Контрольная работа
Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл, где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой, необходимо определить эту площадь.
Можно разбить всю фигуру на полоски, одной и той же ширины, а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле
,
где, (i=0,1,…,n-1).
Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры. Эта приближенная формула и называется формулой прямоугольников.
На практике обычно берут; если соответствующую среднюю ординату обозначить через, то формула перепишется в виде
.
Геометрические соображения приводят и к другой приближенной формуле. Заменим данную кривую вписанной в нее ломаной, с вершинами в точках (xi,yi), где (i=0,1,…,n-1). Тогда наша криволинейная фигура заменится другой, состоящей из ряда трапеций.
Если по-прежнему считать, что промежуток [a,b] разбит на равные части, то площади этих трапеций будут
…,
Складывая, придем к новой приближенной формуле
.
Это так называемая формула трапеций.
При возрастании n до бесконечной погрешности формулы прямоугольников и формулы трапеций безгранично убывают. Таким образом, при достаточно большом n обе эти формулы воспроизводят искомое значение интеграла с произвольной степенью точности.