Федеральное агентство по образованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственныйгуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускнаяквалификационная работа
Расширение кольца с помощью полутела
Выполнил:
студент V курсаматематического факультета
Лукин МихаилАлександрович
_____________________
Научный руководитель:
д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой алгебры игеометрии
Вечтомов ЕвгенийМихайлович
_____________________
Рецензент:
к. ф.-м. н., доцент, доценткафедры алгебры и геометрии
Чермных ВасилийВладимирович
_____________________
Допущен к защите в государственнойаттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Деканфакультета В. И. Варанкина
/>Киров – 2005
Содержание
Введение… 3
§1. Допустимые кольца ирешетки… 6
§2. Допустимые полутела… 10
§3. О единственности расширения… 12
Заключение… 14
Библиографический список… 15
Введение
Теория полуколец являетсяактивно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения вкомпьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.
Для получения новыхконструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширенияполуколец (или 0-1 расширения).
В работе исследуетсяследующий вопрос.Для каких кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела Uс помощью решетки L?
Полукольцом называется такая алгебраическаяструктура áS; +, ×, 0ñ, что áS; +, 0ñ — коммутативный моноид с нулем 0, áS, ñ — полугруппа и в S выполняются тождества a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc и a0=0a=0. Неодноэлементное полукольцо сделением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если изполутела S исключить 0, то получим структуру áS; +, ñ, которую будем называть полутелом безнуля, или просто полутелом. Полукольцо с квазитождеством a+b=0 Þ a=0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством a+a=aназывается идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством a+b=a+cÞ b=c называется сократимым.
Полукольцо S назовем 0-расширениемполукольца K с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция s, что K@[0]s — изоморфно нулевому ядру — и S/s@T. Аналогично, полукольцо S с единицей 1 называется 1-расширениемполукольца K, возможно без нуля, с помощьюполукольца T, если на S существует конгруэнция r, для которой K@[1]r- изоморфно единичному ядру — и S/r@T. В отличие от колец данныерасширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиозколец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).
Для произвольногополукольца S обозначим через R(S)множество всех аддитивно обратимых элементовв S, а через U(S)– множество всех обратимых элементов в S в случае, когда Sобладает 1. Очевидно, что R(S)является кольцом и строгим идеалом полукольца S (т.е. a+bÎR(S) Þ a, bÎR(S)).
Пусть S/R(S)– фактор-полукольцо полукольца Sпоконгруэнции Берна, соответствующей идеалу R(S):s конгруэнтно t Û s+a=t+b для некоторых a, bÎR(S). Положительное регулярное полукольцо, всеидемпотенты которого центральны, называются arp-полукольцом [2]. При этом положительность полукольца S с 1 означает, что все элементы вида a+1, aÎS, обратимы, а его регулярностьозначает разрешимость в Sкаждогоуравнения axa=a.
Справедливы следующиеутверждения.
1.Любоеполукольцо Sявляется0-расширением кольца, изоморфного R(S), с помощью положительноупорядоченного полукольца [1]
2. Полукольцо Sс 1изоморфно прямому произведению кольца иантикольца тогда и только тогда, когда его идеал R(S) имеет единичный элемент,коммутирующий с каждым элементом из S[1].
3.Полукольцо Sслужит 0-расширением кольца с помощьюполутела тогда и только тогда, когда идеал R(S) полульца Sпростой (т.е. abÎR(S) влечет aÎR(S) или bÎR(S)).
4.Дляполукольца Sс 1фактор-полукольцо S/R(S) является полутелом с нулем тогда итолько, когда R(S) есть максимальный одностороннийидеал в S.
В качестве следствияутверждений 2 и 4 очевидным образом формулируется критерий разложимостиполукольца с 1 в прямое произведение кольца и полутела с нулем. Отметим также,что подпрямые произведения кольца и ограниченной дистрибутивной решеткиабстрактно охарактеризованы в [3].
5. Для существования1-расширения полукольца K, возможно не имеющего нуля, с помощью полукольца Tнеобходимо и достаточно, чтобы Kимело 1, а Tбыло идемпотентным полукольцом с 1.
6.Любое arp-полукольцо Sявляется 1-расширением полутела U(S) с помощью ограниченнойдистрибутивной решетки S/r, где r — конгруэнция на S, такая, что arbозначает aU(S)=bU(S). Для коммутативных полуколец вернои обратное утверждение. См. [2].
7. Всякое полутелоявляется 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела [4].
Полукольцо S с 1 назовем 0-1-расширением полукольцаK и полукольца без нуля L с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция r, что [0]ρ@K, [1]r@Lи S/r@T.
Пусть для кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивнойрешетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела Uс помощью решетки L. Соответствующую тройку R ,P,L> будем называть допустимой.
§1. Допустимые кольца и решётки
Речь в главе пойдёт орешётке и кольце, состоящих в допустимой тройке.
Обозначим через D двухэлементную цепь.
Пусть имеется полукольцо S с конгруэнцией r, для которой [0]r@R, [1]r@P, F/r@D. Такое полукольцо S назовем дизъюнктным объединением кольцаR и полутела P, и обозначим P/>R. Ясно, что "pÎP,"rÎR,p×rÎR,p+rÎP.
С другой стороны, еслилюбой элемент полукольца Sс1 либо обратим, либо имеет противоположный элемент, то Sбудет дизъюнктным объединением кольцаR(S) и полутела U(S).При этом разбиение {R(S), U(S)}индуцирует искомую конгруэнцию r на S.
Предложение. В U/>R справедливы следующие утверждения а) аддитивная группа Rделимая абелева группа. б) результатумножения /> определён единственнымобразом.
Доказательство. а) Пусть />,тогда />, /> ч.т.д.
б) Пустьмультипликативная операция задана. Если />, то />. Умножив равенство на /> справа, получим />, значит />. Рассмотрим результатумножения />, пусть />. Тогда />, поэтому /> есть элемент, складываякоторый /> раз получим />. Из ранее доказанногоследует, что такой элемент единственен, что завершает доказательство. /> есть решение уравнения /> в кольце />.
Теорема 1. Для произвольного кольца Rэквивалентны следующие условия:
1) существует допустимая тройка áR, U, Lñ, где L– любая дистрибутивная решетка с 1¹0;
2) существует полукольцо, являющеесядизъюнктным объединением кольца R и полутела U;
3) R– радикальное по Джекобсону кольцо,аддитивная группа которого есть делимая группа без кручения.
Доказательство.
1Þ2. Для данной тройкирассмотрим подходящие полукольцо S и конгруэнцию r.Поскольку D — подрешетка дистрибутивной решетки L с 0 и 1, в качестве дизъюнктногообъединенияможно взять подполукольцо [1]rÈ[0]r в S.
2Þ1. Любая дистрибутивная решетка L обладает простым идеалом I, более того L\I — дуальный идеал.
Поэтому в качествеполукольца S можно взять множество пар (i,r),iÎI,rÎRÈ(l,p),lÎL/I,pÎP с покоординатным сложением и умножением. Ввиду простотыI операции заданы корректно, аксиомыполукольца выполняются, поскольку они выполняются для левой координаты, какаксиомы решётки и для правой координаты, что следует из существования F, [0]r@R, [1]r@P, F/r@L2. Если в качестве конгруэнции g выбрать отношение равенства первыхкоординат, то [0]g@R,[1]g@P, S/g@L2, что завершает доказательство.
Лемма. Пусть в кольце R "r $r¢ "tÎR,(r+r¢r+r¢)t=0Ù,(r+rr¢+r¢)t=0, тогда "r $r² ,r+r²r+r²=0Ùr+r²r+r²=0.
Доказательство.Пусть выполнено условие леммы, тогда,положим r²=-r-r¢r. Имеем
r+r²r+r² = r+(- r - r¢r)r - r - r¢r = (r+r¢r+r¢)(-r)=0
r+rr²+r² = r+r (- r - r¢r) - r - r¢r = (r+rr¢+r¢)(-r)=0.
Кольцо R называется радикальным поДжекобсону, если оно совпадает со своим радикалом Джекобсона (см.,например, [5]). Это означает, что операция «круговой композиции» r°s = r+s+rsв R является групповой, с нейтральнымэлементом 0. Другими словами, в кольце R для любого элемента rсуществуетединственный элемент s, такой, что r+s+rs=0.
2)Þ3). P содержит Q+, иначе1+1=1, умножив равенство на ненулевой элемент кольца r, имеем r+r=rÛr=0 – противоречие. Таким образом, R – полумодуль над Q+ и, значит, модуль над Q. Поэтому R,+> — делимая абелева группа без кручения (подробносм. также предложение).
Множество T=Q++R является подполутелом в U, поскольку
q1+r1+q2+r2 = (q1+q2)+(r1+r2);
(q1+r1)(q2+r2)= (q1q2+q1r2+r1q2+r1r2) = q1q2+(q1r2+r1q2+r1r2);
t=q+rÞ1=qt -1+rt -1Þt -1=q -1-q -1r t -1ÎQ+ + R.
Следовательно, для любого элемента 1+r,rÎR найдётся, 1+r¢,r¢ÎR что (1+r)(1+r¢) = (1+r¢)(1+r) = 1. Из дистрибутивности следует, что1+r+rr¢+r¢ = 1+r+r¢r+r¢ = 1. Умножая последнее равенство на любое tÎR, имеем (r+r¢r+r¢)t=0Ù(r+rr¢+r¢)t=0, значит, в виду леммы, R радикально по Джекобсону.
3)Þ2). Поскольку R радикально по Джекобсону, алгебра Q+´R с операциями
(q1,r1)+(q2,r2) = (q1+q2)+(r1+r2), (q1,r1)×(q2,r2)= (q1q2,q1r2+r1q2+r1r2)
является полутелом с единичнымэлементом (1,0). А множество S@(Q+È{0})´R с теми жеоперациями совпадает с (Q+´R)/>({0}´R) = (Q+´R)/>R.
Примеры. 1. Любое ниль-кольцо радикально поДжекобсону. В частности таково кольцо с нулевым умножением.
Ещё одним частным случаемявляется нильпотентное кольцо R,порождённое одним элементом e.
Пусть e — образующий. Поскольку в качествеэлементов R выступают p1e + p2e2 + … + pn-1en-1, piÎQ, n — наименьшая нулевая степень e, T />R — в точности совпадает с одним из двух полуколец.
(q+q1e + q2e2 + … + qn-1en-1,p1e + p2e2 + … + pn-1en-1)qÎQ+,qi,piÎQ или
(q+q1e + q2e2 + … + qn-1en-2,p1e + p2e2 + … + pn-1en-1)qÎQ+,qi,piÎQ
c операциями
(q1,r1)+(q2,r2) = (q1+q2)+(r1+r2), (q1,r1)×(q2,r2) = (q1q2,q1r2+r1q2+r1r2).
2. Радикальным по Джекобсонубудет кольцо, совпадающее с подмножеством гипердействительных чисел R@m(0). Это коммутативное кольцо безделителей нуля. "aÎm(0), a+x+ax = 0Ûx = (-a)/(1+a)Îm(0)
Моделью представленногополукольца является прямое произведение двух подмножеств кольца Q[x]: многочленов с неотрицательным свободным членом имногочленов с положительным свободным членом. Множество пар, вида (q+q1e + q2e2 + … + qn-1el,p1e + p2e2 + … + pn-1em)qÎQ+,qi,piÎ
Соответственно частномуфункций задаются все операции в этом множестве (разумеется, берётся не всёмножество пар, а множество классов факторполукольца, где две пары эквивалентнытогда и только тогда, когда равны произведения их противоположных координат).
Этот пример легкообобщается для многочленов от произвольного множества переменных.
§2. Допустимыеполутела
Дальнейший ряд предложенийнаправлен на отыскание всевозможных полутел P, что P/>R.
Замечания. 1. Пусть дано допустимое кольцо R, тогда множество элементов M = {mÎR, "rÎR|r∙m = m∙r =0} образует в нём подкольцо.
2. Множество элементов E = {eÎR,1+e=1}образует в M и в R двусторонний идеал с делимой аддитивной группой.
3.МножествоQ+×(R/I) является полутелом с операциями (q1,r1)+(q2,r2) = (q1+q2)+(r1+r2), (q1,r1)×(q2,r2) = (q1q2,q1r2+r1q2+r1r2), где I — произвольный идеал с делимой аддитивной группойкольца R.
Теорема 2. Пусть áR, U, Dñ — допустимая тройка и Rненулевое. Тогда множествоQ++Rесть подполутело U, изоморфное ((R/I)´Q+),где Iнекоторый идеал аннулятора с делимойаддитивной группой. И существует канонический гомоморфизм aполутела Uв кольцо R-модульных эндоморфизмов EndRR, образ которого содержит Q+. Если правый аннулятор кольца Rнулевой, то полутело Imaсодержит подполутело, изоморфное ((R/I)´Q+).
Доказательство. Пусть T, R — из допустимой тройки. Любой элемент T представим в виде q+r,qÎQ+,rÎR. Два элемента q+r1 и q+r2 равны тогда и только тогда, когда 1+r1-r2=1. С другой стороны, если 1+r = 1, то 1+r1+r=1+r1. Поэтому все элементы вида q+r+e, 1+e=1"e сливаются в классы q×(R/I), где I — множество всех e.
Отображение ju: R®uR,uÎUввиду дистрибутивности и ассоциативности в U/>R является R– модульнымэндоморфизмом. Пусть ju+jv:R®(u+v)Rи ju×jv:R®uvR, тогда отображение a: U®EndRR,сопоставляющее каждому элементу uÎU эндоморфизм ju- канонический гомоморфизм.
Пусть правый аннулятор R нулевой, тогда для двух элементов q1+r1,q2+r2, считая без ограничения общности, q1=q2+q3 (q3может равняться нулю), "r, (q1+r1)r=(q2+r2)rÛ(q3+r1-r2)r=0Þq3=0,r1=r2. Элементы q1+r1 и q2+r2одинаково действуют на R только в случае равенства. Поэтому a— мономорфизм и Imaсодержит подполутело, изоморфное ((R/I)´Q+).
Замечание. Система (Q+×(R/I))È({0}×R)с операциями (q1,r1)+(q2,r2) = (q1+q2)+(r1+r2), (q1,r1)×(q2,r2) = (q1q2,q1r2+r1q2+r1r2) и произвольным идеалом аннулятора сделимой аддитивной группой Iявляется дизъюнктным объединением. Сложение класса (R/I) с элементом кольца определяется как сложение любогоэлемента этого класса с элементом кольца.
§3. Оединственности расширения
При изучении структурыдизъюнктных объединений кольца и полутела возникает вопрос о единственности U/>Rдля данных U и R. Нижеприведём пример существования несовпадающих дизъюнктных объединений призаданных U и R.
Пусть для данных полутелаU и кольца R существует коммутативное U/>R и пусть tÎR не лежит в AnnR, но t×rÎAnnR"rÎR(примером такого дизъюнктногообъединения с элементом tслужит
(q+q1e + q2e2 + … + qn-1en-1,p1e + p2e2 + … + pn-1en-1)qÎQ+,qi,piÎQиз примера 1).
Определим новые операции на UÈR следующим образом: Умножение оставимнеизменным, а сложение элементов rÎRи uÎU сложение зададим законом uÅr=u+r+r×t. Поскольку операции внутри полутелаи кольца при этом не меняются, достаточно проверить выполнение законов:
1. Ассоциативностьсложения:
(u1Åu2)År=u1Å(u2År)Ûu1+u2+r+rt=u1+u2+r+rt
(uÅr1)År2=uÅ(r1År2)Ûu+r1+r1t+r2+r2t=u+r1+r2+(r1+r2)t.
2. Дистрибутивность:
u1(rÅu2)=u1rÅu1u2Ûu1(r+u2+rt)=u1u2+u1r+u1rt
r1(uÅr2)=r1uÅr1r2Ûr1u+r1r2+r1r2t=r1u+r1r2.
Таким образом, UÈRс новыми операциями являетсядизъюнктным объединением. Однако, два имеющихся полукольца изоморфны междусобой, поскольку существует изоморфизм f:u®u"uÎU:
r®(1+t)-1r"rÎR. Причёмft:r®(1+t)-1r"rÎR– автоморфизмR.
Доказательство. Имеем ft– автоморфизм R, поскольку для каждого элемента r имеется свой праобраз (1+t)r. И выполняютсятождества
"r1,r2, ft(r1+r2)=(1+t)-1(r1+r2)= (1+t)-1r1+(1+t)-1r2=ft(r1)+ft(r2)
"r1,r2,(1+t)-1(r1∙r2)=(1+t)-1(1+t)-1(r1∙r2),
поскольку (1+t)r1r2=r1r2. Поэтому в виду коммутативностиполукольца ft(r1∙r2)=ft(r1)ft(r2).
Поскольку при отображении f кольцо и полутело автоморфнопереходят в себя, изоморфизм полуколец вытекает из следующих тождеств:
"uÎU, rÎRf(u+r)=u+r= u+r+(1+t)-1r f(u)Åf(r)
"uÎU, rÎR f(ur)=(1+t)-1ur=u(1+t)-1r=f(u)f(r).
Вопрос о том,единственным ли является дизъюнктное объединение с точностью до изоморфизмаостаётся открытым.
Заключение
В дипломной работепредставлено описание0-1-расширений кольца R и полутела Uс помощью решетки L. Установлены, следующие факты:
существование0-1-расширения не зависит от строения дистрибутивной решётки L (теорема 1);
кольцо R состоит в какой либо допустимойтройке тогда и только тогда, когда оно радикально по Джекобсону (теорема 1);
строение полутела U существенно зависит от строения R (теорема 2).
Не решённым остаётсявопрос о единственности с точностью до изоморфизма U/>R. В работе устанавливается взаимосвязь между значимымиматематическими структурами — кольцами и полутелами. Подобные взаимосвязи могутсуществовать и между другими объектами алгебры, существенным может оказатьсяизучение и обобщение таких взаимосвязей.
Библиографическийсписок
1. Вечтомов Е.М. Две общие структурныетеоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули: сб. статей / Под ред.А.В. Михалева. Вып. 15. –Томск: ТГУ, 2000. – С. 17-23.
2. Вечтомов Е.М., Михалев А.В., ЧермныхВ.В. Абелево-регурярные положительные полукольца // Труды семинара им.И.Г. Петровского. – 2000. – Т 20. – С. 282-309.
3. Golan J.S. The theory ofsemirings with applications in mathematics and theoretical computer science //Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. – 1992. – S. 93-98.
4. Семенов А.Н. О строении полутел //Вестник ВятГГУ. – 2003. – № 8. – С. 105-107.
5. Херстейн И. Некоммутативные кольца. –М.: Мир, 1972. – 200 с.