Введение
Пространства Соболева /> итесно связанное с ним понятие обобщённой производной в смысле Соболева быливведены в математическую практику академиком С.Л. Соболевым и играютважнейшую роль в теоретических и прикладных вопросах математической физики ифункционального анализа. Пополнение пространства гладких функций /> некоторыми идеальнымиэлементами, которые можно с любой степенью точности вычислить с помощьюэлементов из /> приводит, с одной стороны,вследствие полноты /> к точности изавершённости многих математических утверждений, а с другой стороны, сохраняетвсе вычислительные возможности.
1.Пространства Соболева1.1 Общее определение
Пусть в /> заданазамкнутая ограниченная область /> Рассмотримлинейное пространство вещественных функций /> /> раз непрерывнодифференцируемых на /> Дифференцируемостьна замкнутой области /> можно понимать вразличных смыслах. Мы будем предполагать, что в /> функции/> /> раз непрерывнодифференцируемы, причём каждая частная производная функции /> имеет предел пристремлении /> к любой граничной точкеобласти /> так что в результате еёпродолжения на /> она становитсянепрерывной в /> Граница /> области /> предполагается достаточногладкой. Кроме того, обычно мы будем считать область /> односвязной иудовлетворяющей таким дополнительным ограничениям, которые могут понадобиться втех или иных рассуждениях.
Воспользуемся для краткости следующими обозначениями. Набориндексов /> называется мультииндексом.Число /> называется длиноймультииндекса. Для обозначения частных производных примем
/>
Введём в рассмотренном выше линейном пространстве норму />
/> (1.1)
Полученное нормированное пространство обозначается /> Его пополнение в норме (1.1)обозначается /> и называется пространствомСоболева.
В прикладных задачах довольно часто встречается случай /> Общепринято следующееобозначение: /> ПространствоСоболева /> является гильбертовымпространством – пополнением пространства /> внорме, порождённой скалярным произведением
/>
Ниже мы подробнее остановимся на частных случаях /> и /> то есть рассмотримпространства Соболева на вещественной оси и в трёхмерном пространстве.1.2 Пространство />
Рассмотрим на отрезке /> пространство/> состоящее из всевозможныхфункций /> непрерывнодифференцируемых на /> со скалярнымпроизведением
/> (1.2)
и соответствующей этому скалярному произведению нормой
/> (1.3)
/> являетсяпополнением /> в этой норме. Элементами /> согласно теореме опополнении, являются классы, состоящие из последовательностей /> фундаментальных в /> в среднем, точнее, таких,что
/> при />
Две такие последовательности /> и/> принадлежат одному классу,если /> является бесконечно малойпо норме /> то есть, если
/> при />
Из условия фундаментальности в среднем /> в /> следует, что отдельно при />
/>
Аналогично, из условия эквивалентности /> и /> по норме /> следует, что при />
/>
Согласно определению пространства /> существуют функции /> и /> такие, что при /> /> а /> в среднем.
Мы приходим к следующему важнейшему определению. Пусть /> Тогда в /> определены элемент /> с представителем /> и элемент /> с представителем /> /> называется обобщённойпроизводной (в смысле Соболева) от /> Приэтом пишут: />
Из определения обобщённой производной /> видно, что онаопределяется не локально, в отдельных точках, а глобально – сразу на всёмотрезке /> Пусть /> так что /> /> Перейдём к пределу при /> в равенствах
/> (1.4)
/> (1.5)
и, согласно теореме о пополнении и определению интеграла Лебега, придёмк формулам (1.2) и (1.3), где теперь производные понимаются в обобщённомсмысле, а интеграл – в смысле Лебега. Для конкретных вычислений, разумеется,можно и нужно пользоваться формулами (1.4) и (1.5), взяв достаточно большое /> то есть вместо идеальныхэлементов /> /> /> /> воспользоваться ихгладкими приближениями /> /> /> />
1.3 Другое определениеобобщённой производной
Пусть /> – множествовсех непрерывно дифференцируемых на отрезке /> финитныхфункций /> Если теперь /> непрерывно дифференцируемана отрезке /> то для произвольнойфункции /> справедливо следующееинтегральное тождество:
/> (1.6)
проверяемое интегрированием по частям. Этим тождеством /> полностью определяется.
Допустим, что, кроме того, для любых /> и некоторой непрерывной наотрезке /> функции />
/> (1.7)
Вычитая эти тождества, получим, что для любых />
/>
Отсюда, вследствие плотности /> в/> /> на отрезке /> Оказывается, интегральноетождество (1.7) можно принять за определение обобщённой производной. Преждевсего, справедлива следующая лемма.
Лемма 1.Если /> то для любых /> справедливо тождество (1.6).
Доказательство. Пусть /> тогдадля всех /> имеем (1.6):
/>
Вследствие свойства непрерывности скалярного произведения впоследнем равенстве можно перейти к пределу при /> Врезультате мы получим тождество (1.6) для любой функции /> Лемма доказана.
Лемма 2.Пусть даны/> /> такие, что для всех /> справедливо тождество (1.7).Тогда /> (обобщённая производная).
Доказательство. Пусть /> а/> Тогда
/> при />
для любого />
Пусть /> – класс, представителемкоторого является />
Тогда /> длялюбых /> Отсюда /> Лемма доказана.
1.4 Простейшая теоремавложения
Теорема 1./> вложено в />
Доказательство. Пусть /> непрерывнодифференцируема на отрезке /> Согласнотеореме о среднем, вследствие непрерывности /> найдётсяточка /> такая, что /> Поэтому на отрезке /> справедливо следующеетождество:
/>
С помощью неравенства Коши-Буняковского имеем
/>
где /> Следовательно, для любойнепрерывно дифференцируемой на отрезке /> функции/> справедливо неравенство
/> (1.8)
Пусть теперь последовательность /> –фундаментальная по норме /> Тогда
/>
при /> Следовательно, /> фундаментальна в смыслеравномерной сходимости и, по критерию Коши равномерной сходимости, сходится к /> Тем более /> в среднем. Таким образом,в классе из /> содержащим /> в качестве представителя,содержится непрерывная функция /> и,значит, этот класс можно отождествить с /> Отождествимэлементы /> с непрерывными функциями.Пусть /> Переходя в неравенстве /> к пределу при /> придём к неравенству (1.8).
Итак, вложение /> в /> доказано. Доказательствотеоремы закончено.1.5 Пространства Соболева/> и />
Пусть /> – односвязнаяобласть с достаточно гладкой границей /> Взамкнутой области /> рассмотримлинейное пространство всевозможных непрерывно дифференцируемых функций /> со скалярным произведением
/>
При этом
/> (1.9)
Полученное пространство со скалярным произведениемобозначается /> а его пополнение – это, поопределению, пространство Соболева />
Пусть /> – фундаментальнаяпоследовательность в /> то есть /> при /> Отсюда следует, что в /> будут фундаментальнымипоследовательности
/>
Вследствие полноты /> в/> имеются элементы, которыемы обозначим
/>
так что при /> в среднем
/>
Элементы /> называютсяобобщёнными частными производными элемента />
Скалярное произведение и норма задаются в /> теми же формулами, что и в/> в которых теперьпроизводные обобщённые, а интегрирование понимается в смысле Лебега. Введем врассмотрение пространство /> Этопространство является пополнением в норме
/> (1.10)
линейного пространства функций, непрерывно дифференцируемых на /> и таких, что /> /> является гильбертовымпространством со скалярным произведением
/>
Лемма 3.Если /> а /> то
/>
/>
/>
Доказательство. Достаточно доказать первую из этих формул.Она справедлива, если /> а /> Пусть /> – фундаментальная в /> последовательность, пределкоторой – элемент /> Переходя втождестве /> к пределу при /> получим для любой /> Действительно, изсходимости в /> следует, что
/> тоесть непрерывность скалярного произведения.
Пусть теперь /> – фундаментальнаяпоследовательность в /> Перейдём кпределу в тождестве /> и получимисходное тождество.
Следствие./> содержитсястрого внутри />
Действительно, функция/> Но /> иначе мы имели бы /> то есть /> длялюбой /> Возьмём /> и получим противоречие.
Теорема 2 (Фридрихс).Существует постоянная /> такая, что длялюбых /> />
Доказательство. По самому определению /> всякий элемент из /> принадлежит /> Пусть /> и сходится в /> к />
Построим куб /> содержащийобласть /> Функции /> доопределим нулём в /> Частная производная /> существует всюду в /> за исключением, бытьможет, тех точек, в которых прямая, параллельная оси абсцисс, пересекаетграницу /> области /> Для любой точки /> имеем
/>
По неравенству Коши-Буняковского
/>
Интегрируя полученное неравенство по /> находим
/>
Так как /> вне /> то
/>
Переходя к пределу при /> приходимк доказываемому неравенству Фридрихса.
Следствие 1.Пространство /> вложенов />
Это предложение непосредственно вытекает из определениявложения банаховых пространств и неравенства Фридрихса.
Следствие 2.В /> нормы(1.9) и (1.10) эквивалентны.
Действительно, используя неравенство Фридрихса, имеем
/>
2.Применение пространств Соболева в математической физике2.1 Доказательствосуществования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа
Теорема 3 (Рисс).Пусть /> – гильбертовопространство. Для любого линейного ограниченного функционала /> заданного всюду на /> существует единственныйэлемент /> такой, что для всех /> />
При этом />
Доказательство приведено в [1, стр. 171].
Теорема Рисса эффективно применяется в теории разрешимостиграничных задач для уравнений с частными производными. Будем говорить, чтогильбертово пространство /> вложенов гильбертово пространство /> если из/> следует, что /> причём существуетпостоянная /> такая, что для всех />
/> (2.1)
Имеет место следующее следствие из теоремы Рисса.
Теорема 4.Еслигильбертово пространство /> вложенов гильбертово пространство /> то длякаждого элемента /> найдётсяединственный элемент /> такой, что длявсех /> имеет место тождество/>
Тождество это определяет оператор /> такой, что /> при этом />
Доказательство. При каждом фиксированном /> выражение /> при всевозможных /> определяет линейныйограниченный функционал на /> Линейностьфункционала очевидна. Его ограниченность вытекает из оценки
/>
По теореме Рисса существует единственный элемент /> такой, что /> Тем самым всюду на /> задан линейный оператор /> Далее, из доказанного вышенеравенства следует, что
/>
Полагая здесь /> получим /> то есть /> и, значит, /> ограничен. Теоремадоказана.
В качестве приложения доказанной теоремы и пространствСоболева докажем существование и единственность обобщённого решения задачиДирихле для уравнения Пуассона. В замкнутой ограниченной односвязной области /> с достаточно гладкойграницей /> рассмотрим следующуюграничную задачу:
/> (2.2)
/> (2.3)
Предположим, что правая часть /> непрерывнав /> по совокупностипеременных. Функция /> называетсяклассическим решением задачи (2.2) – (2.3), если /> непрерывнакак функция трёх переменных в /> имеет в/> непрерывные производные,входящие в левую часть (2.2), удовлетворяет в /> уравнению(2.2) и равна нулю на /> то естьудовлетворяет граничному условию (2.3).
Пусть /> – классическоерешение задачи (2.2) – (2.3), а /> непрерывнав /> равна нулю на /> и непрерывнодифференцируема в /> тогда для любойтакой /> справедливо следующееинтегральное тождество:
/> (2.4)
Для доказательства этого тождества воспользуемся формулойГаусса-Остроградского:
/>
Примем /> /> /> и получим
/>
Поскольку
/>
а /> то получаем (2.4).
Пусть теперь /> /> а интегралы (2.4)понимаются в смысле Лебега. Функция /> называетсяобобщённым решением краевой задачи (2.2) – (2.3), если для любой функции /> выполняется интегральноетождество (2.4).
Докажем, что для любой правой части /> обобщённое решение краевойзадачи (2.2) – (2.3) существует и единственно.
Для этого заметим, что гильбертово пространство /> вложено в гильбертовопространство /> так как, по определению /> всякая функция /> принадлежит также и /> и справедлива оценка длялюбой /> (см. п. 1.5):
/>
Следовательно, по теореме 4 для всякой функции /> существует единственнаяфункция /> такая, что для всех />
/>
а это и есть интегральное тождество (2.4).
Заключение
Таким образом, мы рассмотрели пространства Соболева, ихосновные свойства и применение в математической физике.
Списоклитературы
1. Треногин В.А. Функциональный анализ:Учебник. – 3-е изд., исп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 488 с.
2. Соболев С.Л. Некоторые примененияфункционального анализа в математической физике. – 3-е изд., перераб. и доп. /Под ред. О.А. Олейник. – М.: Наука. Гл. Ред. физ.-мат. лит., 1988. – 336 с.