М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Полевнутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничиваютобласть, где должны решаться уравнения электростатики. На поверхностипроводника φ = const (эквипотенциальность). Это достигается индуцированиемзависящей от координаты поверхностной плотности заряда σ. Полеортогонально к поверхности проводника, но не обязательно однородно. Зарядσ на поверхности связан с полем как σ = ε0E.
Методизображений состоит в замене системы «заряды + проводящаяповерхность» на систему «заряды + изображения». Правилапостроения изображений обеспечивают эквипотенциальность требуемой поверхности.Для точечного заряда q, расположенного на расстоянии l от плоскости или центрасферы, а также для прямой нити λ, расположенной на расстоянии l от осицилиндра:
/>
/>плоскость q → q' = –q, l → l' =l
заземленнаясфера q → q' = –qR/l, l → l' = R2/l
цилиндрλ → –λ, l → l' = R2/l
Еслисфера не заземлена, то надо еще дополнительно поставить заряд +qR/l в началокоординат. Цилиндр и плоскость заземлены по определению (они простираются добесконечности, где φ = 0).
Основнымпрактическим случаем является проводящая плоскость: например Земля. Он легко обобщаетсяна систему зарядов (нитей, колец и т. д.) — всю ее надо отобразить относительноплоскости.
Задача.Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найтиплотность индуцированного заряда как функцию расстояния r от проекции заряда наплоскость.
Ответ:/>
/>
/>
Задача.Бесконечная прямая нить, несущая заряд λ на единицу длины, висит надпроводящей плоскостью на расстоянии l от нее. Найти распределениеэлектрического поля и поверхностной плотности индуцированного заряда вблизиплоскости.
Решение:Сначала находим поле одной нити по теореме Гаусса, затем отображаем нить и ищемполе от нити-изображения –λ, далее векторно суммируем эти поля. Послеэтого можно найти σ в любой точке как –ε0· Ewire+image.
Полеодной нити на расстоянии s от нее равно
/>
инаправлено от оси нити или к ней. Поэтому поле одной нити в плоскости нарасстоянии x от проекции нити на плоскость будет (/>):
/>
Такоеже по абсолютной величине поле создается нитью-изображением. При векторномсуммировании полей двух нитей параллельные плоскости компоненты уничтожаются, аперпендикулярные ей — удваиваются:
/>
Соответственно,имеем плотность индуцированного заряда:
/>
Проинтегрировавσ(x) по x от –∞ до +∞, можно убедиться, что суммарныйиндуцированный заряд на единицу длины проекции нити составляет –λ, как идолжно быть.
Задача.Очень длинная равномерно заряженная зарядом λ0 нить расположена по оси z ине доходит до проводящей плоскости xy на расстояние l. Найти поле вблизиплоскости xy как функцию расстояния r от начала координат.
Ответ:/>
/>
/>
Задача.На расстоянии l от центра заземленной сферы радиуса R
Решение:По правилам размещения заряда-изображения, помещаем заряд –qR/l в точку на оси«центр сферы — заряд q», удаленную от центра на расстояние R2/l.Тогда расстояние от заряда-изображения до ближайшей к заряду точки сферы будетR–R2/l. В этой точке и поле от истинного заряда, и поле от заряда-изображениянаправлены к центру сферы, а их сумма по абсолютной величине будет Enear =
/> =
/>
Сразуже находится σ:
/>
Аналогичнонаходим плотность индуцированного заряда в удаленной точке, только там поле отзаряда q направлено от центра, а от изображения — на центр. Сумма этих полейоказывается направленной к центру и по модулю равной: Efar =
/>
такчто
/>
Список литературы
1.И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. — 448с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. — 416 с.
2.В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М.Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. — 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.:Наука, 1992. — 661 с.
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe.ru/r