Разностныесхемы для уравнений параболического типа1.Решение задачи Коши
Рассмотрим задачу Кошидля уравнения теплопроводности
/>,/>,/>/>, (3.5)
с условием на прямой t=
/>,/>. (3.6)
Требуется найти функцию />,которая при/> и />удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при /> выполнялабы условие (3.6).
Будем считать, чтозадача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение />,непрерывное вместе со своими производными
/>, i=1,2 и />,k=1,2, 3, 4.
Запишем задачу (3.5),(3.6) в виде />.Для этого достаточно положить
/>
/>
Будем далее считать,что t изменяется в пределах />.В рассматриваемом случае
/>,
Г −объединение прямыхt=0иt=T.
Выберем прямоугольнуюсетку и заменим область /> сеточнойобластью />.К области /> отнесемсовокупность узлов />,где
/>,/>,/>,
/>,/>,/>,/>.
Заменим задачу /> разностнойсхемой вида />.Обозначим через /> точноезначение решения задачи /> вузле />,а через /> –соответствующее приближенное решение. Имеем
/>
/>
Для замены выражений />и/>воспользуемсяформулами численного дифференцирования. Имеем:
/>,(3.7)
/>,(3.8)
/>, (3.9)
/> (3.10)
Назовем некоторуюсовокупность узлов, привлекаемых для замены задачи /> вузле />,разностной схемой />, шаблоном. Наиболееупотребительные шаблоны изображены на рис. 3:
/>
/>
Рис. 3. Явный и неявныйшаблоны
Рассмотрим явныйдвухслойный шаблон. Для него
/>(3.11)
Здесь мывоспользовались формулами (3.7) и (3.10) и обозначили
/>.
Введем обозначение
/> (3.12)
Теперь на основанииформул (3.11), (3.12) можно записать разностную схему для задачи />:
/>, (3.13)
где разностный оператор />определяетсяпо правилу
/>
Аналогично, еслииспользовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:
/>, (3.14)
где
/>
/>
На основании формул(3.11) и (3.13) можно записать
/>,
где />
Аналогично, используя (3.11), (3.10), (3.14), получим
/>,
/>.
Выясним порядокаппроксимации разностных схем (3.13) и (3.14). В качестве /> возьмем линейноемножество всех пар ограниченных функций
/>.
Норму в /> определимправилом
/>
Пусть />,где rиs – некоторыеположительные числа.
Предположим, что для /> и /> верны оценки
/>,/>.
Тогда легко получить
/>,(3.15)
/>.(3.16)
Для параболическихуравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3.13) можно взять S=2,а в случае схемы (3.14) можно взять S=1.
Из формул (3.15),(3.16) следует, что разностные схемы (3.13), (3.14) аппроксимируют задачу /> спогрешностью порядка S относительно h.
Разностная схема (3.13)позволяет по значениям решения на нулевом слое, то есть по значениям />вычислить значения на первом слое /> . Дляэтого достаточно в (3.13) положить n = 0и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по значениям /> можноаналогично при n = 1вычислить значения /> ит.д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной.
Разностная схема (3.14)такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим n = 0, то в левойчасти полученной формулы будет линейная комбинация из значений />,в правой части будут значения известной функции /> и/>.Для вычисления значений на первом слое /> вэтом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этойпричине схему (3.14) называют неявной.2. Устойчивость двухслойныхразностных схем
Определим норму впространстве /> поправилу
/>.
Рассмотрим явнуюразностную схему (3.13). Выясним, при каких значениях r,/> возможнаустойчивость этой схемы.
Для доказательстваустойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и прилюбых
/>, />
имеет местооценка />,
где М – постоянная, не зависящая от /> и/> и />.
Разностная схема (3.13)– явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.
Перепишем формулу /> ввиде
/>,/>,(3.17)
/>.
Пусть выполнено условие
/> или/>. (3.18)
Тогда из (3.17)получим:
/>,
или
/>. (3.19)
Неравенство (3.19)означает, что при />, /> непревосходит />, то есть/> не возрастает с увеличением n.
Это свойство однороднойразностной схемы принято называть принципоммаксимума. Положим в (3.19) />.Это даст
/>,
/>,
/>.
Заметим, что /> естьчисло, независящее от m иn. Просуммировавпоследние неравенства и, учитывая, что />,получим
/> (3.20)
где обозначено
/>
На основании (3.20)можно записать
/> или/>.
Таким образом,разностная схема (3.13) при выполнении условия (3.18), налагаемого на /> и h,устойчива. Условие (3.18) весьма жестко, ибо из него следует, что
/>. (3.21)
Это приводит к тому,что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3.13)шаг по времени /> приходитсявыбирать очень малым.
Обратимся теперь кразностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,
/>
Рис. 4. Неявныйдвухслойный шаблон
и перепишем ее в виде
/> (3.22)
Посмотрим, какие надопроделать вычисления, чтобы, используя формулы (3.22), можно было вычислить,например, значения /> напервом временном слое со значениями /> нанулевом временном слое. Положив в формулах (3.22) n=,получим:
/> (3.23)
Формулы (3.23)представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительнонеизвестных /> .
Решение таких системявляется сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3.14) неудобныдля задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезокоси x, на котором рассматривается задачаКоши, конечен, то есть />, а на прямых x=aи x=b дополнительнозаданы некоторые ограничения на решение />, то разностныесхемы вида (3.14) оказываются весьма эффективными. Вчастности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, тоесть устойчивыми при любых значениях />.
Если, например, наотрезках прямых x=a и x=b,заданы условия />, />,то вид системы (3.23) существенно изменится:
/>/> (3.24)
Формулы (3.24)представляют собой систему M+1алгебраических уравнений относительно />.Матрица этой системы трехдиагональна иее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализациянеявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычислениярешения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того,что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение />. Если пользоватьсяявной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляетсяпо рекурсионному правилу и связано сминимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения
/>
число временных слоевв случае явных схем может быть существенно большим посравнению с числом временных слоев для неявных схем.
Рассмотрим теперьвопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема аппроксимирует задачу (3.5), (3.6)с погрешностью порядка /> иустойчива при/>.Поэтому схема (3.13), по теореме об аппроксимации иустойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решениябудет величиной порядка />.