Руководитель:Тропина Наталья
Валерьяновна,
Кандидатпедагогических наук
доцент кафедрыматематического анализа
НГПУ
(работа выполненав МОУ СОШ №4)
Новосибирск 2008г.
Содержание
Введение
§1. Основныепонятия и определения
§2. Двепоследовательности. Их свойства
§3. Упражнения
§4. Геометрическаяинтерпретация
§5. Некоторые приложения(Палиндромы)
Заключение
Список литературы
рациональныйиррациональный число
ВВЕДЕНИЕ
Цельюданной работы является изучение вопроса о разбиениях натурального ряда на двенепересекающиеся возрастающие последовательности.
Работасостоит из пяти параграфов:
Первыйпараграф посвящен понятиям и определениям, которые пригодятся нам в работе.
Вовтором параграфе идет речь о построении двух последовательностей и о гипотезеАкулича.
Втретьем параграфе приведены упражнения.
Четвертыйпараграф посвящен геометрической интерпретации построения последовательностей.
Впятом параграфе приведены некоторые приложения.
§1 Основныепонятия и определенияЦелая и дробная части числа
Определение 1.Целой частью числа x называется наибольшее целое число r, не превышающее x.
Целая частьчисла x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier«антье» — целый).
Если xпринадлежит промежутку
[r; r +1),
где r — целоечисло, то [x]=r, т.е. x находится на промежутке [ [x]; [x]+1). По свойствам числовыхнеравенств, разность x-[x] будет на промежутке [0; 1).
Определение 2.Число q = x — [x] называют дробной частью числа x и обозначают {x}.Следовательно, дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1,тогда как целая часть числа может принимать как положительные значения, так инеположительные. Таким образом {x} = x — [x], а, следовательно, x = [x] + {x}.
Примеры[5]=5 [7,2]=7 [-3]=-3 [-4,2]=-5 [0]=0 {5}=0 {7,2}=0,2 {-3}=0 {-4,2}=0,8 {0}=
Свойствоцелой части
[x+n] = [x]+n
где n – натуральноечисло
Рациональныеи иррациональные числа и их свойства
Определение3.Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби
/>
где m – целое число, а n – натуральное.
Определение4. Если число не представимо в виде />, то такое число называетсяиррациональным.
Теорема1. Любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечнойпериодической дроби.
Любоеиррациональное число представимо в виде бесконечной десятичной непериодическойдроби.
Примеры
0,5=/>-рациональноечисло
0,(3)=/>-рациональное число
1,0123456789101112…-иррациональноечисло
/>-иррациональное число
Свойстваарифметических действий над рациональными и иррациональными числами
1. Если/>-рациональные числа, то />, />, />, />,/> — рациональные числа.
Дано: Доказательство
/> ; /> /> - рациональное
2. Еслиr-рациональное число, />-иррациональное число, то
/> -иррациональные числа.
Доказательство:(от противного)
Предположимчто
/>но /> — противоречие
3.Если />, топро /> ничегоопределенного нельзя сказать.
Примеры
/>
§2 Двепоследовательности. Их свойства
В этомпараграфе речь пойдет о задачах, посвященных разбиению натурального ряда напоследовательности и о теореме, доказывающей их.
Рассмотримодин из способов разбиения натурального ряда на две возрастающиенепересекающиеся последовательности
/> и />
которыепри любом натуральном n удовлетворяют условию />.
Двигаясьпо натуральному ряду, можем последовательно вычислять члены обеихпоследовательностей.
/>
Посколькувсе />, тонаименьшее натуральное число, т.е. 1- должно равняться />.
Следовательно
/>
и так далее.Каждый раз, выбирая наименьшее неиспользованное натуральное число и считая егоравным />,затем, находя />по формуле
/>
можемстроить последовательности.
В 1877году в «Теории звука» лорд Рэлей писал: «если x есть некотороеположительное иррациональное число, меньшее единицы, то можно взять два рядавеличин n/x и n/(x-1) где n = 1,2,3…; каждоечисло, принадлежащее к тому или иному ряду, и только оно одно, будет заключеномежду двумя последовательными натуральными числами”. Т.е.
/> и />
заполняютбез пропусков и перекрытий весь натуральный ряд, если
0Q
ГипотезаАкулича и явные формулы
И.Ф.Акулич предложил гипотезу: отношение количества a-чисел кколичеству b-чисел стремится к «золотому сечению»
/>
(где a-числа – числа,принадлежащие последовательности />, b-числа- числа,принадлежащие последовательности />).
/>[(1+/>)n/2]
/>=[(1+/>)n/2]+n=[(3+/>)n/2]
Выведемиз явных формул гипотезу Акулича.
Обозначим
/> ;/>
Рассмотримнатуральное число N и выясним сколько a-чисел и b-чисел средипервых N натуральных чисел, если последовательности заданыформулами:
/>/> ;/>
Неравенства/>равносильно,по определению целой части, неравенству />. Значит, a-чисел средипервых N натуральных чисел имеется ровно [(N+1)//>]. Аналогично, b-чисел
[(N+1)//>]
Тогдаотношение количества a — чисел к количеству b- чисел равно
/>
УстремимN к бесконечности, получим
/>
Гипотезаоказалась верна, при условии что обе последовательности /> и /> заданы явными формулами
/>[(1+/>)n/2]
/> =[(3+/>)n/2]
НоАкулич не первый догадался представить последовательности /> и /> в виде [/>] и [/>].
Эти жеявные формулы получаются из формул Рэлея при x = 2/(1+/>), поскольку приэтом величина 1-x равна как раз 2/(3+/>), т.е.
/>
Возникаетвопрос об единственности разбиения множества N на двепоследовательности.
Встатье Баабабова [2] доказывается теорема, обобщающая этот результат иутверждает, что таких разбиений натурального ряда существует бесконечно много.Приведем данную теорему и ее подробное доказательство.
Обозначим
/>
Теорема.
Если /> и /> -положительные иррациональные числа, связанные соотношением />, то среди чисел вида [/>] и [/>], где n />, каждое натуральноечисло встречается ровно один раз.
Доказательство:
Поскольку/>> 1, впоследовательности /> никакое число не повторяется.Аналогично вследствие неравенства />>1 строго возрастает ипоследовательность />
Действительно,пусть [/>] – k
/>
Следовательно,/>
Докажемтеперь, что каждое натуральное число встречается ровно один раз.
Предположим,что некоторое натуральное число k вошло в обе последовательности т е k = />, где m,n – натуральные числа.Тогда должны быть выполнены неравенства
k
т.е.
/> />
сложимэти неравенства, не забывая про условие
/>
Получим
/>
откудаk
Нотакого для натуральных чисел не может быть. Значит, число k не могло войти вобе последовательности.
Теперьпредположим, что k не вошло ни в одну из последовательностей. Тогда для некоторыхнатуральных чисел m и n должны выполняться неравенства
/>m (m+1)
/>n (n+1)
которыеможно преобразовать к виду
/>
складывая,получаем
/>
откудаm+nm+nk-1
Такогодля натуральных чисел тоже не может быть. Получаем противоречие, следовательно,теорема доказана.
Вследующем параграфе рассмотрены упражнения о разбиениях натурального ряда, прирешении которых используются результаты данного параграфа.
§3.Упражнения
Упражнение1
Пустьпоследовательность задана формулой
/>.Найти />.
/> /> /> /> /> /> />/>
1 … 2829 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />/>
49 50
/>
Используяэту формулу, можно найти любое a/>.
Упражнение2.
Вычислитьn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
[(1+/>)n/2] 1 3 4 6 8 9 11 12 14 16 17 19 21 22 24 25 27 29
[(3+/>)n/2] 2 5 7 10 13 15 18 20 23 26 28 31 34 36 39 41 44 47
Упражнение3
Используяформулы
/> и />
постройтепоследовательности, которые заполняют весь натуральный ряд без пропусков иперекрытий
/>
/>, />, />…
…/>, />, />…
/> /> /> /> /> />
1 2 3 45 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
/> /> />/> /> /> />
/>/> /> /> /> />/> />
Где />
Упражнение4
Найтиявные формулы для возрастающих последовательностей /> и />, заполняющих натуральный ряд безпропусков и перекрытий и удовлетворяющих соотношению /> при всех n= 1,2,3…
/>
/>
Итак,явные формулы для последовательностей доказаны.
§4. Геометрическаяинтерпретация
Удивительнопростое и наглядное доказательство теоремы из § 1 получаем, если рассмотрим геометрическуюинтерпретацию.
/>
Пусть,как и ранее, α и β – положительные иррациональные числа.
Причем/>. Тогда />, откуда />.
Нарисуемна листе бумаги, как на координатной плоскости прямую l, заданнуюуравнением у=(α-1)x, которое можно записать так же в виде x=(β-1)y.
Занумеруемподряд все клетки, которые пересекают l, начиная с нулевой клетки, которойпринадлежит начало координат (для … взято
α=/>)
Еслимы обозначим числа, стоящие над линией за a- числа, а подлинией за b – числа то получатся две последовательности, о которых мыговорили в §1.
Посколькучисло α иррационально, прямая l не проходит через узлы сетки.Значит, l входит в очередную клетку либо слева, пересекаявертикальную линию сетки, либо снизу, пересекая горизонтальную линию.
Если l вошла в клеткуслева и пересекла при этом вертикаль х=n, то номер клетки,в которую при этом вошла прямая равен n+[( α-1)n]=[ αn].
Еслиже прямая l пересекла снизу горизонталь y=m, то номерсоответствующей клетки равен [(β-1)m]+m=[βm].
§5.Некоторые приложения. Палиндромы
Обозначимнатуральные числа принадлежащие последовательности a/>буквой А, апринадлежащие последовательности /> — буквой В.построим последовательность.
АВААВАВААВААВАВААВАВААВААВАВААВААВАВААВАВААВАВАВА…
Рассмотревпоследовательность повнимательнее, заметим, что ее можно разделить напалиндромы.
Определение:Палиндромы (перевертыш) – это слово, которое выглядит одинаково при чтениислова как слева направо, так и справа налево.
Примеры:
Шалаш,ротор или АВВАВАВВА.
Рассмотримзадачу, связанную с палиндромами (аналогичную задачу решал в своей статьеАкулич)
Избукв А и В составлено 2010-буквенное слово. Докажите, что его можно разбитьменее чем на 900 более коротких слов, каждое из которых является палиндромом.
Возьмемпроизвольное 2010-буквенное слово и разобьем его сначала на 5-буквенные – ихбудет всего 402. Каждое из этих 5-буквенных слов, в свою очередь, может бытьсоставлено не более чем из двух палиндромов. Поэтому произвольное2010-буквенное слово можно составить не более чем из 804 палиндромов, т.е.меньше чем из 900, что и требовалось доказать.
Чтобырешать такие задачи в общем виде, введем функцию f(n).Через нееобозначим такое наименьшее натуральное число, что всякое слово длиной n, составленное избукв А и В может быть разбито не более чем на f(n) палиндромов.
Упражнение1
Придумайтеслово из букв А и В которое нельзя разбить менее чем на 3 палиндрома, нокоторое после приписывания к нему справа или слева любой из букв А и В можноразбить на два палиндрома.
АВААВВ+А
Оказалось,что задачи можно решить в общем виде. Введем функцию f(n).
Через f(n) обозначим такоенаименьшее число, что всякое слово длиной n, состоящее избукв А и В, может быть разбито не более чем на f(n) палиндромов.
Пример:
Найдемf(6). Всего шестибуквенных слов/>но поскольку буквы А и Вравноправны достаточно рассмотреть только слова начинающиеся на букву А
АААААА
ААААА+В
ААА+АВА
АААА+ВВ
А+ААВАА
ААА+ВАВ
АА+АВВА
ААА+ВВВ
ААВАА+А
АА+ВААВ
А+АВАВА
АА+ВАВ+В!
ААВВАА
А+АВВА+В!
А+АВВВА
АА+ВВВ
АВА+ААА
А+ВАААВ
АВА+АВА
АВА+А+ВВ!
АВАВА+А
АВАВА+В
АВА+ВВ+А!
АВА+ВВВ
АВВА+АА
АА+ВААВ
АВВА+В+А!
АВВА+ВВ
АВВВА+А
АВВВА+В
АВВВВА
А+ВВВВВ
Восклицательнымизнаками отмечены слова, которые нельзя разбить менее чем на три палиндрома.Ясно, что всякое шестибуквенное слово можно разбить не более чем на трипалиндрома. Ниже приведем 10 значений функции fn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(n) 1 2 2 2 2 3 3 4 4 4 n/f(n) 1 1 1.5 2 2.5 2 2.33 2 2.25 2.5
n/f(n) – это средняя длина палиндромов, накоторые разбито самое трудно разбиваемое n- буквенное слово.
Упражнение2
Длякаждого n- 1,2,3,…10 укажите слово длиной n из букв А и В,которое нельзя разбить менее чем на f(n) палиндромов.
n=1 А
n=2 ВВ
n=3 АВВ
n=4 ААВВ
n=5 АВАВВ
n=6 АВААВВ
n=7 ВАВААВВ
n=8 ВВААВВАА
n=9 АВАВАВААВ
n=10 АВАВАВАВВВ
Встатье А. Баабабоваприведена теорема:
Прилюбом натуральном n имеем f(3n)=n+1, f(3n+1)=n+1, f(6n+2)=2n+2.при любомнатуральном n>1 имеем f(6n+5)=2n+2, исключительноезначение f(11)=5.
Следствиеиз теоремы
Предел/> существуети равен 3.
Каждоеслово из n букв А и В может быть разбито не более чем на [(n+4)/3] палиндромов.
/>
/>
/>
4)f(6k+5) = 2k+2
/>.
Итак,в каждом из случаев получаем один и тот же предел 3.
Следовательно
/>
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Впроцессе работы над темой нами были изучены вопросы о разбиениях натуральногоряда на две непересекающиеся возрастающие последовательности, также были решенысамостоятельно 6 упражнений, доказано следствие к теореме из § 3.
Литература
1. Акулич И.Ф. Умхорошо, а пять лучше // Квант. – 1998. — №6
2.Баобабов А. «Пентиум»хорошо, а ум лучше // Квант.-1999. — №4,№5
3. Зайцев В.В.,Рыжков В.В., Сканави М.И. Элементарная математика М.Наука, 1976
4. Макарычев Ю.Н.,Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра 8 класс. М. Просвещение, 1996