Введение
Изучение групп, представимых в произведение своих подгрупп является классической задачей алгебры.
Изучение факторизуемых групп началось с изучения групп, разложимых в прямое произведение некоторого множества своих истинных подгрупп, т.е. при условиях, когда факторизующие подгруппы инвариантны в факторизуемой группе и пересечение любой из них с произведением остальных равно единице. Еще в XIX веке было установлено, что любая конечная абелева группа разложима в произведение некоторого множества циклических подгрупп (Фробениус и Штикельбергер [1]). В связи с этой теоремой в теорию групп пришел вопрос о конечных неабелевых группах, факторизуемых некоторым множеством своих попарно перестановочных циклических подгрупп. При этом не предлагается ни нормальность факторизующих множителей, ни единичность пересечения каждого из них с произведением остальных. Был установлен ряд свойств конечных групп, имеющих факторизацию такого рода, в частности их сверхразрешимость (теорема Хупперта [2]).
Как известно, конечная нильпотентная группа – это прямое произведение />-подгрупп по разным простым /> В связи с этим возник вопрос характеризации конечных групп, разложимых в произведение попарно перестановочных />-подгрупп по разным простым />
Случай, когда группа является произведением своих двух силовских подгрупп, т.е. бипримарной, был рассмотрен еще Берсайдом, который установил их разрешимость. В 1938 году Ф. Холл[28] доказал свою знаменитую теорему о том, что конечная группа тогда и только тогда разложима в произведение попарно перестановочных />-подгрупп по разным простым />, когда она разрешима.
В связи с этими результатами возник вопрос о строении конечных групп, представимых в произведение своих нильпотентных подгрупп. Ответ на этот вопрос был получен Виландтом[4] и Кегелем[19], которые установили разрешимость таких групп.
Класс конечных групп, представимых в произведение своих двух некоторых нильпотентных подгрупп (кратко, динильпотентных групп) достаточно сложен. Он включает в себя сверхразрешимые группы, бипримарные, метанильпотентные и т.д. и этими примерами он далеко не исчерпывается.
Даже для таких групп связь группы со свойствами подгрупп-множителей достаточно сложная и исследование ее становится весьма непростой задачей.
В последние пятнадцать лет эта связь изучалась в работах многих авторов. Получено немало интересных глубоких результатов и разработаны методы исследования. Естественно, что это направление далеко не исчерпало себя и имеет широкие перспективы.
Настоящая дипломная работа посвящена изучению некоторых свойств конечных разрешимых групп, представимых в виде произведения своих двух />-разложимых подгрупп. В дальнейшем, для краткости, группы с таким свойством буем называть ди-/>-разложимые. Рассматриваются только конечные разрешимые группы.
Работа состоит из перечня условных обозначений, реферата, введения, основной части, включающей три раздела, заключения и списка цитируемой литературы.
Первый раздел носит справочный характер. Здесь приведены обозначения, определения и некоторые известные результаты, существенно используемые в работе.
Второй раздел посвящен изложению некоторых результатов о строении групп ди-/>-разложимых групп. Здесь собраны из различных источников и систематизированы основные результаты о ди-/>-разложимых группах и получен один новый результат.
Напомним следующее определение:
2.2.1 О п р е д е л е н и е. Пусть />– непустая формация. Подгруппа />группы />называется:
1) />-субнормальной в />, если либо />, либо существует максимальная цепь подгрупп /> такая, что /> для всех /> (обозначается />);
2) />-достижимой в />, если существует цепь подгрупп /> такая, что либо подгруппа /> субнормальна в />, либо /> для любого /> (oбозначается />).
2.2.6 Т е о р е м а. Пусть />– наслественная насыщенная формация, причем />и />– ди-/>-разожимая группа. Тога справиливы следующие утверждения:
1) если />/> и /> то />
2) если />/> и /> то />
Основные результаты и выводы работы сосредоточены в третьем разделе, в котором изучаются свойства подгрупп ди-/>-разложимых групп.
В 1958 году Виландт [4] ввел следующее понятие. Подгруппа /> группы /> называется факторизуемой относительно /> если /> и /> Хайнекен Н. [4] в 1990 году исследовал факторизуемые />-проекторы в динильпотентных конечных группах для случая, когда /> – насыщенная формация. Группа /> называется динильпотентной, если />, где /> и /> – нильпотентные подгруппы группы /> Подробнее в 1994 году Амберг В. и Хёфлинг В. [3] распространили основной результат Хайнекена на классы Шунка.
В третьем разделе нами исследуются факторизуемые проекторы в ди-/>-нильпотентных группах. В классе всех конечных разрешимых групп получены следующие результаты.
3.2.1 Т е о р е м а. Пусть />– некоторое множество простых чисел, />– класс Шунка и />. Если />– ди-/>-разложимая группа, причем />, то в />имеется хотя бы один факторизуемый относительно />/>-проектор.
Так как всякая насыщенная формация является классом Шунка, то справедливо следующее:--PAGE_BREAK--
3.2.2 С л е д с т в и е. Пусть />– насыщенная формация, причем />Если />– ди-/>-разложимая группа, причем />, то в />имеется хотя бы один факторизуемый относительно />/>-проектор.
Следуя [], подгруппу /> группы /> назовем />-картеровой подгруппой, если />/>-нильпотентна, /> и /> содержит некоторую />-холловскую подгруппу группы />.
3.2.4 С л е д с т в и е. Пусть />– ди-/>-разложимая группа. Тогда в />имеется хотя бы одна факторизуемая относительно />/>-картерова подгруппа.
Следуя, [] подгруппу /> группы /> назовем />-гашюцевой подгруппой, если />/>-сверхразрешима, содержит некоторую />-холловскую подгруппу группы /> и для /> индекс /> есть составное число.
3.2.6 С л е д с т в и е. Пусть />– ди-/>-разложимая группа. Тогда в />имеется хотя бы одна факторизуемая относительно />/>-гашюцева подгруппа.
Цель дипломной работы – изучение основных свойств конечных разрешимых произведений />-разложимых групп и их факторизуемых подгрупп. В работе решены следующие задачи: – изучены свойства примитивных конечных разрешимых произведений />-разложимых групп; – найдены условия факторизуемости />-проекторов конечных разрешимых произведений />-разложимых групп для случая, когда /> – класс Шунка конечных разрешимых групп; – найдены приложения полученных результатов для классических формаций.
Объектом исследования являются конечные разрешимые произведения />-разложимых групп и их подгрупп. Предметом исследования – свойства конечных разрешимых произведений />-разложимых групп и их подгрупп.
Методология и методы исследования. В дипломной работе используются методы доказательств абстрактной теории конечных групп, а также методы теории классов конечных групп.
Новизна полученных результатов: Результаты первых двух разделов носят в основном реферативный характер. Теорема 2.2.6 является новой. Параграф 3.1 раздела 3 взят из работы Васильевой Т.И. [36]. Параграф 3.2 содержит новые результаты.
Практическое применение и экономическая значимость работы: Результаты дипломной работы могут быть использованы в научно-исследовательской работе студентов, аспирантов, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов на математических специальностях в высших учебных заведениях.
Необходимые сведения
Перечень определений и условных обозначений
Рассматриваются только конечные группы. Ниже мы приводим известные определения и понятия, которые существенно используются в работе.
/> – простое число;
/> – группа;
/> – класс групп;
/> – некоторое множество простых чисел;
/> – дополнение к /> во множестве всех простых чисел;
/> – множество всех различных простых делителей порядка группы G;
/> – множество всех различных простых делителей порядков групп, которые принадлежат />;
/> – формация;
/> – класс всех нильпотентных групп;
/> – класс всех нильпотентных />-групп;
/> – класс всех нильпотентных />-групп;
1.1.1 О п р е д е л е н и е. Подгруппа />группы />называется факторизуемой относительно />если />и />
1.1.2 О п р е д е л е н и е. Группа />называется динильпотентной, если />где />и />– нильпотентные подгруппы группы />
1.1.3 О п р е д е л е н и е. Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.
1.1.4 О п р е д е л е н и е. Холловой подгруппой конечной группы называют подгруппу, порядок и индекс которой взаимно просты.
1.1.5 О п р е д е л е н и е. Минимальной нормальной подгруппой группы />называется нормальная подгруппа />группы />такая, что />и в />нет нетривиальных нормальных подгрупп группы /> продолжение
--PAGE_BREAK--
1.1.6 О п р е д е л е н и е. Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы />называется подгруппой Фиттинга группы />. Обозначается через />
1.1.7 О п р е д е л е н и е. Группа />дисперсивна, если она обладает нормальным рядом, факторы которого изоморфны силовким подгруппам.
1.1.8 О п р е д е л е н и е. Формацией называется класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
1.1.9 О п р е д е л е н и е. Формация называется насыщенной, если она является насыщенным классом, т.е. если />/>то />
1.1.10 О п р е д е л е н и е. Класс />называется примитивно замкнутым классом, если все примитивные факторгруппы группы />принадлежат />, то />
1.1.11 О п р е д е л е н и е. Классом Шунка называется класс групп, который одновременно замкнут относительно факторгрупп и является примитивно замкнутым классом.
1.1.12 О п р е д е л е н и е. Если />– подгруппа группы />и />то />называется />-подгруппой.
1.1.13 О п р е д е л е н и е. />-максимальной подгруппой группы />называется такая />-подгруппа />группы />которая не содержится ни в какой большей />-подгруппе.
1.1.14 О п р е д е л е н и е. Пусть />– некоторый класс групп. Подгруппа />группы />называется />-проектором, если выполнены условия: />и из того, что />, а />, всегда следует />
1.1.15 О п р е д е л е н и е. Подгруппу />группы />назовем />-картеровой подгруппой, если />/>-нильпотентна, />и />содержит некоторую />-холловскую подгруппу группы />.
1.1.16 О п р е д е л е н и е. Подгруппу />группы />назовем />-гашюцевой подгруппой, если />/>-сверхразрешима, содержит некоторую />-холловскую подгруппу группы />и для />индекс />есть составное число.
1.1.17 О п р е д е л е н и е. Пересечение всех нормальных подгрупп группы />факторгруппы по которым принадлежат />обозначают через />и называют />-корадикалом группы />
1.1.18 О п р е д е л е н и е. />-класс Шунка – класс Шунка, для которого из условия />, всегда следует />.
Факторизуемые подгруппы произведений конечных групп
В настоящем разделе излагается подробно теория факторизуемых подгрупп теории конечных групп, взятая из [32] c точными ссылками на работы авторов приведенных результатов.
1.2.1 Л е м м а. Пусть />– некоторая группа, />и />– ее подгруппы. Подгруппы />и />перестановочны тогда и только тогда, когда произведение />является подгруппой группы />.
(Говорят, что непустые множества /> и /> элементов группы перестановочны, если />.)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть подгруппы /> и /> перестановочны. Тогда, очевидно
/>
/>(Если /> – непустое множество элементов некоторой группы, то, как обычно, />.)
С учетом последних соотношений множество /> является подгруппой группы />.
Достаточность. Пусть подмножество /> является подгруппой. Тогда, очевидно, /> т.е. подгруппы /> и /> перестановочны.
Лемма доказана.
1.2.2 О п р е д е л е н и е. Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />. Если />, то будем говорить, что подгруппа />факторизуема относительно разложения /> продолжение
--PAGE_BREAK--
1.2.3 Л е м м а (Виландт[4]). Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />; />– некоторая подгруппа группы />и />– нормализатор подгруппы />в />. Подгруппа />факторизуема относительно разложения />если выполняется следующее условие:
(*) всякий раз, когда для элементов /> и />
/>
элементы /> и /> содержатся в />.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполняется условие (*), /> и /> – произвольные элементы соответственно из /> и />, для которых />. Тогда выполняется соотношение (1) и, следовательно, /> и /> Поэтому ввиду произвольности элементов /> и />/> и, значит, />. Лемма доказана.
1.2.4 Л е м м а. Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />; />– подгруппа, порожденная некоторыми инвариантными подгруппами соответственно групп />/>и />и />– нормализатор подгруппы />в />. Подгруппа />факторизуема относительно разложения />тогда и только тогда, когда выполняется условие (*) из формулировки леммы 1.2.3.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если условие (*) выполняется, то по лемме 1.2.3 подгруппа /> факторизуема относительно разложения /> Пусть подгруппа /> факторизуема относительно разложения />/> и /> – какие-нибудь элементы соответственно из подгрупп /> и />, такие, что выполняется соотношение (1). Поскольку /> то для некоторых элементов /> и /> Отсюда получаем
/>
/>
Очевидно, /> Поэтому с учетом соотношений (2) /> и /> Лемма доказана.
1.2.5 Л е м м а. Пусть />– группа, />– ее подгруппа и />– элемент группы />некоторая натуральная степень которого содержится в />. Тогда подгруппа />не является истинной подгруппой группы />.
(Подгруппа, отличная от самой группы, называется ее истинной подгруппой.)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если бы /> была истинной подгруппой группы />, то она, как легко убедиться, была бы и истинной подгруппой группы /> при любом натуральном />, в том числе при />, для которого />, что невозможно. Лемма доказана.
1.2.6 Л е м м а. Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />Пусть, далее />– некоторые инвариантные подгруппы соответственно групп />/>– подгруппа, порожденная подгруппами />и />– нормализатор подгруппы />в />Подгруппа />факторизуема относительно разложения />если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1) ни для какого элемента /> подгруппа /> не является истинной подгруппой группы />
2) ни для какого элемента /> подгруппа /> не является истинной подгруппой группы />
3) подгруппа /> не изоморфна ни одной из своих истинных подгрупп (в частности, конечна;)
4) по крайней мере одна из фактор-групп /> и /> периодическая.
1.2.7 Л е м м а (Дедекинд). Пусть />– подгруппа группы />и />– подгруппа из />. Тогда для любой подгруппы />группы />выполняется соотношение
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> и /> – произвольные элементы соответственно подгрупп /> и />. Тогда /> и /> и, значит, />. Следовательно, /> С другой стороны, если /> для некоторых элементов /> и /> то /> и, значит, /> Следовательно, /> Итак, соотношение (3) выполняется. Лемма доказана.
1.2.8 Л е м м а (С.Н. Черников [17]). Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />, и />– подгруппа группы />, содержащая />. Тогда />
1.2.9 Л е м м а (Сесекин [18]). Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />; />– некоторая инвариантная подгруппа группы />/>и />Тогда выполняются соотношения
/>
Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая, что /> и /> и используя лемму 1.2.7, получаем
/>
/>
Покажем, что /> Так как /> и />, то /> Пусть /> – произвольный элемент из /> и /> где /> и /> Тогда /> значит, /> Поэтому ввиду произвольности />/> Следовательно, с учетом соотношений (5) /> и, значит, /> Таким образом, все соотношения (4) выполняются. Лемма доказана.
1.2.10 Л е м м а. Пусть />– группа, разложимая в произведения
/>
некоторых подгрупп /> и /> и конечной подгруппы />. Тогда индексы подгруппы /> в группах />, /> и /> конечны и выполняются соотношения
/>
/>
/>
Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом соотношений (6), очевидно,
/>
/>
Поэтому
/>
/>
/>
/>
Лемма доказана.
1.2.11 Л е м м а. Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />пересечение которых периодическое, и />– локально конечная подгруппа группы />порожденная некоторым множеством конечных инвариантных подгрупп группы />и />Тогда />
1.2.12 Л е м м а. Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />; />– конечная подгруппа группы />, порожденная некоторыми инвариантными подгруппами групп />/>и />/>и />– нормализатор подгруппы />в />. Тогда найдутся, перестановочные подгруппы />и />каждая из которых может быть порождена не более чем />элементами, такие, что
/>
/>
Примечание. В случаях, когда подгруппа /> инвариантна в /> и когда она порождена некоторой инвариантной подгруппой группы /> и некоторой инвариантной подгруппой группы />, существование перестановочных подгрупп /> и /> каждая из которых порождена не более чем /> элементами, таких, что /> установил Кегель [19] (см. в [19] лемму 1.3 и ее доказательство.) продолжение
--PAGE_BREAK--
1.2.13 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />/>и />– некоторые подгруппы конечных индексов соответственно групп />и />/>– подгруппа, порожденная />и />Тогда индекс подгруппы />в />конечен.
1.2.14 Л е м м а (Амберг [21]). Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />с конечными фактор-группами />и />Тогда фактор-группа />конечна и
/>
1.2.15 С л е д с т в и е. Пусть />– группа, факторизуемая />попарно перестановочными подгруппами />, />с конечными фактор-группами />Тогда фактор-группа />конечна и />.
1.2.16 Л е м м а. Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />/>и />– некоторые непустые инвариантные множества элементов соответственно групп />и />Тогда для любых элементов />и />группы />найдется такой ее элемент />что />и />
1.2.17 Л е м м а (Виландт [16]). Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />Тогда для любых элементов />и />группы />во-первых, найдется такой ее элемент />что />и />и, во-вторых, выполняется соотношение />
1.2.18 Л е м м а (Виландт [16]). Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />/>– некоторая подгруппа группы />Следующие условия равносильны:
1) подгруппа /> факторизуема относительно разложения /> и содержит пересечение />
2) каковы бы ни были элементы /> и /> произведение /> содержится в /> в том и только том случае, когда элементы /> и /> содержатся в />
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполняется условие 1). Покажем, что выполняется условие 2).
Пусть /> и /> – элементы, для которых /> Так как подгруппа /> факторизуема относительно разложения /> то /> для некоторых элементов /> и /> Отсюда получаем
/>
и
/>
Итак, при условии 1) выполняется условие 2). Обратное очевидно. Лемма доказана.
1.2.19 С л е д с т в и е. Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />/>– подгруппа группы />содержащая пересечение />и факторизуемая относительно разложения />/>и />– некоторые подгруппы соответственно групп />и />содержащие пересечение />При этих условиях подгруппа />факторизуема подгруппами />и />тогда и только тогда, когда />и />
1.2.20 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть />– группа, факторизуема двумя подгруппами />и />. Тогда пересечение произвольной совокупности подгрупп группы />, факторизуемых относительно разложения />и содержащих пересечение />, является подгруппой, факторизуемой относительно этого разложения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> – факторизуемые относительно разложения /> подгруппы группы />, каждая из которых содержит пересечение /> Если для некоторых элементов /> и /> произведение /> содержится в /> то оно содержится и в каждой подгруппе/> Поэтому ввиду леммы 1.2.11 элементы /> и /> содержатся в каждой подгруппе /> и, значит, в /> Следовательно, снова ввиду леммы 1.2.11 подгруппа /> факторизуема относительно разложения /> Лемма доказана. продолжение
--PAGE_BREAK--
1.2.21 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />/>– ее подгруппа, факторизуемая относительно разложения />и содержащая пересечение />Тогда
/>
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> – произвольный элемент множества /> Тогда /> для некоторых элементов /> и /> Отсюда /> Так как произведение /> принадлежит /> и /> содержит пересечение /> то ввиду леммы 1.2.11 /> Поэтому элемент /> принадлежит /> Таким образом, /> следовательно, соотношение (4) выполняется. Лемма доказана.
1.2.22 Л е м м а (Амберг [20]). Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />/>– некоторая подгруппа группы />перестановочная с подгруппами />и />/>– пересечение всех подгрупп группы />факторизуемых относительно разложения />и содержащих подгруппы />и />/>и />Тогда выполняются соотношения
/>
1.2.23 Л е м м а. Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />/>– некоторая подгруппа группы />/>– пересечение всех подгрупп группы />факторизуемых относительно разложения />и содержащих подгруппы />и />Пусть для некоторой подгруппы />факторизуемой относительно разложения />и содержащей подгруппы />и />подгруппа />перестановочна с подгруппами />и />Тогда выполняются соотношения
/>
1.2.24 Л е м м а (Чунихин [22]). Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />; />– инвариантная подгруппа группы />, содержащаяся в пересечении />Тогда нормальное замыкание подгруппы />в />совпадает с ее нормальным замыканием в />
1.2.25 Л е м м а (Виландт [23], Хупперт [24], гл. IV, предложение 4.6). Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />; />– непустое множество простых чисел. Тогда если в группах />и />силовские />-подгруппы сопряжены (в часности, если />состоит из одного простого числа), то найдутся силовские и одновременно холловы />-подгруппы />и />соответственно групп />и />такие, что />
1.2.26 Л е м м а (Н.С. Черников [25], Зайцев [26]). Пусть />– конечная группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />; />и />– некоторые подгруппы соответственно групп />и />/>– подгруппа, порожденная подгруппами />и />Тогда выполняется следующее неравенство для индексов:
/>
1.2.27 Л е м м а (Виландт [23]). Пусть />– конечная группа, факторизуемая />попарно перестановочными нильпотентными подгруппами />/>Если произведение каждых двух подгрупп />является разрешимой группой, то группа />разрешима.
1.2.28 Л е м м а. Пусть группа />факторизуема двумя подгруппами – инвариантной подгруппой />и некоторой подгруппой />/>– непустое множество элементов подгруппы />такое, что />Тогда выполняются соотношения
/>
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
1.2.30 Л е м м а (Н.С. Черников [27]). Пусть />– конечная группа, разложимая в произведения />некоторых подгрупп />и />и нильпотентной подгруппы />/>– подгрупа группы />содержащая />такая, что пересечения />и />нильпотентны. Тогда если подгруппы />и />инваривнтны соответственно в />и />то их нормальные замыкания в />нильпотентны.
1.2.31 Л е м м а. Произвольная группа, которая может быть получена каким-нибудь конечным множеством своих субнормальных нильпотентных подгрупп конечного индекса, нильпотентна.
1.2.32 Т е о р е м а (Ф. Холл [28]). Для произвольной конечной разрешимой группы />справедливо утверждение: при любом непустом множестве />простых чисел силовские />-подгруппы группы />сопряжены в ней и являются ее холловыми />-подгруппами.
1.2.33 Т е о р е м а (Ф. Холл [28,30], Чунихин [29]).
1) Конечная группа /> обладающая для любого /> холловой />-подгруппой, разрешима.
2) Конечная группа /> представимая в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных />-подгрупп по разным простым /> (или, что равносильно, обладающая полной силовской базой, представимая в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных примарных подгрупп), разрешима.
1.2.34 Т е о р е м а (Ф. Холл [28,30]). Конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда она разложима в произведение попарно перестановочных />-подгрупп по разным простым />
1.2.35 Т е о р е м а (Кегель [31] – Виландт [4]). Конечная группа, представимая в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных нильпотентных подгрупп, разрешима.
1.2.36 Т е о р е м а. Пусть />– некоторое множество простых чисел; />– группа, факторизуемая подгруппами />и />где />– />-группа, а />такова, что />Тогда />является силовской />-подгруппой группы />
1.2.37 Л е м м а. Пусть />– группа, факторизуемая двумя подгруппами />и />где />– />-, а />– />-подгруппа группа />Если в />все силовские />-подгруппы или все силовские />-подгруппы сопряжены, то />
1.2.38 Л е м м а (Гардинер, Хартли, Томкинсон [33]). Пусть />– группа, />– ее инвариантная подгруппа, />– />-подгруппа группы />для некоторого непустого множества />простых чисел. Если />является силовской />-подгруппой группы />и />– силовской />-подгруппой группы />то />является силовской />-подгруппой группы />
1.2.39 Т е о р е м а (С.Н. Черников [34, 35]). Группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами, конечными над своими центрами, разрешима.
Строение групп, представимых в произведение ди-/>-разложимых групп
Строение примитивных ди-/>-разложимых групп
2.1.1 Л е м м а. Пусть группа />есть произведение своих подгрупп />и />, />– некоторое множество простых чисел. Тогда справедливы следующие утверждения.
1) пусть /> является />-группой, а /> и /> – />-группами. Тогда найдутся холловы />-подгруппы /> и /> подгрупп /> и /> соответственно такие, что /> есть холлова />-подгруппа />;
2) если подгруппы /> и />/>-замкнуты, то />.
2.1.2 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]). Пусть />– ненильпотентная разрешимая группа, где />и />– />-разложимые подгруппы группы />. Если />имеет единственную минимальную нормальную подгруппу />, где />и />, то справедливы следующие утверждения: продолжение
--PAGE_BREAK--
1) />;
2) />;
3) если />, то /> является />-группой, а /> – />-группой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим справедливость утверждения 1). Так как /> ненильпотентна, /> и /> – минимальная нормальная подгруппа в />, то в /> найдется максимальная подгруппа /> такая, что />. Из единственности /> и /> следует, что />, т.е. />. Кроме того, />.
Ввиду 1) леммы 2.1.1 в /> и /> существуют холловы />-подгруппы /> и /> соответственно и силовские />-подгруппы /> и /> соответственно такие, что /> есть холлова />-подгруппа, а /> есть силовская />-подгруппа группы />.
По условию /> и />. Поэтому
/>
Откуда />, так как />. Но />. Значит, />.
Рассмотрим пересечение />. Так как />, /> – />-группа и все дополнения к /> в /> сопряжены, то можно считать, что />. Возьмем подгруппу Фиттинга /> подгруппы />. Поэтому,
/>. Следовательно, /> – />-группа. Так как />, то />. Поэтому />. Отсюда и из /> следует, что />. Заметим, что /> является силовской />-подгруппой в />. Поэтому />. Ввиду минимальности /> либо />, либо />. Случай /> невозможен, так как />. Поэтому />, т.е. />. Теперь из />, /> и /> получаем, что /> – />-группа. Из />-разложимости /> и /> следует, что />. Но тогда />. Это означает, что />.
Теперь из /> и />, ввиду /> и /> получаем, что />. Утверждение 1) доказано.
Докажем 2). Исследуем пересечения /> и />. Заметим, что
/>
и
/>
где /> и />. Покажем, что />. Допустим противное. Если /> делит />, то в /> найдется />-подгруппа />. Так как />, то
/>
есть />-разложимая группа. Аналогично, /> – />-разложимая группа. Отсюда и из того, что /> и /> есть холловы />-подгруппы в /> и /> получаем, что />. По доказанному выше подгруппа Фиттинга /> из /> и /> являются />-группами. Следовательно, />. Противоречие. Тогда /> есть />-группа. Это невозможно, так как />. Итак, />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Покажем, что />. Так как />, то />. С другой стороны
/>
Значит, />, т.е. />.
Итак, />. Обозначим /> и />. Так как />, то />. Из />-разложимости /> и /> следует, что /> и />. Тогда />. Ввиду того, что />, имеем
/>
Значит, /> и />.
Покажем, что /> и /> являются нормальными подгруппами группы />. Так как /> и /> – />-разложимы и />, то по 2) леммы 2.1.1 получаем />. Так как /> – />-группа и />, то />. Значит, />, т.е. />. А значит, />. Из /> следует, что />. Отсюда и из /> получам, что />. Аналогично />. Отсюда подгруппа /> нормализует />, а /> нормализует />. Следовательно, холлова />-подгруппа /> группы /> нормализует подгруппы /> и />. Так как />, то /> нормализует />. Далее, если />, то />. Таким образом, и /> нормализует />. Следовательно, силовская />-подгруппа /> группы /> нормализует />. Тогда /> нормальна в />. Аналогично доказывается, что />.
Из минимальности /> следует, что либо />, либо />. Рассматривая отдельно случаи />, /> и />, />, нетрудно видеть, что />. Утверждение 2) доказано.
Установим справедливость 3). Пусть />. Из />-разложимости /> и /> следует, что />. Тогда /> является холловой />-подгруппой группы />. Из /> и />-разложимости /> следует, что />. По доказанному выше (см. доказательство утверждения 1)) /> – />-группа. Следовательно, />. Итак, /> является силовской />-подгруппой, а /> – холловой />-подгруппой группы />. Лемма доказана.
Некоторые признаки приналежности насыщенной формации ди-/>-разложимых групп
2.2.1 О п р е д е л е н и е. Пусть />– непустая формация. Подгруппа />группы />называется:
1) />-субнормальной в />, если либо />, либо существует максимальная цепь подгрупп /> такая, что /> для всех /> (обозначается />);
2) />-достижимой в />, если существует цепь подгрупп /> такая, что либо подгруппа /> субнормальна в />, либо /> для любого /> (oбозначается />).
Нам потребуются известные свойства />-достижимых и />-субнормальных подгрупп, которые собраны в следующих леммах.
2.2.2 Л е м м а. Пусть />– непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если /> – подгруппа группы /> и />, то />; продолжение
--PAGE_BREAK--
2) если />/>, /> – подгруппа из />, то /> (сответственно />
3) если /> и />/>-субнормальны (/>-достижимы) в />, то />/>-субнормальна (соответственно />-достижима) в />;
4) если все композиционные факторы группы /> принадлежат формации />, то каждая субнормальная подгруппа группы /> является />-субнормальной;
5) если />/>, то /> (соответственно />) для любого />.
2.2.3 Л е м м а. Пусть />– непустая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если />/> и />, то /> (соответственно />
2) если />/> и />, то /> (соответственно />
3) если />/> и />/>, то /> (соответственно />).
2.2.4 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]). Пусть />– насыщенная наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны.
1) если />, где /> и /> – />-достижимые нильпотентные подгруппы группы /> и />, то группа />;
2) если />, где /> и /> – />-субнормальные нильпотентные подгруппы группы /> и />, то группа />;
3) любая бипримарная минимальная не />-группа является дисперсивной.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетрудно видеть, что всякая />-субнормальная подгруппа в /> является />-достижимой. Поэтому из 1) следует 2).
Докажем, что из 2) следует 3). Пусть /> – бипримарная минимальная не />-группа. Предлоложим, что /> недисперсивна. Так как /> разрешима и ненильпотентна, то />. Так как /> – собственная подгруппа из />, то найдется /> и силовская />-подгруппа /> из /> такая, что />. Но тогда />, где /> и /> – некоторая максимальная подгруппа из />. Из /> следует, что />, а значит, />. Следовательно, />. Отсюда и из 1) леммы 2.2.2 следует, что любая силовская />-подгруппа из /> является />-субнормальной в />. Если /> – какая-либо силовская />-подгруппа группы />, />, то из недисперсивности /> следует, что />. Из /> и наследственности формации /> вытекает, что />. Ввиду 2) леммы 2.2.3 получаем, что />. Так как /> и />, то />. Отсюда и из наследственности формации /> следует, что />. Из 3) леммы 2.2.3 вытекает, что />. Таким образом, /> факторизуется своими />-субнормальными силовскими подгруппами. Очевидно, />. Поэтому по 2) теоремы 2.2.4 />. Противоречие с />. Следовательно, /> дисперсивна.
Докажем, что из 3) следует 1). Пусть группа /> – наименьший по порядку контрпример к утверждению 1) теоремы. Тогда />, где /> и />, /> – />-достижимые />-подгруппы в />, но сама группа /> не принадлежит формации />. По теореме Виландта-Кегеля /> разрешима. Если /> нильпотентна, то из насыщенности /> и /> следует, что />. Противоречие с выбором группы />. Следовательно, /> ненильпотентна. Пусть /> – минимальная нормальная подгруппа группы />. Тогда ввиду 1) леммы 2.2.3 все условия утверждения 1) теоремы 2.2.4 сохраняются для факторгруппы />. Поэтому в силу выбора /> получаем, что />. Так как /> – формация, то /> – единственная минимальная нормальная подгруппа группы />. Из насыщенности /> следует, что />. Тогда />, где /> – />-группа (/> – некоторое простое число) и /> для некоторой максимальной подгруппы /> группы />. продолжение
--PAGE_BREAK--
По 3) теореме 2.1.2, не теряя общности рассуждений, можно считать, что /> – силовская />-подгруппа, а /> – холлова />-подгруппа группы />. Ясно, что />. Пусть /> – произвольная собственная подгруппа группы />. По теореме Холла />, где /> – силовская />-подгруппа, а /> – холлова />-подгруппа группы />. Заметим, что />, а /> для некоторых элементов />. Следовательно, /> динильпотентна с нильпотентными факторами /> и />. Далее из /> и /> следует по 3) леммы 2.2.3, что /> и />. Из /> и насыщенности /> вытекает, что /> и />. Тогда по 2) леммы 2.2.2 /> и />. Следовательно, ввиду выбора /> получаем, что />. Итак, /> – минимальная не />-группа. Покажем, что /> бипримарна. Так как все дополнения к /> в /> сопряжены, то можно считать, что />. Тогда из /> и /> следует, что />. Значит,
/>. Следовательно, /> является />-группой. Покажем, что /> – />-группа, где /> – некоторое простое число, отличное от />. Предположим, что /> и />. Тогда найдутся подгруппы /> и /> в /> такие, что /> и />, где /> – силовская />-подгруппа, а /> – холлова />-подгруппа из />. Рассмотрим подгруппы />, />. Так как />, то />, />. Так как по условию формация /> насыщена, то она является локальной. Пусть /> – максимальный внутренний локальный экран формации />, который существует и единственен. Ввиду /> и /> получаем />. Следовательно, /> – />-группа, />. Из /> и /> получаем, что />, />. Значит, /> – наследственная формация. Поэтому />, />. Заметим, что />. Аналогично, />. Но тогда />. Из /> и /> следует, что />. Получили противоречие с выбором />.
Итак, /> – примарная группа, а значит, /> бипримарна. По 3) теоремы 2.2.4 /> дисперсивна. Следовательно, /> – максимальная подгруппа группы />. Так как />, то />. Это означает, что /> – />-абнормальная максимальная подгруппа группы />. Ясно, что подгруппа /> ненормальна в />. Получили противоречие с />. Итак, наше допущение неверно. Теорема доказана.
Пусть /> – формация всех сверхразрешимых групп. Подгруппа /> разрешимой группы /> является />-субнормальной в /> тогда и только тогда, когда либо />, либо существует максимальная цепь подгрупп /> такая, что /> – простое число для любого />.
2.2.5 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]). Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда её можно представить в виде произведения двух своих нильпотентных />-субнормальных подгрупп.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> сверхразрешима. Тогда коммутант /> нильпотентен. Возьмем добавление /> к /> в />. Следовательно,
/>
Отсюда и из
/>
получаем, что />. Итак, />, где /> и /> – нильпотентные />-субнормальные подгруппы группы />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Обратное утверждение следует из теоремы 2.2.4 ввиду того, что любая минимальная несверхразрешимая бипримарная подгруппа является дисперсивной.
2.2.6 Т е о р е м а. Пусть />– наслественная насыщенная формация, причем />и />– ди-/>-разожимая группа. Тога справиливы следующие утверждения:
1) если />/> и /> то />
2) если />/> и /> то />
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Докажем утверждение 1). Пусть группа /> – наименьший по порядку контрпример к утверждению 1) теоремы. Тогда /> – ди-/>-нильпотентная группа, где /> и /> нормальна в />, /> – />-достижимая подгруппа в />, но сама группа /> не принадлежит формации />. Если /> нильпотентна, то из насыщенности /> и /> следует, что />. Противоречие с выбором группы />.
Пусть /> ненильпотентна и /> – минимальная нормальная подгруппа группы />. Тогда ввиду 1) леммы 2.2.3 все условия утверждения 1) теоремы 2.2.4 сохраняются для факторгруппы />. Поэтому в силу выбора /> получаем, что />. Тогда />, где /> – />-группа (/> – некоторое простое число) и /> для некоторой максимальной подгруппы /> группы />.
Если /> то из /> и /> следует, что /> Противоречие с выбором /> Будем считать, что /> По 3) теоремы 2.1.2 можно считать, что /> – силовская />-подгруппа, а /> – холлова />-подгруппа группы /> либо /> – холлова />-подгруппа, а /> – силовская />-погруппа.
Рассмотрим вначале первый случай. Тогда /> и /> Так как все дополнения к /> в /> сопряжены, то можно считать, что /> Тогда из /> и /> следует, что />. Из /> и /> следует, что />. Следовательно, />. Так как />, то /> – />-абнормальная подгруппа в /> Ясно, что /> ненормальна в /> Получили противоречие с />-достижимостью подгруппы />
Рассмотрим второй случай. Пусть /> – силовская />-группа, а /> – холлова />-группа. В этом случае /> и /> причем /> Получили противоречие. Следовательно, /> и /> – нильпотентная />-группа. Снова получили противоречие. Так как любая />-субнормальная подгруппа является />-достижимой, то утверждение 2) следует из утверждения 1). Теорема доказана.
Факторизуемые подгруппы ди-/>-разложимых групп
/>-классы Шунка и их проекторы
Для доказательства основных результатов нам потребуются некоторые факты, получены в работе Васильевой Т.И. [34].
В каждой разрешимой группе />-полупроекторы сопряжены и совпадают с />-проекторами. Однако, в />-разрешимых группах указанное утверждение не всегда имеет место. Введение />-класса Шунка /> (т.е. класса Шунка, для которого из условия />, всегда следует />) дало возможность доказать сопряженность />-полупроекторов в />-разрешимых группах.
3.1.1 Л е м м а. Пусть />–/>-класс Шунка; />– нормальная />-подгруппа группы />; />– />-полупроектор />Тогда />является />-полупроектором группы />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду того, что /> и /> имеем /> Тогда по определению />-класса Шунка />
Предположим, что /> и />, где /> – произвольная нормальная в /> подгруппа. Тогда
/>
Из определения />-полупроектора получаем />
Лемма доказана.
3.1.2 Л е м м а. Пусть />–/>-класс Шунка; />– нильпотентная нормальная подгруппа />-разрешимой группы />и />Тогда:
1) существует такая максимальная />-подгруппа /> группы /> что />
2) любые две такие максимальные />-подгруппы /> и /> группы /> что /> сопряжены с помощью элемента из />
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду насыщенности /> можно считать, что /> не содержится в />. Поэтому, /> где /> есть добавление к /> в />. Следовательно, имеем />. Тогда
/>
так как />, поэтому />. Выбрав в /> максимальную />-подгруппу />, содержащую />, получаем 1).
Докажем 2) индукцией по />. Предположим, что />– группа наименьшего порядка, в в которой существуют такие максимальные />-подгруппы /> и />, что />, но /> и /> не сопряжены с помощью элемента из />. Тогда /> не принадлежит /> и найдется примитивная фактор-группа />, не принадлежащая />, при этом /> не содержится в /> и />.
Из примитивности /> следует существование максимальной подгруппы /> с ядром 1. Поскольку
/>
/>максимальна в /> и />, имеем />. Поэтому
/>
и
/>
Отсюда и из максимальности /> в /> получаем, что /> – минимальная нормальная подгруппа группы />.
Если /> – />-группа, то лемма 3.1.1 дает противоречие />. Значит, /> – абелева />-группа, />. Тогда и /> и /> – максимальные подгруппы в /> с единичными ядрами, />. Тогда имеем
/>
где />. Так как />, то найдутся такие />, что />.
Тогда /> Откуда />.
Рассмотрим />. Подгруппа />нильпотентна и нормальна в /> и /> – максимальные />-подгруппы в /> и />. По индукции найдется такой элемент />, что />. Лемма доказана.
3.1.3 Л е м м а. Пусть />– />-класс Шунка; />– />-разрешимая группа; />– нильпотентная нормальная подгруппа в />; />– />-полупроектор />и />–такая максимальная />-подгруппа группы />, что />. Тогда />– />-полупроектор группы />. продолжение
--PAGE_BREAK--
3.1.4 Л е м м а. Пусть />– />-класс Шунка; />– />-разрешимая группа; />– такой нормальный ряд группы />, что />– />– группа или нильпотентная группа, />. Подгруппа />группы />является />-полупроектором тогда и только тогда, когда />– максимальная />-подгруппа группы />.
3.1.5 Т е о р е м а. Пусть />– />-класс Шунка; />– />-полупроектор />-разрешимой группы />. Тогда />будет />-полупроектором и в любой содержащей его подгруппе />.
3.1.6 С л е д с т в и е. Для />-класса Шунка />в любой />-разрешимой группе понятия />-полупроектора и />-проектора совпадают.
Следующие две теоремы несут информацию о сопряженности и строении />-проекторов.
3.1.7 Т е о р е м а. Пусть />– />-класс Шунка; />– />-разрешимая группа; />и />– />-проекторы группы />; />– />-группа или нильпотентная группа. Тогда />и />сопряжены с помощью элемента из />
3.1.8 Т е о р е м а. Для />-класса Шунка />в каждой />-разрешимой группе любой />-проектор содержит некоторую />-холловскую подгруппу группы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> – />-разрешимая группа наименьшего порядка, для которой теорема неверна. Тогда в ней существует />-проектор />, который не содержит ни одной />-холловской подгруппы группы />. Выберем в /> минимальную нормальную подгруппу />. По индукции />-проектор /> содержит некоторую />-холловскую подгруппу /> группы />. Тогда />-холловская подгруппа /> группы /> содержится в />. Если /> – />-группа, то /> и, используя лемму 1, получаем />. Противоречие. Поэтому /> – абелева />-группа для некоторого />. Тогда /> для />, что противоречит выбору /> Теорема доказана.
Следующая теорема указывает на существование и сопряженность подгрупп, являющихся обобщением подгрупп Картера в />-разрешимой группе.
3.1.9 Т е о р е м а. Любая />-разрешимая группа />обладает по крайней мере одной />-картеровой подгруппой и любые две из них сопряжены в />
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> – класс />-нильпотентных групп. Так как /> является насыщенной формацией и из условия /> всегда следует, что />, то /> есть />-класс Шунка.
Пусть /> – />-проектор группы />. Тогда />/>-нильпотентна и по теореме 3 содержит некоторую />-холловскую подгруппу группы />. Для /> можно выбрать такую подгруппу />, содержащую />, что /> – нильпотентная группа. Тогда />. Так как /> является />-проектором />, то />. Но тогда />. Противоречие. Следовательно, />. Первая часть теоремы доказана.
Пусть теперь /> – />-картерова подгруппа группы />. Покажем, что /> есть />-проектор />. Пусть />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Предположим, что />. Тогда в /> существует такая максимальная подгруппа />, что />. Так как некоторая />-холловская подгруппа /> группы /> содержится в /> и />/>-нильпотентна, то /> является нильпотентной группой. Поэтому максимальная подгруппа
/>
Следовательно, />. Для любого /> подгруппа /> является />-картеровой подгруппой группы />, а значит, и /> По индукции для /> теорема верна, поэтому /> и /> сопряжены в />. Тогда по обобщенной лемме Фраттини />, что противоречит тому, что /> и />. Значит, /> т.е. /> есть />-проектор />. Так как любые два />-проектора сопряжены в /> то этим доказательство теоремы завершено.
Следующая теорема указывает на существование и сопряженность подгрупп, являющихся обобщением подгрупп Гашюца в />-разрешимой группе.
3.1.10 Т е о р е м а. Любая />-разрешимая группа />обладает />-гашюцевой подгруппой и любые две из них сопряжены в />.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /> – класс />-сверхразрешимых групп. Так как /> является насыщенной формацией, то /> – класс Шунка. Если />, то и />, так как /> Поэтому есть />-класс Шунка. м
Пусть /> – />-просктор группы />. Тогда />/>-свсрхразрешима и по теореме 3 содержит некоторую />-холловскую подгруппу группы />. Предположим, что /> и /> – простое число. Возьмем в /> минимальную нормальную подгруппу /> Тогда
/>
и /> – самоцентрализуемая подгруппа в />. Поэтому
/>
изоморфна подгруппе циклической группы />. Таким обрaзом, /> сверхразрешима, т.е. принадлежит />. Так как /> – />-проектор />, то получаем />. Противоречие. Следовательно, если />, то /> есть составное число. Первая часть теоремы доказана.
Пусть /> – />-гашюцева подгруппа группы />. Пусть /> и />. Предположим, что />. Тогда /> содержится в некоторой максимальной подгруппе /> группы />. Так как /> является максимальной подгруппой />-сверхразрешимой группы /> и /> содержит />-холловскую подгруппу группы />, то /> для некоторого />, что дает противоречие />. Значит /> т.е. /> есть />-проектор группы />. Так как любые два />-проектора сопряжены в />, то этим доказательство теоремы завершено.
Проекторы произведений ди-/>-разложимых групп
3.2.1 Т е о р е м а. Пусть />– />-класс Шунка, />/>– произведение />-разложимых подгрупп />и />группы />причем
/>Тогда в /> имеется факторизуемый относительно />/>-проектор.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что теорема не верна. Пусть /> – ди-/>-разложимая группа такая, что любой />-проектор группы /> не факторизуется относительно /> продолжение
--PAGE_BREAK--
Пусть /> – минимальная нормальная подгруппа группы />. Тогда для фактор-группы /> утверждение теоремы выполняется. Следовательно, существует /> – />-проектор группы /> который факторизуется относительно /> то есть
/>
и
/>
Отсюда следует, что /> и /> Тогда /> Откуда /> т.е. /> факторизуется относительно />
Пусть /> – некоторый />-проектор группы />. Тогда /> является />-проектором группы /> и /> Рассмотрим два случая.
1) /> Тогда /> – ди-/>-разложимая группа и для /> все условия теоремы выполняются. Поэтому найдется такой />, что /> – факторизуемый />-проектор группы />, т.е. /> и /> Следовательно, /> – факторизуемый />-проектор относительно />
2) Пусть /> для любой минимальной нормальной подгруппы /> и любого />-проектора /> группы />. Так как />, то />.
Если /> – не примитивная группа, то ее любая примитивная факторгруппа принадлежит />. Так как /> – класс Шунка, то /> и /> является своим />-проектором. Получили противоречие с выбором />.
Пусть /> – примитивная группа. Тогда по теореме Бэра /> имеет единственную минимальную нормальную подгруппу /> такую, что /> – />-группа, /> – некоторое простое число. /> и />, где /> – некоторая максимальная подгруппа группы />. Ясно, что /> и /> является />-проектором группы />.
Пусть />. Тогда из того, что /> – />-класс Шунка, следует />. Противоречие с выбором />.
Остается принять, что /> Следовательно, /> является силовской />-подгруппой, а /> – />-холловской подгруппой.
Следовательно, /> поэтому найдется /> такой что /> факторизуется относительно />
Теорема доказана.
Так как всякая насыщенная формация является классом Шунка, то справедливо следующее:
3.2.2 С л е д с т в и е. Пусть />– насыщенная формация, причем />Если />– ди-/>-разложимая группа, причем />то в />имеется хотя бы один факторизуемый относительно />/>-проектор.
3.2.3 О п р е д е л е н и е. Подгруппу />группы />назовем />-картеровой подгруппой, если />/>-нильпотентна, />и />содержит некоторую />-холловскую подгруппу группы />.
3.2.4 С л е д с т в и е. Пусть />– ди-/>-разложимая группа. Тогда в />имеется хотя бы одна факторизуемая относительно />/>-картерова подгруппа.
3.2.5 О п р е д е л е н и е. Подгруппу />группы />назовем />-гашюцевой подгруппой, если />/>-сверхразрешима, содержит некоторую />-холловскую подгруппу группы />и для />есть составное число. продолжение
--PAGE_BREAK--
3.2.6 С л е д с т в и е. Пусть />– ди-/>-разложимая группа. Тогда в />имеется хотя бы одна факторизуемая относительно />/>-гашюцева подгруппа.
Заключение
Трудно представить себе в настоящее время теорию групп без вопросов, относящихся к группам, разложимым в произведение своих подгрупп.
Вот уже на протяжении свыше 70-ти лет исследования в абстрактной теории бесконечных групп продолжают интенсивно развиваться, причем темп и глубина исследований возрастают по мере удаления от момента получения основопологающих результатов. Самое удивительное в развитии этой теории то, что ни одно из основных ее направлений, возникших в 30–40-х годах XX в., не утратило значения до настоящего времени. Более того, на их основе возникают новые перспективные ответвления в теории групп, со временем превращающиеся в самостоятельные направления.
Получено немало важных результатов. Они отражены в ряде обзоров (см., например, Чунихин [6, 7], Азлецкий [8, 9], Кострикин [10], Чунихин, Шеметков [11], Мазуров [12], Казарин [13]).
В настоящей работе были исследованы свойства конечных разрешимых групп, представимых в произведение своих двух />-разложимых подгрупп.
В классе всех конечных разрешимых групп, когда /> где /> – класс Шунка, и если /> – ди-/>-разложимая группа, причем />, то был получен следующий результат: в /> имеется хотя бы один факторизуемый относительно />/>-проектор.
Результаты настоящего диплома являются новыми и могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов на математических специальностях в высших учебных заведениях.
Литература
35 Frobenius G., Stickelberger L. Uber Gruppen von vertauschbaren Elementen // J. Reine Angew. Math. – 1879. – 86, N4, S.217–262.
35 Huppert B. Uber das Produkt von paarweise vertauschbaren zyklischen Gruppen. // Math. Z. – 1953. – 58, N3. – S. 243–264.
35 Amberg B., Hofling B. // Arch. Math. – 1994. – V.63. – P. 1–8.
35 Wielandt H. Uber Produkte von nilpotenten Gruppen. // III.J. Math. – 1958. – 2, N4B. – S.611–618.
35 Васильев А.Ф. Новые свойсва конечных динильпотентных групп // Вести НАН Беларуси. – 2004. – N 2. – C.29–33.
35 Чунихин С.А. О некоторых направлениях в развитии теории конечных групп за последние годы. // Успехи мат. наук. – 1961. – 16, N4. – С. 31–50.
35 Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. – Мн: Наука и техника, 1964. – 158с.
35 Азлецкий С.П. О факторизации конечных групп. // Мат.зап. Урал.ун-та. – 1962. – 3, N3. – С. 3–17.
35 Азлецкий С.П. О факторизации конечных групп. // Мат.зап. Урал.ун-та. – 1966. – 5, N3. – С. 3–14.
35 Кострикрн А.И. Конечные группы. В кн.: Алгебра – 1964 (Итоги науки). – М: ВИНИТИ АН СССР. – 1966. – С.7–46.
35 Чунихин С.А., Шеметков Л.А. Конечные группы. В кн.: Алгебра, Топология. Геометрия 1969 (Итоги науки). – М: ВИНИТИ АН СССР. – 1964. – 154, N3. – С.7–70.
35 Мазуров В.Д. Конечные группы. В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия 1976 (Итоги науки и техники). – М: ВИНИТИ АН СССР. – 1977. – С.5–56.
35 Казарин Л.С. Группы с факторизацией. – Ярославль, 1981.–79с.–Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 3900–81 Деп.
35 Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. – Гомель, 2003.
35 Шеметков Л.А. Формации конечных групп. – М: Наука, 1978. – С.165–204.
35 Ballester-Bolinches A., Perez-Ramos M.D. // J. Algebra. – 1996. – V. 179. – P. 905–917.
35 Черников С.Н. О дополняемости силовских П-подгрупп в некоторых классах конечных групп // Мат.сб. – 1955. – 37, N3. – С.557–566.
35 Сесесекин Н.Ф. О произведении финитно связанных абелевых групп // Сиб.мат. журн. – 1968. – 9, N6. – С.1427–1430.
35 Kegel O.H. On the solvability of some factorized linear groups // III.J. Math. – 1965. – 9, N3. – P. 535–547.
35 Amberg B. Artinian and Noetherian factorized groups // Rend. Semin Math. Univ. Padova/ – 1976 – 55/ – P. 105–122.
35 Amberg B. Soluble products of two locally finite groups with min-/> for every prime /> // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. – 1983. – 69. – P.7–17.
35 Чунихин С.А. О существовании подгрупп у конечной группы. В кн.: Труды семинара по теории групп. – М.; Л.: ГОНТИ. – 1938. – С. 106–125.
35 Wielandt H. Uber das Produkt von paarweise vertauschbaren nilpotenten Gruppen // Math.Z. – 1951. – 55, N1. – S.1–7.
35 Huppert B. Endliche Gruppen.I. – Berlin etc.: Springer, 1967. – 795s.
35 Черников Н.С. О факторизациях локально конечных групп // Сиб. мат. журн. – 1980. – 21, N6. – С.186–195.
35 Зайцев Д.И. Факторизации полициклических групп // Мат. заметки. – 1981. – 29, N4. – С.481–490.
35 Черников Н.С. Произведения групп конечного свободного ранга. В кн.: Группы и системы их подгрупп. Киев: Ин-т математики АН УССР. – 1983. – С.42–56.
35 Hall Ph. On the Sylow system of a soluble groups // Proc. London. Math. Soc. – 1937. – 43, N5. – Р.316–323.
35 Чунихин С.А. О разешимых группах // Изв. НИИ математики и механики Том. ун-та. – 1938. – 2. – С.220–223.
35 Hall Ph. A characteristic property of soluble groups // Ibid. – 1937. – 12, N 47. – Р.198–220.
35 Kegel O.H. On the solvability of some factorized linear groups // III. J. Math. – 1965. – 9, N3. – Р.535–547.
35 Черников Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. – Киев: Навукова думка, 1987. – С.17–59.
35 Gardiner A.D., Hartley B., Tomkinson M.J. Saturated formations and Sylow structure in locally finite groups // J. Algebra. – 1971. – 17, N2. – Р.177–211.
35 Васильева Т.И. (Островская Т.И.) – В кн.: Вопросы алгебры. Мн: изд-во «Университетское». – 1985. – 1. – С.57–62. Докл. АН СССР. – 1980. – 255, N3. – С.537–539.
35 Черников Н.С. О произведении почти абелевых групп // Укр. мат. журн. – 1981. – 33, N1. – С.136–138.