Содержание.
TOC o «1-1» h z u ВВЕДЕНИЕ.PAGEREF _Toc107374907 h 2
ГЛАВА I.АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ И ПОЛУЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
I.1.ОБОБЩЕННОЕ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ И ПОЛУЕВКЛИДОВЫПРОСТРАНСТВА.PAGEREF _Toc107374908 h 3
I.2.ПСЕВДОЕВКЛИДОВАПЛОСКОСТЬ (ПЛОСКОСТЬ МИНКОВСКОГО)PAGEREF _Toc107374909 h 5
I.3.Движение плоскости МИНКОВСКОГО.PAGEREF _Toc107374910 h 7
I.4.Угол между векторами и прямыми.PAGEREF _Toc107374911 h 10
I.5.ТРЕУГОЛЬНИКВ ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО.PAGEREF_Toc107374912 h 13
I.6.ЧИСЛОВАЯМОДЕЛЬ ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО.PAGEREF _Toc107374913 h 15
ГлаваII.АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛУЕВКЛИДОВЫХ И ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ.
II.1Аксиоматическоеопределение псевдоевклидовых и полуевклидовых векторных пространств.PAGEREF _Toc107374914 h 19
II.2.Полуевклидовы и псевдоевклидовы точечныепространства PAGEREF _Toc107374915 h 22
Глава III.ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
III.1.Псевдоевклидово пространство (пространство Минковского)PAGEREF _Toc107374916 h 24
III.2.Нагляднаямодель пространства… PAGEREF_Toc107374917 h 26
Глава IVГиперболическая плоскость Г2.
IV.1.Гиперболическаяплоскость Г2.PAGEREF _Toc107374918 h 28
Приложения.PAGEREF _Toc107374919 h 32
Список литературы.PAGEREF _Toc107374920 h 33
ВВЕДЕНИЕ.
В евклидовом пространстве вортонормированном базисе скалярное произведение определяется по формуле , где , . Отсюда из теорииотносительности в 4х мерномпространстве времени следует, что длина отрезка вычисляется по формуле n переменных. Но симметрические билинейныемогут быть как различных рангов, так и различных положительных индексов инерции. Это дает возможность дляобобщения скалярного произведения и определения обобщенных евклидовых пространств.
Существует и аксиоматический подход копределению евклидова векторного пространства. Обобщая его, можно датьаксиоматическое определение обобщенного скалярного произведения векторов. Спомощью евклидова пространства определяется евклидово точечное пространство. Поаналогии с этим можно дать определение обобщенных псевдоевклидовых иполуевклидовых точечных пространств. С его помощью определяются псевдоевклидовыи полуевклидовы векторные пространства. Для того, чтобы показать структуруновых пространств, более подробно рассматривается псевдоевклидова плоскость(плоскость Минковского)
Дипломная работа состоит из введения,четырех глав, списка использованной литературы и приложения.
В первой главе дается аналитическое определение обобщенного скалярногопроизведения векторов в данном n-мерном (векторном)пространстве.
Во второй главе обобщенное скалярноепроизведение и пространства и определяютсяс помощью системы аксиом. Показывается эквивалентность аналитического и аксиоматического определенияскалярного произведения, а поэтому и всех рассматриваемых пространств.
В третьей главе описывается псевдоевклидовоточечное пространство, виды его прямых, плоскостей и сфер. Даётся «наглядная»модель этого пространства.
В последней, четвертой, главе даетсяодин из способов получения «новых»пространств с помощью сфер в псевдоевклидовом пространстве. Этот способ описанна примере сферы в пространстве . Таким образом получена гиперболическаяплоскость (плоскость Лобачевского).
В приложение вынесена система аксиомплоскости Лобачевского.
ГЛАВА I.АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ И ПОЛУЕВКЛИДОВЫХПРОСТРАНСТВ
I.1.ОБОБЩЕННОЕ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕВЕКТОРОВ.
ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ И ПОЛУЕВКЛИДОВЫПРОСТРАНСТВА.
Пусть nмерное векторное пространство. }-базис, , .Зафиксируем билинейную форму к нормальному виду, т.е. к виду r≤n.Будем считать что базисB выбран уже такой, что форма имеет нормальный вид.
Определение 1. Обобщеннымскалярным произведением векторов называется билинейная форма от наборов координат этих векторов, котораяимеет вид r≤n.
Свойства
10
Доказательство.
, =
20 .
Доказательство. ,,
Определение 2. Обобщенной длинойвектора называется число (обозн.
Подлине ненулевые векторы разбиваются на 3типа:
-векторы 1-го рода
-векторы 2-го рода длина чисто мнимое число.
-изотропные векторы равна 0, а сам вектор не нулевой.
30 Коллинеарные векторы- векторы одного и того же рода.
Доказательство.
Пустьвектор 1 рода, а вектор коллинеарен ему. Тогда по условию коллинеарности
=
Прямаяназывается прямой 1-го рода, если её направляющий вектор 1-го рода.
Прямаяназывается прямой 2-го рода, если её направляющий вектор 2-го рода.
Прямаяназывается изотропной, если её направляющий вектор изотропный.
Определение 3. Векторноепространство r=n (rr ранг билинейной формы, а d=n-r её дефект, то полуевклидововекторное пространство индекса к идефекта d обозначают
Пусть
Определение 4. Множество точек называютпсевдоевклидовым (полуевклидовым) точечным пространством, если определеноотображение (или аксиомы
В1.
В2.n мерное векторноепсевдоевклидово(полуевклидово) пространство
индекса к (и дефекта d).
В3.
В4.
В5.
Псевдоевклидово точечное пространствообозначается
Таккак
I.2.ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ (ПЛОСКОСТЬ МИНКОВСКОГО)
Рассмотрим частный случай псевдоевклидоваточечного пространства при n=2(т.е. плоскость). Возможны случаи:
1) (евклидов случай)
2)
3)
4) (изоморфно евклидовуслучаю)
5)
Зафиксируем на аффинной плоскости системукоординат и будем изображать на ней новую плоскость. Для длин вектора возможно три случая
1)
e1
a2
a1
IV
III
II
I
x
y SHAPE * MERGEFORMAT
Если такие векторы откладывать отначала координат, то они отложатся внутри I и IIIуглов, образованных “биссектрисами” координатных углов .
2)
3)II и IV углах.
Таккак все коллинеарные векторы естьвекторы одного и того же рода, то всепрямые можно разбить тоже на три типа:
-Прямаяназывается прямой 1-го рода, если её направляющий вектор 1-го рода.
-Прямая называется прямой 2-го рода, если её направляющийвектор 2-го рода.
-Прямая называется прямой изотропной, если её направляющийвектор изотропный.
Определение 5. Расстоянием между точками A и B назовем обобщенную длину вектора A B то числом, нулем, и чисто мнимым числом.
Свойства расстояний:
10 дляА, В.
20если и того же рода, то выполняется неравенство
Введем вспомогательную систему координат, повернув данную с.к. на 450. Формулы преобразованиякоординат будут:
x
O
y
Y
X
45
Тогда
Определение 6. Окружностьюназывается множество точек плоскости Минковского, равноудаленных от даннойточки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние, на котороеудалены все точки окружности от центра, называется радиусом окружности. ПустьС(Х0, У0)-центр, r радиусокружности, тогда точка М(Х, У) или — уравнение вовспомогательной с.к. (в основных координатах
Если r>0, то окружность называется окружностью 1 рода.
Если r чисто мнимое число,то окружность называется окружностью 2 рода.
Если r=0, то окружность называется изотропной.
Из уравнения окружности следует, что она изображается гиперболой с центром в С(х0, у0).Оси этой гиперболы параллельны осям Ох, Оу, а асимптоты параллельны биссектрисамкоординатных углов, т.е. параллельны осям ОХ,ОУ.
y
x
Y
X
Окружность 1го рода
Окружность 2го рода
I.3.Движение плоскости МИНКОВСКОГО.
Определение7. Движением плоскости называют такое аффинное преобразование, которое сохраняетобобщенное расстояние между точками. Выведем формулы движения. Так как движениеаффинное преобразование, то его формулы во вспомогательных координатах
(1) mi и ni так, чтобы сохранялосьрасстояние между точками. Пусть Тогда
Так как
и правойчасти стоят многочлены от при всехзначениях переменных. Это верно тогда и только тогда, когда равны соответствующие коэффициенты:
Решим полученную систему. Возможны случаи:
1) m1=0.Таккак n1 и m2 следовательно, n2=0, из 3гоуравнения n1m2=1.Если обозначить m2=v, то n1=1/v и v-любое, отличное от 0действительное число. На a и b никаких ограничений нет. Подставим в (1), получим
(2).
2) n1=0 так как m1 и m2=0, следовательно n2≠0,из 3го уравнения n2m1=1.Если обозначить m2=v, то n1=1/v и v-любое, отличное от 0действительное число. На a и b никаких ограничений нет. Подставим в (1), получим:
Итак, всякое движение псевдоевклидовой плоскости вовспомогательной с.к. можно задать формулами (2) или (3). Обратно, если преобразование задано формулами (2)или (3), то оно сохраняет обобщенное расстояние,т.е. является движением Минковского.
Движение, задаваемое формулами (3), называется движением 1-го рода.
Движение, задаваемое формулами (2), называется движением 2-го рода.
Свойства движения.
10Тождественное преобразование есть движение.
20Преобразование, обратное движению, есть движение.
30Произведение 2-х движений есть движение.
Следствие. Множество движений плоскости Минковского есть группа.
40Движение сохраняет обобщенное скалярное произведение.
Доказательство.
Движение сохраняет расстояние между точками оно сохраняетскалярный квадрат вектора. Пусть a и b –любые вектора.
Рассмотрим частные случаи движений 1-го и 2-го рода
Движения Iрода (собственные).
1) v=1;a,b – любые действительныечисла. Формулы (3) перепишутся.Они задают параллельный перенос.
y
x
Y
X
M1
M a=b=0 любая точка М(Х, У) и её образ М’(Х’, У’) лежат на одной гиперболе ХУ=с, т.е. на одной окружности Минковского. По аналогии с евклидовой плоскостью это движение называют гиперболическим поворотом с центром в т. О и коэффициент v.
3)a,b — любыедействительные числа, v отличное от 0. Преобразование, задаваемое формулами (3),можно представить как произведение двухпреобразований. Пусть и
Вывод. Всякое собственное движение плоскостиМинковского есть либо параллельный перенос, либо гиперболический поворот сцентром в начале координат, либо произведение гиперболического поворота и параллельногопереноса.
Пусть и подставим в (3) иполучим v, т.е. f — не параллельныйперенос, то из последней системы С(
f есть произведениегиперболического поворота с центром в т. Си параллельного переноса на вектор
Движение 2-го рода (несобственное).
(2).
1) v=1,a=b=0 получим есть формулыосевой симметрии относительно биссектрисы 1-го координатного угла в системе ХОУ, т.е относительно оси ОУ в основной системекоординат.
2) При общих формулах (2) , где
Вывод. Любое несобственное движение естьлибо симметрия относительно основной оси Оу, либо может быть представлено в виде произведения этой симметрии и собственногодвижения.
I.4.Угол междувекторами и прямыми.
Определение 8. Углом междунеизотропными векторами и называется, такоечисло (действительное иликомплексное), которое определяется формулой:
(4).
Определение 9.Угломмежду прямыми ( неизотропными) называется угол между их направляющими векторами.
Свойства углов.
10Для, т.е.углы между сонаправленными векторами равны. Согласно этому сонаправленны с и имеют длину 1 или i.
20Если
30Таккак все направляющие векторы прямых коллинеарны, то с помощью опр. 9 мы получаем два угла междупрямыми.
40Движение сохраняет угол между векторами(а поэтому и между прямыми). Это следует из того, что при движении сохраняетсяобобщенное скалярное произведение и обобщенная длина.
y Рассмотрим угол между векторамиодного и того же рода. Пусть это будутвекторы 1-го рода (для векторов 2-города аналогично). Отложим от начала координат.Тогда их концы лежат на единичной окружности с центром в начале координат.
Y
X
x
b0
a0
е1
Совершим гиперболический поворот так, чтобы вектор повернулся в вектор повернется в Так как вектор – первого рода, то ’ тоже первого рода и он будет откладываться в I и III углах, т.е. одного рода). Отсюда следует, что называют действительным углом между векторамиодного рода.
Тогда для векторов одногорода. Если использовать график функции у= получим:
Y=ch
X
1
1)
2) Если возрастает от 1 до возрастает от 0 до
Следовательно, между двумя векторами одного рода угол (с точностью до знака ) определяется однозначно (в отличие отевклидовой плоскости. Там углы это углы междуодной и той же парой векторов).
Если вектора разныхродов, то являетсясмешенным комплексным числом вида
Определение 10Два ненулевых вектора называются ортогональными,если =0.(или┴
Свойства.
10Изотропный вектор ортогонален сам себе.().
20Если ┴, то ┴ для
30┴, а это есть условие сопряженностинаправлений относительногиперболы относительно гиперболы
y
x
b
a
Две прямые называтьсяортогональными, если ортогональны их направляющие векторы. Если прямаяизотропна, то любой её направляющий вектор ортогонален сам себе и всем параллельнымему векторам. Поэтому для изотропных прямых параллельность и перпендикулярностьсовпадают.
Пример Данапрямая l и точка A. Построить прямую s┴ l .
A) l неизотро