ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПООБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГОПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ОБНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТАТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ (ИАТЭ)
Факультет естественных наук
Р.Т. ГАЛУСАРЬЯН
Сборник задач и упражнений покурсу «Высшая математика»
(1-й семестр, часть II)
Обнинск 2008
УДК51(076)
ГалусарьянР.Т. Сборник задач и упражнений по курсу «Высшая математика», ч. II./> Обнинск: ИАТЭ, 2008. /> 76с.
Во второй части сборника включены вопросы,связанные с элементами комбинаторики, математической индукции и комплекснымичислами. В сборнике приведены индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по темам:1)Предел функции и непрерывность; 2)Производная. К задачам ИДЗ: Предел функциии непрерывность приведены ответы
Рецензенты:д.ф.-м.н. Е.А.Сатаев,
к.ф.-м. н. А.Г.Слесарев
Темплан2008, поз 17
© Р.Т.Галусарьян,2008г.
© Обнинскийгосударственный технический университет атомной энергетики, 2008 г.
Содержание
Предисловие
Глава 3. Введение в анализ
§3.1 Комбинаторика и бином Ньютона
§3.2 Комплексные числа
Глава 4. Индивидуальные домашние задания
§4.1 ИДЗ «Предел функции и непрерывность»
§4.2 ИДЗ «Производные»
Глава 5. Семинары
§5.1 Применение производной при исследовании функции
§ 5.2 Неопределенный интеграл
Ответы
Литература
Предисловие
Вторая часть сборника задач по курсу«Высшая математика» содержит введение в математический анализ (Глава 3) ииндивидуальные домашние задания по теме: «Предел функции и непрерывность» и потеме: «Производная»
Глава 3 содержит следующие темы:комбинаторика, бином Ньютона, математическая индукция и комплексные числа.Приведены основные формулы и методы решения задач.
Глава 4 содержит индивидуальные домашниезадания по основным темам курса математического анализа, изучаемым в первомсеместре
Глава 5 посвящена семинарским занятиям.Приводится перечень основных вопросов, рассматриваемых на семинаре, задачи,которые необходимо решать на семинаре и задачи для самостоятельной работы.
К задачам главы 3 и к задачам ИДЗ «Пределфункции» приведены ответы. Для наиболее сложных задач приводятся решения.
Глава 3. Введение в анализ
§3.1Комбинаторика и бином Ньютона1. Комбинаторика
1. Число перестановок из n элементов равнопроизведению n последовательных натуральных чисел от 1 до n.
Число перестановок обозначается так:
/> или n! (эн-факториал) и вычисляется по формуле:
n! =/>. (1.1)
2. Число размещений (без повторений) из n элементовпо к
/> равно произведению к последовательных натуральных чисел, наибольшееиз которых равно n:/>
/>, (1.2)
/>или />. (1.3)
3. Число сочетаний из n элементов по к(/> ) определяется по формуле:
/> (1.4)
или /> (1.5)
Из формулы (1.5) следует />.(1.6)
4. Размещения с повторениями
Пусть из множества Х, состоящего из n элементов,надо составить строку из к элементов, причем каждый элемент в строкеможет быть любым элементом из х, т.е. в строке элементы могутповторяться.
Общее число всех таких строк есть число размещений изn по k с повторениями:А( n, k ) = nk. (1.7)
В рассмотренном случае каждый элемент строки можетпринимать n значений. Если в строке /> элемент/> может принимать />/> значений, элемент /> может принимать /> значений, то количествовсех таких строк определяют по формуле:
/>. (1.8)
5. Размещения данного состава
Размещением данного состава /> из элементов
множества /> называетсявсякая строка длиной />, составленная изэлементов множества X так, что элемент /> повторяется/> раз, элемент /> повторяется /> раз, ..., элемент /> повторяется /> раз .
Например, если /> то/> есть
один из вариантов состава />
Число различных размещений состава определяется поформуле:
/>. (1.9)
2. Бином Ньютона
Формула бинома Ньютона позволяет любой двучлен(бином) возвести в натуральную степень. Эта формула имеет вид:
/> (1.10)
или сокращенно />
В разложении бинома n + 1 членов. Так как />, то
коэффициенты членов разложения, одинаково удаленныхот начала и конца, равны между собой. При /> получаемформулу для суммы биномиальных коэффициентов:
/> (1.11)
Обобщением формулы бинома Ньютона является
полиномиальная формула:
/> (1.12)
где /> исуммирование ведется по всем наборам />.
В частности:
/>
/>
Итак, />
/>. (1.13)
3. Формула разложения разности n-ых степеней/>
/> (1.14)
4. Метод математической индукции
Для вывода обобщающих формул, как правило,используют метод математической индукции.
Схема-алгоритм метода математической индукции:
1. Проверить справедливость доказываемой формулы дляначального значения n (это может быть 0, 1, 2,… ) .
2. Предположить, что формула справедлива при />
3. Доказать, что формула справедлива и при />
5. Формула Тейлора
Формула Тейлора позволяет данную функцию y = f(x) представить в виде многочлена со счетным числом слагаемых постепеням x:
/> (1.15)
Формулы Тейлора для некоторых функций.
/>/>
/>/>/>/>/>
/>
/>
Следует помнить, чтоприменять формулы (1.15), (1.16) или 1-6 можно для функции /> только в случае, если /> при/>.
Упражненияк § 3.1
Комбинаторика
3.1 Вычислить:
/>
/>
3.2 Решить уравнения и неравенства:
1)/> 2) />
3) /> 4) />
5) /> 6) />
7) /> 8) />
3.3 Доказать:
1) /> ,
2) />
3) /> 4)/>
3.4 Сколько пятизначных чисел с неповторяющимисяцифрами можно составить из пяти цифр:0,1,2,3,4?
3.5 Сколько различных четырехзначных чисел,делящихся на 4, можно составить из цифр1,2,3,4,5, если цифры в числе:
а) могут повторяться, б) не повторяются?
3.6 В ящике имеется 7 красных и 5 черных шаров.Сколькими способами можно выбрать из ящика 3 красных и 2 черных шара?
3.7 В вазе 10 красных и 6 белых гвоздик. Сколькимиспособами можно составить букет из 4-х гвоздик так, чтобы число красных гвоздикв букете было не меньше белых?
3.8 Из 10 различных цветков составляется букет,содержащий не менее трех цветков. Сколькими способами это можно сделать?
3.9 В 12-ти этажном доме на первом этаже в лифтсадится 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека наразных этажах. Сколькими способами они это могут сделать, если на 2-м этажелифт не останавливается?
Бином Ньютона
3.10 Разложить по формуле бинома Ньютона:
а) /> б) />, в) />, г) />.
3.11 Решить уравнения:
1) />, 2) />,
3) /> , 4) />
Разложение двучлена /> намножители
3.12. 1) Сократить дробь /> ивычислить при х=1,
2) сократить дробь /> и вычислить приa=b.
Метод математической индукции
3.13 Доказать тождества:
/>
/>,
/>,
/>,
/>,
/>
3.14 Доказать неравенства:
1) />
2) />
3) />
4) />
5) />
6) />
3.15 Доказать делимость:
1) />
2) />
3) />
3.16 Известно, что /> целоечисло. Доказать, что
/> также целое число.
3.17 Доказать, что выражение />, где /> простое число, делится на р(малая теорема Ферма).
Формула Тейлора
3.18 Разложить по степеням х по формулеТейлора функции:
1) />/>2) />.
3.19 Вычислить приближенно:
1) /> сточностью 0,0001,
2) /> сточностью 0,001, 3)/>с точностью0,001.
§ 3.2 Комплексные числа
Введемновое недействительное число, квадрат которого равен –1. Это число обозначимсимволом ί и назовем мнимой единицей. Итак,
/> (2.1) />
Тогда />.(2.2)
1.Алгебраическая форма комплексного числа
Если />, то число /> (2.3)
называетсякомплексным числом, заданным в алгебраической форме. Это число имеетдействительную часть/>
имнимую часть /> Так что />;
/> - число, сопряженное />.
Действиясложения, вычитания, умножения и возведения в степень комплексных чисел,заданных в алгебраической форме, выполняются как над многочленами.
Произведениедвух сопряженных чисел есть действительное число
/> (2.4)
Следовательно,сумму квадратов двух действительных чисел можно разложить на комплексныемножители
/> (2.5)
Делениечисел выполняется по формуле
/> (2.6)
Условияравенства двух комплексных чисел
/> (2.7)
2.Геометрическое представление, тригонометрическая и показательная формы комплексногочисла
Прямоугольнуюсистему координат можно использовать для геометрического представлениякомплексного числа.
Каждомукомплексному числу />можно поставить всоответствие точку/> или вектор /> (рис.1)./> />
Рис.1
В этомслучае плоскость х0у называется комплексной плоскостью ( z ), ось 0х называется действительной осью, ось 0уназывается мнимой осью. Расстояние ОА или длина вектора /> называется модулемкомплексного числа /> Угол /> называется аргументомкомплексного числа /> Очевидно,каждому комплексному числу соответствует бесконечное множество аргументов.
Главноезначение аргумента />
Общеезначение аргумента />
Так как/> и />,
то /> (2.9)
Этотригонометрическая форма комплексного числа. Чтобы комплексное число, заданноев алгебраической форме (2.3), представить в тригонометрической форме (2.9),следует найти:
модульпо формуле /> (2.10)
аргумент/> по формулам :
если /> 1-ой четверти, то />;
если /> 2-ой четверти, то />;
если /> 3-ой четверти, то />; (2.11)
если /> 4-ой четверти, то />,
где вспомогательныйострый угол />
определяютпо формуле />
Если /> то/>.
Если /> то/>. ( 2.12)
Если /> то />.
Если /> то />.
Спомощью формулы Эйлера />, (2.13)
можнокомплексное число представить в показательной форме
/> (2.14)
Еслив формуле (2.13) заменить /> на -/>, то получим
/> (2.13')
Из(2.13) и (2.13') следуют следующие формулы Эйлера:
/>/>/> (2.15)
3.Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах
Умножение. Модуль произведенияравен произведению модулей, аргумент произведения равен сумме аргументов:
/> (2.16)
Деление. Модуль частного равен частному модулей, аргументчастного равен разности аргументов:
/> (2.17)
Возведениев целую степень п. Модульвозводится в степень п, аргумент умножается на п.
/> (2.18)
Извлечениекорня степени п. Извлекаетсяарифметический корень из модуля, общее значение аргумента делится на п. Кореньимеет ровно п различных значений, если />
/>(2.19) />
Формулы(2.18) и (2.19) называются формулами Муавра.
Упражнения к § 3.2
3.20 Выполнитьдействия
/>
/>
/>
/> ; 5) />; 6) />; 7) />;
/> 9) />.
3.21 Представитьв виде суммы более простых дробей:
1) />; 2) />; 3) />.
3.22 Решитьуравнения:
1) />, 2) />, 3) />, 4) />, 5) />, 6) />, 7) />, 8) />, 9) />, 10) />, 11) />.
3.23 Построить на комплексной плоскости ипредставить в тригонометрической форме числа:
1) /> , 2) />, 3) />, 4) />,
5) />, 6) />, 7) />, 8) />,
9) 5, 10)i.
3.24 Представить в показательной форме числа(указать главное значение аргумента):
/> 2) />;
3) /> 4)/>;
5) /> 6)/>
7) /> 8)/> 9)/>
10) />
11) /> 12)/>
13) /> 14)/>
3.25Выполнить действия: 1) /> 2) />,
3) />, 4) />, 5) />,
6) />, 7) />, 8) />
9) />, 10) />,
11) /> , 12) />, 13) />,
14) />, 15) /> 16) /> 17)/>.
3.26Найти все значения корней:
/>
/>
3.27.Решить уравнения:
/>
/>
3.28Выразить через степени/>и/>следующие функции:
/>
3.29Доказать:
1) />
2) />
3) />
/>
/> если />.
Указание.Воспользуйтесь формулами Эйлера
/>
а такжеформулой суммы членов геометрической прогрессии.
Глава 4 Индивидуальные домашние задания
§4.1 Индивидуальное домашнее задание(ИДЗ) по теме: “Предел функции и непрерывность”
Задача1. Найти пределы:
Задача2. Найти пределы.
2.1. />
2.2. />
2.3. />
2.4. />
2.5. />
2.6. />
2.7. />
2.8. />
2.9. />
2.10. />
2.11. />
2.13. />
2.14. />
2.15. />
2.16. />
2.17. />
2.18. />
2.19. />
2.20. />
2.21. />
2.22. />
2.23. />
2.25. />
2.26. />
2.27. />
2.28. />
2.29. />
2.30. /> /> /> /> /> />
Задача3. Доказать непрерывность функции f(x) в точке x0.
3.1. f(x)=6-x2, x0=2
3.2. f(x)=3x2-2, x0=-2
3.3. f(x)=-2x2-3, x0=3
3.4. f(x)=2x2+5, x0=-3
3.5. f(x)=5x2-1, x0=4
3.6. f(x)=2-3x2, x0=4
3.7. f(x)=4x2-3, x0=-1
3.8. f(x)=4x2+5, x0=2
3.9. f(x)=x2+7, x0=-3
3.10. f(x)=7-2x2, x0=3
3.11. f(x)=-2x2-7, x0=2
3.12. f(x)=3x2+2, x0=4
3.13. f (x)=5x2+3, x0=-2
3.14. f(x)=4x2-1, x0=-3
3.15. f(x)=7x2-1, x0=4
3.16. f(x)=-8x2-1, x0=1
3.17. f(x)=2x2+11, x0=5
3.18. f(x)=10x2-3, x0=5
3.19. f(x)=13-2x2, x0=3
3.20. f(x)=3-10x2, x0=4
3.21. f(x)=4x2-11, x0=-2
3.22. f(x)=1-5x2, x0=2
3.23. f(x)=3-4x2, x0=1
3.24. f(x)=-7-x2, x0=1
3.25. f(x)=x2-6, x0=3
3.26. f(x)=9-5x2, x0=-2
3.27. f(x)=7-5x2, x0=-2
3.28. f(x)=-2x2-1, x0=3
3.29. f(x)=11-3x2, x0=2
3.30. f(x)=4x2-15, x0=-1
Задача4. Найти пределы разложением на множители и по правилу Лопиталя.
4.1. />
4.2. />
4.3. />
4.4. />
4.5. />
4.6. />
4.7. />
4.8. />
4.9. />
4.10. />
4.11. />
4.12. />
4.13. />
4.14. />
4.15. />
4.16. />
4.17. />
4.18. />
4.19. />
4.20. />
4.21. />
4.22. />
4.23. />
4.24. />
4.25. />
4.26. />
4.27. />
4.28. />
4.29. />
4.30. />
Задача5. Найти пределы, используя метод освобождения от иррациональности.
5.1. />
5.2. />
5.3. />
5.4. />
5.5. />
5.6. />
5.7. />
5.8. />
5.9. />
5.10. />
5.11. />
5.12. />
5.13. />
5.14. />
5.15. />
5.16. />
5.17. />
5.18. />
5.19. />
5.20. />
5.21. />
5.22. />
5.23. />
5.24. />
5.25. />
5.26. />
5.27. />
5.28. />
5.29. />
5.30. /> /> /> />
Задача6. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно-малые.
6.1. />
6.2. />
6.3. />
6.4. />
6.5. />
6.6. />
6.7. />
6.8. />
6.9. />
6.10. />
6.11. />
6.12. />
6.13. />
6.14. />
6.15. />
6.16. />
6.17. />
6.18. />
6.19. />
6.20. />
6.21. />
6.22. />
6.23. />
6.24. />
6.25. />
6.26. />
6.27. />
6.28. />
6.29. />
6.30. />
Задача7. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые.
7.1. />
7.2. />
7.3. />
7.4. />
7.5. />
7.6. />
7.7. />
7.8. />
7.9. />
7.10. />
7.11./>
7.12. />
7.13. />
7.14. />
7.15. />
7.16. />
7.17. />
7.18. />
7.19. />
7.20. />
7.21. />
7.22. />
7.23. />
7.24. />
7.25. />
7.26. />
7.27. />
7.28. />
7.29. />
7.30. />
Задача8. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые.
8.1. />
8.2. />
8.3. />
8.4. />
8.5. />
8.6. />
8.7. />
8.8. />
8.9. />
8.10. />
8.11. />
8.12. />
8.13. />
8.14. />
8.15. />
8.16. />
8.17. />
8.18. />
8.19. />
8.20. />
8.21. />
8.22. />
8.23. />
8.24. />
8.25. />
8.26. />
8.27. />
8.28. />
8.29. />
8.30. />
Задача9. Используя формулы второго замечательного предела и его следствий, найтипределы функций.
9.1. />
9.2. />
9.3. />
9.4. />
9.5. />
9.6. />
9.7. />
9.8. />
9.9. />
9.10. />
9.11 />
9.12. />
9.13. />
9.14. />
9.15. />
9.16. />
9.17. />
9.18. />
9.19. />
9.20. />
9.21. />
9.22. />
9.23. />
9.24. />
9.25. /> (a, b>0)
9.26. />
9.27. />
9.28. />
9.29. />
9.30. />
Задача10. Используя правило Лопиталя и эквивалентность, найти следующие пределы.
10.1. a) />
б) />
10.2. а) />
б) />
10.3. а) />
б) />
10.4. а) />
б) />
10.5. а) />
б) />
10.6. а) />
б) />
10.7. а) />
б) />
10.8. а) />
б) />
10.9. а) />
б) />
10.10. а) />
б) />
10.11. а) />
б) />
10.12. а) />
б) />
10.13. />
б) />
10.14. />
б) />
10.15. а) />
б) />
10.16. а) />
б) />
10.17. а) />
б) />
10.18. а) />
б) />
10.19. а) />
б) />
10.20. а) />
б) />
10.21. а) />
б) />
10.22. а) />
б) />
10.23. а) />
б) />
10.24. а) />
б) />
10.25. а) />
б) />
10.26. а) />
б) />
10.27. а) />
б) />
10.28. а) />
б) />
10.29. />
б) />
10.30. />
б) />
Задача11. Применяя формулу Тейлора, вычислить пределы.
11.1 />
11.2. />
11.3. />
11.4. />
11.5. />
11.6. />
11.7. />
11.8. />
11.9. />
11.10. />
11.11. />
11.12. />
11.13. />
11.14. />
11.15. />
11.16. />
11.17. />
11.18. />
11.19. />
11.20 />
11.21. />
11.22. />
11.23. />
11.24. />
11.25. />
11.26. />
11.27.
/>
11.28. />
11.29. />
11.30. /> /> /> />
Задача12. Найти точки разрыва, уравнения асимптот и построить схематично графикфункции.
12.1. а) />
б) />
12.2. а) />
б) />
12.3. а) />
б) />
12.4. а) />
б) />
12.5. а) />
б) />
12.6. а) />
б) />
12.7. а) />
б) />
12.8. а) />
б) />
12.9. а) />
б) />
12.10. а) />
б) />
12.11. а) />
б) />
12.12. а) />
б) />
12.13. а) />
б) />
12.14. а) />
б) />
12.15. а) />
б) />
12.16. а) />
б) />
12.17. а) />
б) />
12.18. а) />
б) />
12.19. а) />
б) />
12.20.а) />
б) />
12.21. а) />
б) />
12.22. а) />
б) />
12.23. а) />
б) />
12.24. а) />
б) />
12.25. а) />
б) />
12.26. а) />
б) />
12.27. а) />
б) />
12.28. а) />
б) />
12.29. а) />
б) />
12.30. а) />
б) /> /> /> /> />
§ 4.2 Индивидуальное домашнее заданиепо теме: «Производная и ее применение»
Задача1. Найти первую производную функции:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Задача2. Найти первую производную функции:
2.1. /> 2.2. />
2.3. /> 2.4. />
2.5. /> 2.6. />
2.7. /> 2.8 />
2.9. /> 2.10. />
2.11. /> 2.12. />
2.13. /> 2.14. />
2.15. /> 2.16. />
2.17. /> 2.18. />
2.19. />
2.20. />
2.21. />
2.22. />
2.23. />
2.24. />
2.25. />
2.26. />
2.27. />
2.28. />
2.29. />
2.30. />
Задача3. Найти первую производную функции:
3.1. /> 3.2./>
3.3. /> 3.4./>
3.5. /> 3.6./>
3.7. /> 3.8./>
3.9. /> 3.10./> 3.11./> 3.12./>
3.13. /> 3.14./>
3.15. /> 3.16./>
3.17. /> 3.18./>
3.19. /> 3.20./>
3.21. /> 3.22./>
3.23. /> 3.24./>
3.25. /> 3.26./>
3.27. /> 3.28./>
3.29. /> 3.30./>
Задача4. Найти первую производную функции:
4.1. /> 4.2./>
4.3. /> 4.4./>
4.5. /> 4.6./>
4.7. /> 4.8./>
4.9. /> 4.10./>
4.11. /> 4.12./>
4.13. /> 4.14./>
4.15. /> 4.16./>
4.17. /> 4.18./>
4.19. /> 4.20./>
4.21. /> 4.22./>
4.23. /> 4.24./>
4.25. /> 4.26./>
4.27. /> 4.28./>
4.29. /> 4.30./>
Задача5. Найти первую производную функции:
5.1. /> 5.2./>
5.3 /> 5.4./>
5.5. /> 5.6./>
5.7. /> 5.8./>
5.9. /> 5.10./>
5.11./> 5.12./>
5.13./> 5.14./>
5.15. /> 5.16./>
5.17. /> 5.18./>
5.19. /> 5.20./>
5.21. /> 5.22./>
5.23 /> 5.24./>
5.25. /> 5.26./>
5.27. /> 5.28./>
5.29. /> 5.30./>
Задача6. Найти первую производную функции:
6.1. /> 6.2./>
6.3. /> 6.4./>
6.5. /> 6.6./>
6.7. /> 6.8./>
6.9. /> 6.10./>
6.11. /> 6.12./>
6.13. /> 6.14./>
6.15. /> 6.16./>
6.17. /> 6.18./>
6.19. /> 6.20./>
6.21. /> 6.22./>
6.23. /> 6.24./>
6.25. /> 6.26./>
6.27. /> 6.28./>
6.29. /> 6.30./>
Задача7. Найти п-ую производную функции:
7.1. />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
7.11. />
7.12. />
7.13. />
7.14. />
/>
7.16. />
7.17. />
/>
7.19. />
7.20. />
/>
7.22. />
/>
7.24. />
7.25. />
7.26. />
/>
7.28. />
7.29. />
7.30. />
Задача 8. С помощью формулыЛейбница найти указанную производную данной функции:
/> />
/> />
/> />
8.4. /> />
8.5. /> />
8.6. /> />
8.7. /> />
8.8. /> />
8.9. /> />
8.10. /> />
8.11. />
8.12. /> />
8.13. /> />
8.14. /> />
8.15. /> />
8.16. /> />
8.17. /> />
8.18. /> />
8.19. /> />
8.20. /> />
8.21. /> />
8.22. />/>
8.23. /> />
8.24. /> />
8.25. /> />
8.26. /> />
8.27. /> />
8.28. /> />
8.29. /> />
8.30. />/>
Задача9. Найти первую и вторую производные от функции у(х), заданнойнеявно:
9.1. /> 9.2./>
9.3. /> 9.4./>
9.5. /> 9.6./>
9.7. /> 9.8./>
9.9. /> 9.10./>
9.11. /> 9.12./>
9.13. /> 9.14./>
9.15. /> 9.16./>
9.17. /> 9.18./>
9.19. /> 9.20./>
9.21. /> 9.22./>
9.23. /> 9.24./>
9.25. /> 9.26./>
9.27. /> 9.28./>
9.29. /> 9.30./>
Задача10. Найти первую и вторую производные от функции у(х), заданнойпараметрически:
10.1. /> 10.2./>
10.3. /> 10.4./>
10.5. /> 10.6./>
10.7. /> 10.8./>
10.9. /> 10.10./>
10.11. /> 10.12./>
10.13. /> 10.14./>
10.15. /> 10.16./>
10.17. /> 10.18./>
10.19. /> 10.20./>
10.21. /> 10.22./>
10.23. /> 10.24./>
10.25. /> 10.26./>
10.27. /> 10.28./>
10.29. /> 10.30./>
Задача11. Используя геометрический смысл производной, решить следующую задачу:
11.1Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любойточке кривой у=4х – х2, равна квадрату абсциссы точкикасания.
11.2Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной влюбой точке кривой у=1 – х2/4, равна расстоянию от точкикасания до начала координат.
11.3Через произвольную точку кривой ху = 4 проведена касательная. Доказать,что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам вточке касания.
11.4Через произвольную точку кривой ху = х+2 проведена касательная.Доказать, что касательная пересекает прямую у = 1 в точке с абсциссой,равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.5Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой у =2/(1 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 1.
11.6Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любойточке кривой у=3хlnx+5x, равна утроенной абсциссеточки касания.
11.7Через произвольную точку кривой у = а х3 проведенакасательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осьюабсцисс равна 2/3 абсциссы точки касания.
11.8Через произвольную точку кривой у=х2 + 2/х проведенакасательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат,касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна3.
11.9Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любойточке кривой у=5х –2 х2, равна удвоенному квадрату абсциссыточки касания.
11.10Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной влюбой точке кривой у= х2/2 – 1/2, равна расстоянию от точкикасания до начала координат.
11.11Через произвольную точку кривой ху = /> 2проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный междуосями координат, делится пополам в точке касания.
11.12Через произвольную точку кривой ху=2х+3 проведена касательная. Доказать,что касательная пересекает прямую у = 2 в точке с абсциссой, равнойудвоенной абсциссе точки касания.
11.13Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой />, ординатой точкикасания и осью абсцисс равна 2.
11.14Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любойточке кривой />, равна удвоеннойабсциссе точки касания.
11.15Через произвольную точку кривой у = 3х4 проведенакасательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осьюабсцисс равна 3/4 абсциссы точки касания.
11.16Через произвольную точку кривой у = х2 + 18/х проведенакасательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат,касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна27.
11.17Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любойточке кривой у= –3х2–1, равна утроенному квадратуабсциссы точки касания.
11.18Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной влюбой точке кривой у=1/8 – 2х2, равна расстоянию от точкикасания до начала координат.
11.19Через произвольную точку кривой ху = 8 проведена касательная. Доказать,что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам вточке касания.
11.20Через произвольную точку кривой /> проведенакасательная. Доказать, что касательная пересекает прямую /> в точке с абсциссой,равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.21Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой у =8/(2 – х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 4.
11.22Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любойточке кривой у=хlnx+9x, равна абсциссе точки касания.
11.23Через произвольную точку кривой /> проведенакасательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осьюабсцисс равна 4/5 абсциссы точки касания.
11.24Через произвольную точку кривой у=3х2 + 8/х проведенакасательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат,касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна12.
11.25Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любойточке кривой у = 3х – х2/2 равна половине квадратаабсциссы точки касания.
11.26Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной влюбой точке кривой />, равнарасстоянию от точки касания до начала координат.
11.27Через произвольную точку кривой ху = 12 проведена касательная. Доказать,что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам вточке касания.
11.28Через произвольную точку кривой ху+4х=2 проведена касательная. Доказать,что касательная пересекает прямую /> в точкес абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.29Доказать, что площадь треугольника, образованного между касательной к кривой у= 10/(4– х),ординатой точки касания и осью абсциссравна 5.
11.30Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любойточке кривой у=0,5хlnx+2x, равна половине абсциссеточки касания.
Задача12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке:
12.1. /> 12.2. />
12.3. />
12.4. />
12.5. />
12.6. />
12.7. />
12.8. />
12.9. />
12.10. />
12.11. />
12.12. />
12.13. />
12.14. />
12.15. />
12.16/>/> 12.17. />
12.18. />
12.19. />
12.20./>
12.21./>
12.22. />
12.23. />
12.24. />
12.25. />
12.26. />
12.27. />
12.28. />
12.29. />
12.30. />
Задача13. Исследовать функцию и построить график:
13.1. а)/> , б) />
13.2. а)/> , б) />
13.3. а)/> , б) />
13.4. а)/> , б) />
13.5. а)/> , б) />
13.6. а)/> , б) />
13.7. а)/> , б) />
13.8 а)/> , б) />
13.9. а)/> , б) />
13.10. а)/> , б) />
13.11. а)/> , б) />
13.12. а)/> , б) />
13.13. а)/> , б) />
13.14. а)/> , б) />
13.15. а)/> , б) />
13.16. а)/>, б) />
13.17. а)/> , б) />
13.18. а)/>, б) />
13.19. а)/>, б) />
13.20. а)/> , б) />
13.21. а)/>, б) />
13.22. а)/> , б) />
13.23. а)/>, б) />
13.24. а)/>, б) />
13.25. а)/>, б) />
13.26. а)/> , б) />
13.27. а)/>, б) />
13.28. а)/> , б) />
13.29. а)/>, б) />
13.30. а)/>, б) />
Глава 5. Семинарские занятия
§ 5.1Cеминар: Применение производной при исследованиифункции
Основныевопросы
1.Признаки монотонности функции.
2.Необходимоеусловие существования экстремума.
3.Критические точки на экстремум.
4.Достаточные условия существования экстремума.
5.Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
6.Выпуклость и вогнутость графика функции.
7.Точки, критические на перегиб.
8.Необходимое и достаточное условия существования перегиба.
9.Асимптоты графика функции.
Задания для семинара
№1Доказать монотонность функции на всей числовой оси:
а) />, б)/>,
в) />, г)/>.
№2 Прикаких а функции монотонны всюду:
а)/>, б)/>.
№3 Найтиинтервалы монотонности и экстремумы функций:
а) />, б)/>,
в) />, г)/>.
№4 Спомощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследоватьповедение функции в указанной точке хо:
а) />,
б) />,
в) />,
г) />.
№5 Найтиэкстремумы, точки перегиба. Построить график.
а) /> , б)/>.
№6 Определитьвыпуклость или вогнутость графика функции в окрестности указанных точек:
а) />,
б) />.
№7Найти асимптоты и построить график:а) />,
б) />.
№8 Найтинаибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:
а) />, б)/>.
Заданиядля самостоятельной работы
№9Доказать монотонность функции на всей числовой оси:
а) />, б)/>, в) />.
№10 Прикаких а функции монотонны всюду:
а)/>, б)/>.
№11 Найтиинтервалы монотонности и экстремумы функций:
а) />, б)/>,
в) />.
№12 Спомощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследоватьповедение функции в указанной точке хо:
а) />,
б) />,
в) />,
г) />.
№ 13 Найтиэкстремумы, точки перегиба. Построить график.
а) /> , б)/> .
№ 14 Определитьвыпуклость или вогнутость графика функции в окрестности указанных точек:
а) />,
б) />.
№ 15Найти асимптоты и построить график:
а) />, б)/>.
№16 Найтинаибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:
а)/>, б)/> .
Ответы
2. а)/>; б) при />, при /> .
3. а)при/>, при />,
/>;
б) />;
в) />
/>;
г) />) />
4. а)/>, б) />, в) нетэкстремума, г) хо не является критической точкой.
5. а)/>,
/>; б) />, />,/>.
6. а)/> — выпуклый график, />-вогнутый;б) /> — выпуклый график, />-вогнутый.
7. а)/> - вертикальные асимптоты,/>наклонная асимптота, /> />; б) />горизонтальная асимптота, в)/> />.
8. а)/>; б) />.
10. a) />, в) />.
11. а)/>, /> /> б) /> />, в) />.
12. а)/>, б) />, в) нетэкстремума, г) хо не является критической точкой.
13. а)нет точек экстремума, />
б) />
14. а)/> — выпуклый график, />-вогнутый;б) /> — вогнутый график, /> — выпуклый.
15. а)/>горизонтальные асимптоты, /> />;
б) />.
16. а)/>, б) />
§ 5.2 Семинар: Неопределенный интеграл
Вопросык семинару:
1.Первообразная и неопределенный интеграл.
2.Таблицаинтегралов. Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы интегралов.
3.Нахождение интегралов методом компенсирующего множителя или введением под знакдифференциала.
4.Нахождение интегралов с помощью замены.
5.Метод интегрирования по частям.
Таблица простых интегралов
( х– независимая переменная) />
/>/>
/>/> />
/> />
/> />
/> />
/> />
/> />
Таблица интегралов сложных функций />
/>/>
/>/>/>/>/>/>
/>
Формулаинтегрирования по частям />
Таблицавыбора функции U(x)1
/> 2
/> 3
/>
Правила применения таблицы:
1.Если подынтегральное выражение является произведением функций из разныхстрок таблицы, то за U принимается функция, стоящая в таблице выше.Оставшееся выражение принимается за dV. При этом, выбирая U, следует всегда заботиться о том, чтобы dV было легкоинтегрируемым.
2. Если же подынтегральное выражение будетпроизведением функций из одной строки, то за U можно принять любуюиз этих функций. При этом интегрирование по частям, как правило, применяютдважды и получают равенство — уравнение, в котором неизвестным является искомыйинтеграл.
Задания для семинара
№1Вычислить с помощью таблицы интегралов
а)/>, б)/> ,
в)/>,г)/>.
№2Найти интегралы методом компенсирующего множителя или введением под знакдифференциала
а)/>, б)/>, в)/>, г)/>,
д) />,
е) />,
ж) />,
з) />,
и) />.
№3(Устно) Найти интегралы
а)/>, б)/>, в)/>, г)/>,
д) />,
е) />,
ж) />, з)/>.
№4 Найтиинтегралы с помощью замены переменной:
а)/>, б)/>, в)/>, г)/>.
№5 Найтиинтегралы методом интегрирования по частям:
а) />, б)/>,в) />, г) />.д)/> е)/>, ж)/>
Задания для самостоятельной работы
№6 Вычислитьс помощью таблицы интегралов
а) />,
б) />,
в) /> , г)/> .
№7Найти интегралы методом компенсирующего множителя или введением под знакдифференциала
а) /> б)/>, в) />,
г)/>, д)/>, е)/>, ж)/>,
з)/>, и) />, к) />.
№8Найти интегралы методом интегрирования по частям:
а) /> , б) />, в)/>, г)/>,
д)/>е)/>.b) />Ответык гл. 3
3.1 1)24, 2) п(п+1)(п+2), 3) />, 4) />, 5)336, 6) 120, 7) 4950, 8)/>.
3.2 1)6;11, 2) 5, 3) 7, 4) 5, 5) 4, 6) 13, 7) 2;3;4;5;6;7;8;9, 8) 5;6;7;8;9;10.
3.3 3)Доказательство. />
/> .
4) Доказательство. Используем равенство, доказанноев предыдущем номере. Имеем:
/>
3.4 96.3.5 А)125, б) 24. 3.6 350. 3.7 1605. 3.8 968.3.9 720. 3.10. а) />
б) /> в) />
/> г) />
/>. 3.11. 1) +3; -3, 2) +2; -2, 3)-2; 0, 4) 0; 2.
3.12 1)/> 3.14. 2) Доказательство. Для п=1 неравенствоверно />, т.к. />. Пусть неравенство вернодля всех номеров п от 1 до к. Докажем, что оно верно и для п =к +1. Имеем: />
/>3.14. 5) Т.к. />, /> и 48>36, тонеравенство верно для п =2. Пусть оно верно для всех />. Докажем, что оно верно идля п = к + 1. Имеем:
/>
/>
/>, что и требовалось.
3.16 Т.к./>, то /> целое и, следовательно,для п = 2 предложение выполняется. Пусть оно выполняется для всех />. Докажем, что оновыполняется и для п = к + 1. Имеем:
/>, что и требовалось.
3.18 1) />
/> 2)/>
/>.
3.19 1) 0,2594, 2) 2,2359, 3) 2,547.
3.20 1)—132—42i, 2) 23—5i, 3) 18+i, 4)/> 5) 2i—3,/>
3.21 />/>
3.22 />
7) –i;--2—i, 8)-1-i;-3-i, 9) 3-3i ;3i-1, 10)3+i;1-2i, 11)-i;1 +2i.
3.23. />/>
/>/>, /> /> />
3.24 />
/>
/>
/>
3.25 />
/>
/>/>
3.26. />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
3.27. />
/>
/>/>
3.28./>
/>
/>.Ответык ИДЗ: Пределы и непрерывность
Вариант1. 1. 0. 2. -3. 4. -2. 5. 0. 6. 4. 7. />. 8. 7. 9. />. 10 а. 4. 10б. 1. 11.-1/6. Вариант 2. 1. />. 2. -1/2. 4.5/4. 5. 0. 6. />. 7. />. 8. />. 9. />. 10 а. 0. 10б. 1. 11.-1/6
Вариант3. 1. 0. 2. -3. 4. -2. 5. 0. 6. 4. 7. />. 8. 7. 9. />. 10 а. 4. 10б. 1. 11.–1/6. Вариант 4. 1. -3/2. 2. 0. 4. 3. 5. -2/3. 6. -16. 7. /> . 8. />. 9. e-1/2.10 а. 1. 10б. />. 11. 4.
Вариант5. 1. />. 2. 1/2. 4. 3/2. 5. />. 6. 1/4. 7. -1/8. 8.-1/2. 9. 1/e. 10 а. 0. 10б. 1. 11. -3/128.
Вариант6. 1. 5/2. 2. 3. 4. -1. 5. 0,6. 6. -1. 7. 1/4. 8. 2(1-ln3)/9. 9. />. 10 а. />. 10б.1. 11. -13/40.
Вариант7. 1. />. 2. -1/5. 4. 2. 5. 0. 6.-2e. 7. -2ln2 8. (-5/2)ln2.9. /> . 10 а. -1/2. 10б. 1. 11.-1/72.
Вариант8. 1. 0. 2. 2/3. 4. 3. 5. 0. 6. -1/6. 7. />. 8. 5ln3-7ln2.9. 2e. 10 а. 2/3. 10б. 1. 11. -3/4.
Вариант9. 1. 0. 2. 4/3. 4. 0. 5. 2,4. 6. />. 7. -2/3π. 8. 2. 9. 3/7. 10 а. -1/2. 10б. 1. 11. -3/4.
Вариант10. 1. />. 2. -1. 4. 0. 5. 0. 6.-2/3. 7. 0. 8. />. 9. 1. 10 а. />. 10б. e3. 11. -4.
Вариант11. 1. 1/2. 2. 1/2. 4.-3. 5. 4. 6. -1/2e. 7. 8. 8. ln700.9. />. 10 а. 1/64. 10б. />.11. -1.
Вариант12. 1. />. 2. 11/18. 4. 0. 5. 1,5,6. 2/5. 7. π/8. 8. 3.
9. />. 10 а. 0. 10б. 1. 11. 11/18.
Вариант13. 1. 3. 2. 1. 4. -1/3. 5. />. 6.-10. 7. />. 8. 4. 9. />. 10 а. 0. 10б. 0. 11. -13.
Вариант14. 1. 0. 2. 1/8. 4. 3. 5. />. 6. 1/π. 7. />.
8. ln25/8.9. /> . 10 а. 1. 10б. 1. 11. -1/3.
Вариант15. 1. 4. 2. 1/6. 4. -2/3. 5. -4/3. 6. 3/8. 7. />.
8. 7ln2-5ln3.9. 1/e. 10 а. 1. 10б. 1. 11. -0,3.
Вариант16. 1. 1. 2. 1/6. 4. />. 5. 1/4. 6. />. 7. -8. 8. 3-ln2. 9. 1/5.10 а. 1/6. 10б. 1. 11. -11/24.
Вариант17. 1. 2. 2. 1/15. 4. -1. 5. -1/2. 6. />. 7. -2. 8. -9. 9. />. 10 а. -1/3. 10б. 1. 11. -1.
Вариант18. 1. 1. 2. 1/5. 4. -2/5. 5. -1/2. 6. />. 7. />. 8. 5ln4-2ln9. 9. />. 10 а. />. 10б. 1. 11. -3.
Вариант19. 1. -2. 2. -3. 4. 1/3. 5. 4/3. 6. -1/4. 7. />. 8. ln12+3ln5. 9. 9. 10 а. 2. 10б. 1. 11. 1/12
Вариант20. 1. 1. 2. -1. 4. 3. 5. />. 6. />. 7. 0. 8. />. 9. />. 10 а. 1. 10б. />. 11. 1/16
Вариант21. 1. 1. 2. 3/2. 4. 1/3. 5. 5/2. 6. -2/3. 7. 1/2. 8. 6. 9. />. 10 а. -2. 10б. 1. 11.-1.
Вариант22. 1. 1. 2. 5/2. 4. 2. 5. 1. 6. 7/2. 7. />. 8. 5. 9. e21/2. 10 а. 0. 10б. 0. 11. -8/3
Вариант23. 1. -2. 2. -7/2. 4. 2. 5. 1/3. 6. 1/12. 7. />. 8. /> . 9. />. 10 а. -2. 10б. е. 11. -8/16
Вариант24. 1. 2. 2. 5/4. 4. -9. 5. -1/3. 6. -3. 7. 2ln23. 8. 2ln42. 9. e-4/9. 10 а. 1. 10б. />. 11. -1/4.
Вариант25. 1. 2. 2. />. 4. -7/8. 5. 2/27. 6.-5/3. 7. />. 8. -1. 9. />. 10 а. 0. 10б. 1. 11. -5
Вариант26. 1. -1. 2. 2/3. 4. -5/8. 5. -11/4. 6. 1/8. 7. />. 8. 2. 9. e-3.10 а. -1/2. 10б. 1. 11. 2.
Вариант27. 1. -1. 2. 5/4. 4. 10/3. 5. 9/2. 6. 50. 7. />. 8. />. 9. e1/3.10 а. -1/3. 10б. 1. 11. 2.
Вариант28. 1. -3/2. 2. 3. 4. 3/2. 5. -1/8. 6. -1. 7. />.8. /> . 9. e2. 10 а. 5/8. 10б. 1. 11. -2
Вариант29. 1. 2. 2. 1/12. 4. 3/2. 5. 2/3. 6. 3/2. 7. />. 8. -5/4. 9. />. 10 а. />. 10б. />. 11. -27/4.
Вариант30. 1. />. 2. />. 4. 0. 5. /> . 6. 6. 7. />. 8. 2ln7-3. 9. />. 10 а. />. 10б. 1. 11. />.
Литература
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа./>М.: Наука, 1997.
2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическомуанализу. /> М.: Наука, 1997.
3… Виноградова И.А, Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражненияпо математическому анализу./>М.:Наука, 1986.
4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. /> М.: Высшая школа, 1990.
5. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике, ч. 1, Под ред.А.П. Рябушко./> Минск: Высшая школа, 1990.
6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. /> М.: Высшая школа, 1990.
7. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Хейман В.Б. Сборник задач по линейнойалгебре и аналитической геометрии./>Минск:Высшая школа, 1990.
8. Галусарьян Р.Т. Введение в математический анализ./> Обнинск: ИАТЭ, 2002.
9. Галусарьян Р.Т. Методические рекомендации и варианты контрольныхработ по математическому анализу./> Обнинск:ИАТЭ, 1998.
РедакторО.Ю. Волошенко
Компьютернаяверстка Р.Т.Галусарьян
ЛР №020713 от 27.04.98
Подписанок печати Формат бумаги 60х84/16
Печатьризограф, Бумага KYMLUX Печ.л 5
Заказ NТираж 50 экз. Цена договорная
Отделмножительной техники ИАТЭ, 249040, г. Обнинск, Студгородок,1