--PAGE_BREAK--TNn(A) нильтреугольных матриц, т.е. треугольных матриц с нулями на главной диагонали.
Кольца Mnи TNnявляются некоммутативными, в кольцеTNnнет единицы.
30
. Примеры полей.
1. Числовые поля.Q, R, C, Q[i], Q[] .
2. Поля дробно-рациональных функций: Q(x),R(x),C(x). Так, элементами множества R(x) являются всевозможные функции вида , где f(x), g(x) — многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен g(x) ненулевой. Операции сложения и умножения дробей обычные.
3. Поле вычетов Zp
по простому модулю p. Например, для p=7 утверждение получается из следующих равенств в кольце Z7: 2Ä4 = 3Ä5 = 6Ä6 = 1.
40
. Арифметика колец и полей. Важнейшие арифметические свойства элементов колец и полей приведены в теоремах.
Теорема. Для любых элементов кольца справедливы равенства:
(а) 0×x = x×0 = 0;
(б) правило знаков: x(— y)= (-x)y = -(xy);
(в) (дистрибутивность умножения относительно разности)
(x — y)z = xz — yz, x(y — z) =xy — xz;
где разность определяется обычным образомx — y := x + (— y).
Доказательство. (а) Имеем: 0×x = (0 + 0)×x = ×x +×x, откуда×x = 0. Аналогично проверяется и второе равенство x×0 = 0.
(б) Имеем: 0 = x×0 = x×(y + (-y)) = x×y+x×(-y), откуда x×(-y) = -(x×y).
(в) Имеем: (x — y)z =(x + (— y))z = x×z+ (-y)×z =x×z— y×z. ÿ
Обозначение.
:= a×b-1, если a, b— элементы поля, причем b¹0.
Теорема.В поле справедливы обычные правила работы с дробями:
(а) основное свойство дроби: ("c¹0) ;
(б) правила сложения дробей: , ;
(в) правило умножения дробей: ;
(г), еслиab ¹0;
в частности, справедливо известное правило деления дробей.
Доказательство. (а) Действительно, = (ac)×(bc)-1= acc-1b = a×b-1 =
.
(б) Имеем: = (a + c)×b-1 = a×b-1 + c×b-1 =. И далее на основании уже доказанных свойств получаем .
Аналогично проверяются и два оставшихся пункта. ÿ
3. Арифметические функции:
t
(n),
s
(n),
j
(n).
10
. Полная мультипликативность.
Определение. Числовой (арифметической) функциейназывается функция, определенная на множестве Z+целых положительных чисел и принимающая комплексные значения.
Числовая функция qназывается вполне мультипликативной, если выполнены условия:
(1) ($x) q(x)¹0,
(2) для любых взаимно простых чисел x и y
q(xy)= q(x) q(y).
Заметим, что непосредственно из определения вытекает равенство
q(1)=1.
В самом деле, q(1)¹0, так как иначе данная функция qбыла бы нулевой; q(1)= q(1×1)= q(1) q(1), следовательно, q(1)=1.
Легко проверить, что каждая из следующих функций
q(x)=1, q(x)= x, q(x)= x-1,
вполне мультипликативна.
Следующая теорема позволяет существенно расширить запас вполне мультипликативных функций.
Теорема. Произведение вполне мультипликативных функций является вполне мультипликативной функцией.
Доказательство. Пусть числа x и yвзаимно просты, а функции f и gвполне мультипликативны. Тогда, обозначив через hпроизведение функций f и g, имеем:
h(xy)=f(xy)g(xy)=f(x)f(y)g(x)g(y)=[f(x)g(x)][f(y)g(y)]=
=h(x)h(y).
Следствие. Для любого целого k функцияq(x)= xk вполне мультипликативна.
20
. Сумма значений функции по всем делителям аргумента.
Введем в рассмотрение, наряду с функцией q(x), функцию
,
равную сумме всех значений функции q(d) при условии, что переменная dпробегает все делители числаx.
Теорема (основное тождество). Если x=
,то
×
.
В частности,если функция qвполне мультипликативна,то и функция
также вполне мультипликативна.
Доказательство. Рассмотрим произведение сумм, находящееся в правой части требуемого равенства:
=
==.
Осталось заметить, что для каждого набора (g1, g2,..., gk) целых неотрицательных чисел gi, не превосходящих ai, в сумме
каждое слагаемое встречается ровно один раз. Учитывая теперь, что каждый делитель числа
имеет вид
, получаем
=
.
Свойство полной мультипликативности рассматриваемой функции немедленно вытекает из того, что взаимно простые числа содержат различные простые сомножители. ÿ
30
. Число делителей
t
(x) и сумма делителей
s
(x).
Рассмотрим следующие вполне мультипликативные функции:
t(x)=
, где q(x)=1, — число делителей числаx,
s(x)=
, где q(x) = x, — сумма делителей числаx.
Теорема. Справедливы тождества:
t(
)=(a1 + 1)(a2 + 1)...(ak + 1),
s(
)=.
Доказательство. а) Из определения функции t(x) немедленно следует указанное тождество, поскольку в силу основного тождества легко подсчитать число слагаемых, каждое из которых равно 1, в каждой из скобок соответствующего произведения.
б) Это тождество получается из основного тождества и формулы суммы членов геометрической прогрессии:
.ÿ
40
. Функция Эйлера.Одной из важнейших числовых функций является следующая функция, впервые введенная в рассмотрение Эйлером.
Определение. Через j(x) обозначается количество чисел ряда
1, 2, ..., x, (*)
взаимно простых с числом x.
Справедлива следующая теорема, которую приведем без доказательства.
Теорема. Еслиx=
, то
j(x)=x×.
Следствие. Функция Эйлера вполне мультипликативна и
.
Теорема (тождество Гаусса).
.
Доказательство. Применяя основное тождество и последнее следствие, получаем, считая
,
. ÿ
4. Алгоритм Евклида и его применения
10
. Алгоритм Евклида.Наибольший общий делитель чисел a, bможно найти с помощью алгоритма Евклида, который состоит в следующем.
Пусть b>0. Разделим aна b, тогда по теореме о делении с остатком:
a = bq1+ r1.
Если r1= 0, то НОД(a, b) = b.
Если r1 ¹0, то разделим b с остатком на r1:
b = r1q2+ r2.
Если r2= 0, то процесс деления закончим, а если r2 ¹0, то разделим r1 с остатком на r2:
r1 = r2q3 + r3.
Продолжая далее таким же образом, мы закончим процесс деления кактолько получится остаток равный 0.
Заметим, что такой остаток обязательно получится. В самом деле, остаток всегда меньше делителя, поэтомуb > r1 > r2 > r3 >… и число получаемых остатков не превосходит b.
Итак, в результате указанного алгоритма получим, что:
a = bq1 + r1,
b = r1 q2 + r2,
r1 = r2 q3 + r3,
(1)
… .
rn-2 = rn-1qn-1+ rn,
rn-1 = rnqn.
Тогда на основании свойств 2и 10 :
НОД(a, b) = НОД(b, r1) = НОД(r1, r2) =… = НОД(rn-1,rn) = rn.
Следовательно, наибольший общий делитель чисел a
и
b
совпадает с последним ненулевым остаткомrn
в алгоритме Евклида для
чисел a и b.
продолжение
--PAGE_BREAK--Пример.Найти НОД(160, 72).
Применим к данным числам алгоритм Евклида:
160 = 72×2 + 16, 72 = 16×4 + 8, 16 = 8×2. (2)
Следовательно, НОД(160, 72) = 8.
20
. Теорема(о линейном представлении НОД).Еслиd — наибольший общий делитель чиселa иb, то существуют такие целые числа
xиy, что выполняется равенство: d
=
xa
+
yb.
ðДопустим, что числа aи bсвязаны следующими соотношениями:
a = bq1 + r1,
b = r1 q2 + r2,
r1 = r2 q3 + r3,
… .
rn-2 = rn-1qn-1+ rn.
Докажем, что каждое из чисел r
kлинейно выражается через aи bс целыми коэффициентами. Для r1утверждение тривиально:r1= a — bq1 . Считая, что каждое из чисел r1,r2,..., rn-1является целочисленной линейной комбинацией чисел aи b(rk= aka + bk
b), имеем
rn = an-2a + bn-2
b — (an-1a + bn-1
b)qn-1 = (an-2— an-1)a + (bn-2
— bn-1
qn-1)b. ð
Пример.Найти линейное представление НОД(160, 72).
Решение. Из второго равенства системы (2) следует, что 8 = 72 — 16×4, а из первого равенства получим, что 16 = 160 — 72×2. Из двух полученных равенств находим: 8 = 72 — 16 ×4 = 72 — (160 — 72 ×2) ×4 = (-4) ×160 + 9 ×72.
Таким образом, искомое представление НОД имеет вид:
8 = (-4) ×160 + 9 ×72.
30
. Связь алгоритма Евклида с непрерывными дробями. Пусть a— рациональная несократимая дробь . Для разложения числа aв непрерывную цепную дробь можно воспользоваться алгоритмом Евклида:
Следовательно, , откуда
Непрерывные дроби можно использовать для решения различных теоретико-числовых задач.
1. Линейное представление наибольшего общего делителя
Пример 1.Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел (59, 163).
Решение. Разложим в непрерывную дробь число:
= [2; 1, 3, 4, 1, 2].
Cледовательно, можно теперь заполнить таблицу:
qs
2
1
3
4
1
2
Ps
1
2
3
11
47
58
163
Qs
1
1
4
17
21
59
e
s
+1
-1
+1
-1
+1
-1
Отсюда получаем 59 ×58 — 163 ×21 = -1 или 59 ×(-58) + 163 ×21 = 1.
2. Решение линейных диофантовых уравнений
Как практически находить какое-нибудь решение линейного неопределенного уравнения
ax + by = c при (a,b)=1, c=1 ?
Можно воспользоваться алгоритмом Евклида, из которого легко получить линейное представление НОД чисел a,b,или представить дробь в виде последней подходящей , откуда aQn — bPn = (-1)n .
Пример. Решить диофантово уравнение 163x + 59y = 1.
Решение. Мы проверили раньше, что 163 ×21 + 59 ×(-58) = 1, следовательно, общее решение имеет вид:
6. Базис и размерность векторного пространства
10
. Линейные комбинации и линейные оболочки векторов. Выражение вида = a1e1+… + a
n
en, где a
i — числа, ei— векторы из пространства V, называется линейной комбинацией векторовei;числа a
iназываются коэффициентами линейной комбинации.
Определение. Линейной оболочкой системы векторов E = (e1,..., en) называется множество всевозможных линейных комбинаций векторов данной системы; обозначение L(E). Таким образом,
L(E) = .
Заметим, что линейная оболочка системы векторов является линейным подпространством.
Говорят, что вектор vлинейно выражаетсячерез систему E, если vÎL(E).
Отметим простейшие свойства линейных оболочек:
(а) Если W— подпространство в V, EÍW, то L(E) ÍW;
(б) Линейная оболочка L(E) совпадает с пересечением всех линейных подпространств, содержащих систему E;
(в) L(E ÈG) = L(E) + L(G), где сумма подпространств Uи Wопределяется равенством U+ W := {u + w½uÎU, w ÎW}.
20
. Линейно независимые системы.
Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны 0. Значение тривиальной линейной комбинации равно 0.
Определение.Система векторовназывается линейно независимой, если всякая ее нетривиальная линейная комбинация отлична от нуля.
Заметим, что для доказательства линейной независимости системы достаточно приравнять к нулю произвольную ее линейную комбинацию и вывести из этого равенство нулю всех ее коэффициентов.
Кроме того, система векторов является линейно зависимой, если некоторая ее нетривиальная линейная комбинация равна 0.
Нам потребуются в дальнейшем следующие две леммы, которые мы приведем без доказательства.
Лемма 1. Если система E линейно независима,а система EÈs (полученная присоединением вектора sк системе E) линейно зависима, то s линейно выражается черезE.
Лемма 2 (основная лемма о линейной зависимости).
“Большая“система линейно зависима,если она линейно выражается через “маленькую“.
30
. Базис линейного пространства.
Определение 1.Система Eназывается базисом линейного пространства V (обозначение B(V)), если выполнены условия:
(а) Eлинейно независима;
(б) V = L(E), т.е. всякий вектор пространства V линейно выражается через E.
Наряду с данным определением можно привести и другие эквивалентные определения.
Определение 2.Максимальная линейно независимая система Eназывается базисом линейного пространства V.
Определение 3.Система Eназывается базисом линейного пространства V, если всякий вектор пространства V однозначно записывается в виде линейной комбинации векторов системы E.
Заметим, что указанные определения равносильны.
40
. Размерность линейного пространства.
Определение. Линейное пространство называется конечномерным, если оно обладает конечным базисом.
Определение. Число элементов в каком-нибудь базисе линейного пространства V называется его размерностью; обозначение dimV. Нулевое пространство имеет по определению пустой базис и нулевую размерность.
Отметим прежде всего теорему о корректности определения размерности.
Теорема. Всякие два базиса одного конечномерного пространства содержат одинаковое число векторов.
Доказательство. Пусть Eи G— два базиса пространства V. Эти системы векторов линейно эквивалентны, т.е. они линейно выражаются друг через друга. Если бы одна система была “большой”, а другая “маленькой”, то “большая” система оказалась бы линейно зависимой в силу основной леммы о линейной зависимости, значит, обе они содержат одинаковое число векторов. ÿ
Следствие.
(а) Размерность линейной оболочкиL(E) равна рангу системыE (ранг системы — максимальное число ее линейно независимых векторов): dim L(E) = r(E).
(б) Всякая система векторов n-мерного линейного пространства,содержащая более n элементов линейно зависима.
50
. Примеры.
1. Координатное пространство kn имеет стандартный базис из единичных векторов ei:= (0,..., 0, 1, 0,..., 0) ( единица находится на месте с номером i), следовательно, dim kn= n. Можно доказать, что система из nвекторов-строк образует базис пространства knÛопределитель этой системы отличен от нуля.
2. Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений — это фундаментальная система решений.
3. Пространство матриц имеет стандартный базис из матричных единиц Eij(единица находится на месте с номером (i, j), следовательно,
dim = nm.
4. Пространства многочленов Qn[x] с рациональными коэффициентами степени не превосходящей nимеет следующие базисы:
а) стандартный базис вида 1, x, x2,..., xn;
б) базис Тейлора “в точке c”:
1, (x — c), (x — c)2,..., (x — c)n, где c— некоторое число;
в) [базис Лагранжа “в точке (c1,..., cn+1)”:
gi(x) = {(x — c1)… (x — ci)^… (x — cn+1)}/ {(ci — c1)… (ci — ci)^… (ci — cn+1)},
где c1,..., cn+1— попарно различные скаляры, а знак ^ означает отсутствие указанного множителя.]
Координаты многочлена f(x)
относительно стандартного базиса — это его коэффициенты;
относительно базиса Тейлора — это строка ;
[относительно базиса Лагранжа — это строка (f(c1),..., f(cn+1)).]
5. Вещественное линейное пространство Cимеет стандартный базис (1, i).
7. Основные теоремы о системах линейных уравнений
10. Исследование системы линейных уравнений.
Пусть задана система линейных уравнений: Ax = b, где A— основная матрица, x— столбец переменных,b— столбец свободных членов. С помощью элементарных преобразований строк в основной матрице можно построить максимальную систему единичных столбцов. Кроме того, удалим из расширенной матрицы нулевые строки. Тогда можно считать, что расширенная матрица системы уравнений имеет вид:
,
где в последней строке ведущий элемент обозначен через d.
Для ненулевого числа d возможны два случая:
(а)
d находится до черты, т.е. лежит в основной матрице. Следовательно, в этом случае мы можем написать общее решение совместной системы. Заметим, что все переменные будут связаны Ûранг основной матрицы равен числу переменных системы.
(б)
d находится после черты; тогда система несовместна и ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы на единицу.
Тем самым, мы доказали теорему.
продолжение
--PAGE_BREAK--Теорема. Пусть
d
— ведущий элемент последней строки приведенной ступенчатой матрицы. Тогда
(а)система совместна Ûd находится до черты;
(б)система несовместна Ûd находится после черты;
(в)система является определенной Ûd находится до черты и все переменные связанные;
(г)система является неопределенной Ûd находится до черты и имеется хотя бы одна свободная переменная.
20. Критерии совместности и определенности.
Из приведенной теоремы немедленно вытекают следующие два критерия.
Критерий совместности (теорема Кронеккера-Капелли). Система Ax = b линейных уравнений является совместной Ûранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, т.е. r(A) =r(A½b).
Критерий определенности. Система Ax = b линейных уравнений от n переменных является определенной Ûранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу переменных в системе, т.е. r(A) =r(A½b) = n.
30. Связь между решениями совместной неоднородной и связанной с ней однородной системами линейных уравнений.
Допустим, что дана совместная системалинейных уравнений:
Ax = b.
(1)
Пусть z,z1,z2— частные решения системы (1),
z— ее общее решение. Тогда справедливы равенства A
z1t
= b,Az2t
= b. Вычитая почленно из первого второе, на основании известных свойств, получаем: 0 = A
z1t
— A
z2t= A(z1t
—
z2t) =A(z1—
z2)t, т.е. разность между двумя частными решения системы (1) является решением связанной с ней однородной системы
Ax = 0.
(2)
Если теперь
x— общее решение системы (2), то имеем A
xt = 0, следовательно,
b=b + 0 = Azt
+ A
xt=A(zt
+
xt) =A(z+
x)t,
т.е. сумма частного решения системы (1) и общего решения системы (2) является решением системы (1).
Таким образом, справедлива
Теорема. Общее решение совместной неоднородной системы (1)является суммой частного решения системы(1) и общего решения системы(2).
Поскольку общее решение однородной системы может быть записано в виде линейной комбинации ФСР, то получаем, что общее решение системы (1) можно записать в следующей параметрической форме:
z= z0 + a1x1+ a2x2+… + a
m
x
m,
где z0 — какое-нибудь частное решение системы (1); x1, x2,..., x
m— ФСР системы (2),
a1, a2,..., a
m— действительные параметры; m = n — r(A).
8. Корни многочлена; схема Горнера; теорема Безу
10
. Корни многочлена.
Определение. Числоc называетсякорнем многочлена f, еслиf(c)=0.
Другими словами, число cявляется корнем многочлена f, если
acn + a1cn-1 +… + an — 1c + an = 0.
Это равенство означает, что число cявляется корнем уравнения
a0 xn+ a1xn-1 +… + an — 1x + an = 0,
при подстановке вместо xчисла cполучается верное равенство. Поэтому корень многочлена fи корень соответствующего уравнения f(x) = 0 — это одно и то же.
Схема Горнера позволяет проверять, является ли данное число cкорнем данного многочлена или нет: с ее помощью мы как раз и вычисляем значение f(c).
Если требуется проверить несколько значений c, то для экономии выкладок строят не три отдельные схемы, а одну — объединенную. Например, для многочлена
f = 3x5 — 5x4 — 7x2 + 12
и чисел c= 1,-1,2 составляется таблица
Конечно, при заполнении третьей и четвертой строки таблицы работает" только первая строка — строка коэффициентов многочлена f.
Мы видим, в частности, что из трех рассмотренных чисел только c= 2 является корнем данного многочлена.
20
. Теорема Безу.
Теорема Безу. Пустьf — многочлен, c — некотороечисло.
1. f делится на двучленx — c тогда и только тогда, когда число c является его корнем.
2. Остаток от деления f на x — c равен f(c).
Доказательство. Сначала мы докажем второе утверждение. Для этого разделим fcостатком на x— c:
f= (x — c)q + r;
по определению остатка, многочлен rлибо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени x— c, т.е. меньшую 1.
Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях rна самом деле является числом — нулем или отличным от нуля.
Подставив теперь в равенство f= (x — c)q + rзначение x= c, мы получим
f(с) = (с— c)q(с) + r= 0,
так что действительно r= f(c), и первое утверждение доказано.
Теперь первое утверждение почти очевидно. В самом деле, утверждение "fделится на x— c" означает, что остаток от деления равен 0. Но остаток, по доказанному, равен f(c), так что "fделится на x— c" означает то же самое, что и f(c) = 0. ÿ
Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если f(c) = 0, то f= (x — c)q, и остается решить уравнение q(x) = 0. Иногда этим приемом - он называется понижением степени — можно найти все корни многочлена. В частности, подобрав один корень кубического уравнения, можно его полностью решить — после понижения степени достаточно решить полученное квадратное уравнение.
Решим в качестве примера уравнение
x4— x3 — 6x2 — x + 3 = 0.
Целые корни многочлена f= x4 — x3 — 6x2 — x + 3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть только числа ±1 и ±3. При этом 1 не является корнем многочлена f, поскольку сумма его коэффициентов, очевидно, не равна 0.
При x= -1: имеем схему
Мы видим, что -1 — корень f, и в частном получается многочлен
g=x3 — 2x2 — 4x +3.
Значение x= 1 второй раз проверять незачем: если бы число 1 было корнем g, то оно было бы и корнем f, что неверно. А -1 проверить обязательно — ничто не мешает ей быть также и корнем частного g:
Следовательно, g(-1) ¹0.
Составим схему Горнера для x= 3:
Следовательно, g(3) = 0, и при делении gна x— 3 получается многочлен x2— x— 1, корни которого (1±)/2.
Таким образом, многочлен f, а значит, и исходное уравнение имеет 4 корня: -1, 3 и (1±)/2.
30
. Следствия из теоремы Безу. Теорема Безу позволяет частично ответить и на важный теоретический вопрос — Сколько корней может иметь многочлен?
Теорема. Многочлен степени n имеет в любом поле не более n корней.
Доказательство. Пусть многочлен fстепени nимеет kкорней, и c-один из его корней. Предположим противное — пусть k>n.
По теореме Безу, f= (x — c)g, и частное g имеет степень n— 1. Всякий корень f, отличныйот c, является одновременно и корнем g: если f(a) = 0, то (a— c)g(a) = 0, откуда g(a) = 0, так как a
¹c. Другими словами, многочлен gимеет, по меньшей мере k— 1>n— 1 корень, т.е. число его корней также больше его степени.
Но с многочленом gможно провести те же рассуждения, и на втором шагу получить новый многочлен h, число корней которого также больше его степени. Продолжая таким же образом, мы придем к многочлену степени 2, имеющему больше 2 корней, чего не может быть.
Полученное противоречие показывает, что предположение k>nневерно, и следовательно, kне больше n, что и требовалось доказать.
Из теоремы о числе корней вытекают два исключительно важных и для теории, и для практики утверждения.
Следствие 1.Два многочлена степени, не большей n, принимают одинаковые значения при n + 1 значении x тогда и только тогда, когда при каждой степени x они имеют одинаковые коэффициенты.
Следствие 2. Два многочлена принимают одинаковые значения при всех значениях x тогда и только тогда, когда при каждой степени x они имеют одинаковые коэффициенты.
9. Разложение многочлена в произведение неприводимых
множителей и его единственность
10
. Основная теорема арифметики кольца k[x]. Любой многочлен положительной степени можно разложить в произведение неприводимых сомножителей, и такое представление единственно с точностью до ассоциированности и порядка сомножителей.
Доказательство. 1. Существование. Индукцией по nдокажем, что каждый многочлен f степени n ³1 можно разложить в произведение неприводимых сомножителей. Основанием индукции приn = 1 служит тривиальное разложение f= f. Сделав индуктивное предположение, рассмотрим многочлен f степени n. Если f — неприводим, то разложение имеет вид: f = f; если же f — приводим, то его можно записать в виде f = gh, где степени g, h меньше степени f. По предположению индукции многочлены gи hможно разложить на неприводимые сомножители:
g =p1p2… ps, h = q1q2… qt,
поэтому
f =p1p2… psq1q2… qt.
2. Единственность. Предположим, что некоторый многочлен fимеет два разложения на неприводимые сомножители:
f =p1p2… ps , f = q1q2… qt,
тогда
p1p2 … ps = q1q2… qt.
Левая часть последнего равенства делится на p1, значит, правая часть также делится на p1. По основному свойству неприводимого многочлена на p1делится либо q1, либо q2,..., либо qt. Изменяя, если надо нумерацию сомножителей, можно считать, что p1делит q1, и поскольку q1 неприводим, то они ассоциированы, т.е. для некоторого числа cверно p1 = cq1. Значит, сокращая на p1обе части равенства
p1p2 … ps = p1q2… qt,
получаем:
p2 … . ps = (cq2 )… qt.
Обозначим данное произведение через m, и заметим, что deg m f. По предположению индукции можно считать, что для mвыполнено утверждение теоремы, т.е. левая часть последнего равенства отличается от правой либо перестановкой сомножителей, либо их ассоциированностью, значит, и в исходном равенстве
p1p2 … ps = q1q2… qt
s = t и одна часть отличается от другой только порядком сомножителей и их ассоциированностью. ð
продолжение
--PAGE_BREAK--