МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Произведение двух групп
Курсовая работа
Исполнитель:
студенткагруппы H.01.01.01 М-31
ЗакревскаяС.А.
Научныйруководитель:
докторфизико-математических наук,
профессоркафедры Алгебры и геометрии
МонаховВ. С.
Гомель 2005
Содержание
Введение
/>1О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппуиндекса />
/>2О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2
/>3Произведение разрешимой и циклической групп
/>3.1.Вспомогательные результаты
/>3.2.Доказательства теорем 1 и 2
Заключение
Список литературы
Введение
Даннуюработу можно рассматривать как продолжение трудов Б. Хупперта и В. Скотта. Вней приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, аименно являющихся произведением двух групп, одна из которых содержитциклическую подгруппу индекса />,произведением двух групп с циклическими подгруппами индекса 2, произведениемразрешимой и циклической групп.
Рассматриваютсявопросы разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп, сприведенными выше свойствами и приводится описание двух классов неразрешимыхфакторизуемых групп. Так же приводятся доказательства следующих теорем:
Теорема1.1. Если /> и /> - группы с циклическимиподгруппами индексов />, то конечнаягруппа /> разрешима.
Теорема1.2. Пусть /> - группа Шмидта, а /> - группа с циклическойподгруппой индекса />. Если /> и /> - конечная неразрешимаягруппа, то /> изоморфна подгруппе />, содержащей />, для подходящего />.
Теорема1.3. Пусть /> - 2-разложимая группа, агруппа /> имеет циклическуюинвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если /> и /> - конечная неразрешимаягруппа, то /> изоморфна подгруппе />, содержащей />, для подходящего />.
Теорема2.1. Пусть конечная группа />, где /> и /> - группы с циклическимиподгруппами индексов />. Тогда /> разрешима, /> и /> для любого простогонечетного />.
Теорема2.2. Если группы /> и /> содержат циклическиеподгруппы нечетных порядков и индексов />,то конечная группа /> сверхразрешима.
Теорема2.3. Пусть конечная группа />, где /> - циклическая подгруппанечетного порядка, а подгруппа /> содержитциклическую подгруппу индекса />. Если в/> нет нормальных секций,изоморфных />, то /> сверхразрешима.
Теорема3.1. Пусть конечная группа /> являетсяпроизведением разрешимой подгруппы /> ициклической подгруппы /> и пусть />. Тогда />, где /> - нормальная в /> подгруппа, /> и /> или /> для подходящего />.
Теорема3.2. Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы ициклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетныйпорядок, то группа разрешима.
Теорема3.3. Если /> - простая группа, где /> - холловская собственная в/> подгруппа, а /> - абелева />-группа, то /> есть расширение группы,изоморфной секции из />, с помощьюэлементарной абелевой 2-группы. В частности, если /> циклическая,то /> есть расширение абелевойгруппы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
/>1.О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппуиндекса />
Доказывается,что конечная группа /> разрешима, еслигруппы /> и /> содержат циклическиеподгруппы индексов />. Приводитсяописание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Библ. 18 назв.
Вработе Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая являетсяпроизведением двух диэдральных подгрупп. В. Скотт получил разрешимость группы />, допустив в качествемножителей /> и /> еще так называемыедициклические группы. Диэдральные и дициклические группы содержат циклическиеподгруппы индекса 2, но не исчерпывают весь класс групп с циклическимиподгруппами индекса 2. В настоящей заметке доказана
Теорема1. Если /> и /> - группы с циклическимиподгруппами индексов />, то конечнаягруппа /> разрешима.
Еслиподгруппа /> нильпотентна, а в /> есть циклическая подгруппаиндекса 2, то, как показали H. Ито и Б. Хупперт, конечная группа /> разрешима. Дополнениемэтого результата являются теоремы 2 и 3.
Теорема2. Пусть /> - группа Шмидта, а /> - группа с циклическойподгруппой индекса />. Если /> и /> - конечная неразрешимаягруппа, то /> изоморфна подгруппе />, содержащей />, для подходящего />.
/> обозначаетнаибольшую разрешимую инвариантную в /> подгруппу.Группой Шмидта называется ненильпотентная группа, все собственные подгруппыкоторой нильпотентны.
Теорема3. Пусть /> - 2-разложимая группа, агруппа /> имеет циклическуюинвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если /> и /> - конечная неразрешимаягруппа, то /> изоморфна подгруппе />, содержащей />, для подходящего />.
Частнымслучаем теоремы 3, когда /> -абелева, а /> имеет порядок />, /> - простое число, являетсятеорема 8 Б. Хупперта.
Доказательстватеорем 1--3 и составляют содержание настоящей заметки.
Рассматриваютсятолько конечные группы. Все используемые определения и обозначения стандартны,их можно найти в обзоре С. А. Чунихина и Л. А. Шеметкова.
Вначаледокажем несколько лемм.
Лемма1. Пусть в группе существует циклическая подгруппа индекса />. Тогда каждая подгруппа ифактор-группа обладает, циклической подгруппой индекса />. Доказательство осуществляетсянепосредственной проверкой.
Лемма2. Пусть />, /> - собственная подгруппагруппы />, /> - подгруппа четногопорядка с циклической силовской 2-подгруппой. Если />,то /> содержит подгруппу индекса2.
Доказательство.Если /> содержит инвариантную в /> подгруппу />, то фактор-группа /> удовлетворяет условиямлеммы. По индукции /> обладаетподгруппой индекса 2, поэтому и в /> естьподгруппа индекса 2.
Пусть/> не содержит инвариантных в/> подгрупп />. Тогда представлениегруппы /> подстановками правыхсмежных классов по /> есть точноестепени />, где />. Группу /> можно отождествить с ееобразом в симметрической группе /> степени/>. Так как в /> силовская 2-подгруппа /> циклическая, то />, где /> - инвариантное2-дополнение. Пусть />, />. />, /> и />. Подстановка /> разлагается в произведениециклов
/>
т.е. подстановка /> имеет /> циклов, каждый длины />. Декремент подстановкиравен /> и есть нечетное число,поэтому /> - нечетная подстановка.Теперь />, а так как индекс /> в /> равен 2, то /> - подгруппа индекса 2 вгруппе />.
Лемма2 обобщает лемму А. В. Романовского.
Замечание.Простая группа /> являетсяпроизведением двух подгрупп /> и />, причем />, а /> - группа порядка /> с циклической силовской2-подгруппой. Этот пример показывает, что требование /> отбросить нельзя.
Лемма3. Пусть /> - дважды транзитивнаягруппа подстановок на множестве /> и пусть/> - стабилизатор некоторойточки />. Тогда все инволюции изцентра /> содержатся в />.
Доказательство.Пусть />. Допустим, что существует />, причем />. Так как /> транзитивна на />, то />. Ho />, поэтому /> и /> - тождественнаяподстановка. Противоречие. Следовательно, /> фиксируеттолько />. Теперь подстановка /> содержит только один циклдлины 1, а так как /> - инволюция, то /> нечетен. Но />, поэтому существуетсиловская 2-подгруппа /> из /> с /> и />. Если />, то />, отсюда /> и />, т. е. />. Теперь /> и из теоремы Глауберманаследует, что />.
Лемма4. Пусть центр группы /> имеет четныйпорядок и силовская 2-подгруппа из /> либоциклическая, либо инвариантна в />. Если /> - группа с циклическойподгруппой индекса />, то группа /> непроста.
Доказательство.Пусть /> - циклическая подгруппа в />, для которой />, а /> - максимальная в /> подгруппа, содержащая />. Тогда />. Если />, то /> и по лемме С. А. Чунихинагруппа /> непроста. Значит, />.
Допустим,что порядок /> нечетен. Если />, то />. Если />, то ввиду леммы 2 /> и поэтому опять />. Рассмотрим представление /> подстановками смежныхклассов по />. Так как /> - максимальная в /> подгруппа, то /> - примитивная группаподстановок степени />. Если /> - простое число, то /> либо разрешима, либодважды транзитивна. Если /> -составное число, то, так как /> -регулярная группа подстановок при этом представлении, /> - опять дваждытранзитивна. Из леммы 3 следует, что /> непроста.
Пустьпорядок /> четен. Если />, то /> непроста по лемме 2.Значит, /> и />. Пусть /> - силовская 2-подгруппа из/>. Если /> инвариантна в />, то /> инвариантна и в />. Следовательно, /> - циклическая группа. Но /> не является силовской в />, поэтому /> содержится как подгруппаиндекса 2 в некоторой группе />. Теперьдля инволюции /> из центра /> имеем />, т. е. /> не максимальная в />. Противоречие.
Следствие.Пусть группа />, где группа /> содержит циклическуюподгруппу индекса />. Если /> - 2-разложимая группачетного порядка, то группа /> непроста.
Лемма5. Пусть группа /> содержитциклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 2. Если /> - 2-разложимая группа, тогруппа /> разрешима.
Доказательство.Применим индукцию к порядку />. Если />, то ввиду леммы 1фактор-группа /> удовлетворяетусловиям леммы. По индукции, /> разрешима,отсюда разрешима и />.
Пусть/>. Если /> - циклическая, то /> разрешима по теореме В. А.Ведерникова. Поэтому />, /> - циклическая подгруппаиндекса 2, />. Пусть />, где /> - силовская 2-подгруппа из/>, /> - ее дополнение. Если />, то /> разрешима. Теперь /> и /> можно считать силовской2-подгруппой в />. Так как /> и />, то />. Пусть /> и />. Тогда /> и />. По лемме С. А. Чунихинаподгруппа /> максимальна в /> и />. Представление группы /> подстановками смежныхклассов по подгруппе /> дваждытранзитивное: если /> - простое число,если /> - составное. Из леммы 3вытекает теперь, что />.Противоречие.
Доказательствотеоремы 1. Применим индукцию к порядку группы G. Пусть /> и /> - циклические инвариантныеподгруппы в /> и в /> соответственно, чьииндексы равны 1 или 2, а /> и /> - те силовские 2-подгруппыиз /> и />, для которых /> и /> есть силовская 2-подгруппа/>. Будем считать, что />. Если />, то /> и /> разрешима по теоремеИто-Хупперта. Поэтому в дальнейшем полагаем, что />.Ввиду леммы 1 каждая фактор-группа удовлетворяет условиям теоремы, поэтому />
Допустим,что />. Если />, то /> и />. Так как /> разрешима, то />. Если />, то /> и /> разрешима.
Пустьтеперь />. Тогда и />. Так как /> не является силовскойподгруппой в />, то /> содержится как подгруппаиндекса 2 в некоторой 2-группе />.Обозначим через /> силовскую2-подгруппу из />. Очевидно, что /> инвариантна в />.
Предположим,что /> и пусть /> - инволюция из />. В /> все подгруппыхарактеристические и /> инвариантна в />, поэтому /> и />. Пусть /> - максимальная в /> подгруппа, котораясодержит />. Тогда /> разрешима по индукции.Если />, то /> содержится в /> и />. Значит, />. Так как /> - собственная в /> подгруппа, то />, /> и />. Теперь /> - дважды транзитивнаягруппа степени /> на множествесмежных классов по />: если /> - простое число, топрименимо утверждение из, стр. 609; если /> составное.Из леммы 3 получаем, что />.Противоречие.
Следовательно,/>. Если />, то /> и />.Так как /> не содержит подгрупп,инвариантных в />, топредставление группы /> подстановками поподгруппе /> - точное степени 4.Поэтому /> - группа диэдра порядка 8,/> и />. В этом случае /> неабелева. Напомним, что /> и />. Таким образом, длясиловской 2-подгруппы /> из /> имеем: /> - группа порядка 4 илинеабелева группа порядка 8 (если />).
Предположим,что порядки групп /> и /> делятся одновременно нанечетное простое число /> и пусть /> и /> - силовские />-подгруппы из /> и /> соответственно. Так как /> инвариантна в />, a /> инвариантна в />, то /> и /> - силовская />-подгруппа в />. Без ограничения общностиможно считать, что />. По теоремеVI.10.1 из группа /> содержитнеединичную подгруппу />, инвариантную в />. Но теперь /> и />, а так как /> инвариантна в />, a /> разрешима, то /> по лемме С. А. Чунихина.Противоречие. Следовательно, порядки /> и /> не имеют общих нечетныхделителей. В частности, в группе /> силовскиеподгруппы для нечетных простых чисел циклические.
Пусть/> - минимальная инвариантнаяв /> подгруппа и /> - силовская 2-подгруппа из/>, которая содержится в />. Так как />, то /> неразрешима и />. Подгруппа /> даже простая потому, чтосиловские подгруппы по нечетным простым числам циклические.
Пустьвначале />. Тогда /> и /> неабелева. По теореме П.Фонга из группа /> диэдральная илиполудиэдральная. Но в этих случаях />.Непосредственно проверяется, что диэдральная и полудиэдральная группа порядка16 не является произведением двух групп порядка 4.
Предположимтеперь что />. Тогда /> - элементарная абелеваподгруппа или диэдральная. Если /> абелева,то /> или группа Янко /> порядка 175560. Так как /> неабелева, то /> и индекс /> в /> четен. Группа /> разрешима, поэтому /> и /> или />. Ho /> группа порядка 3, a />. Противоречие. Если /> - диэдральная группапорядка 8, то /> - нечетноепростое число или />. Но группы /> и /> не допускают нужнойфакторизации, поэтому /> - собственная в /> подгруппа. Теперь /> или />. Если />, то /> - диэдральная группапорядка 16, а так как />, то />. Противоречие. Если />, то /> и в /> существует подгруппапорядка /> или />.
Пусть,наконец, />. Тогда /> и />. Так как фактор-группа /> разрешима по индукции, то /> и />. Используясамоцентрализуемость силовской />-подгруппыв />, нетрудно показать, что /> не допускает требуемойфакторизации. Теорема доказана.
Доказательствотеоремы 2. Допустим, что теорема неверна и группа /> -контрпример минимального порядка. Фактор-группа группы Шмидта есть либо группаШмидта, либо циклическая />-группа.Поэтому в силу индукции и теоремы 1 мы можем считать, что />. Пусть /> - произвольная минимальнаяинвариантная в /> подгруппа. Если />, то />, а так как /> - нильпотентная группа, то/> разрешима по теоремеИто--Хупперта или по теореме Виландта--Кегеля. Отсюда разрешима и />. Противоречие. Значит, />, в частности, /> разрешима. Допустим, что />. Тогда /> и /> удовлетворяет условиямлеммы. Поэтому /> изоморфнаподгруппе группы />, содержащей /> для подходящего />. Так как /> есть прямое произведениеизоморфных простых неабелевых групп, то /> и/>. Отсюда />. Подгруппа /> инвариантна в /> так как />, то /> разрешима и />. Теперь /> изоморфна некоторой группеавтоморфизмов />, т. е. /> из заключения теоремы.Противоречие. Значит, />.
Такимобразом, если /> - произвольнаяинвариантная в /> подгруппа, то />.
Пусть/>, /> - инвариантная силовская />-подгруппа, /> - силовская />-подгруппа. Через /> обозначим циклическуюподгруппу в />, для которой />. Допустим, что />. В этом случае /> и если /> - подгруппа индекса 2 в />, то /> - циклическая подгруппаиндекса 2 в />. По теореме 1 группа /> разрешима. Противоречие.Значит, />. Теперь, если в /> есть инвариантнаяподгруппа /> четного индекса, то /> есть группа Шмидта синвариантной силовской 2-подгруппой, что противоречит лемме 1.
Следовательно,/> и в /> нет инвариантных подгруппчетного индекса.
Допустим,что />, тогда /> - группа нечетногопорядка. Силовская 2-подгруппа /> из /> является силовскойподгруппой в /> и по результату В. Д.Мазурова группа /> диэдральная илиполудиэдральная. Если /> диэдральная, топо теореме 16.3 группа /> изоморфна /> или подгруппе группы />. Так как /> не допускает требуемойфакторизации, то /> следует иззаключения теоремы. Противоречие. Значит, /> -полудиэдральная группа. Если /> -центральная инволюция из />, то />, поэтому /> и /> разрешима. По теоремеМазурова группа /> изоморфна /> или />. Нетрудно проверить, что /> и /> не допускают требуемойфакторизации. Значит, />.
Пусть/> - максимальная в /> подгруппа, содержащая />. Тогда, если />, то /> и /> содержит подгруппу />, инвариантную в /> по лемме Чунихина. В этомслучае, /> и />. Противоречие.Следовательно, />.
Допустим,что /> не является силовской2-подгруппой в />. Тогда /> немаксимальна в />, а так как /> и />, то по лемме 2 порядок /> нечетен. Теперь /> и /> содержит подгруппу индекса2. Противоречие.
Такимобразом, /> - силовская 2-подгруппагруппы />. Теперь, /> и /> - максимальная в /> подгруппа. Представлениеподстановками смежных классов по /> дваждытранзитивное и по лемме 3 порядок центра /> нечетен.Отсюда следует, что /> - абелевагруппа.
Пусть/> - минимальная инвариантнаяв /> подгруппа. Группа /> не является />-группой, поэтому некотораясиловская в /> подгруппа циклическая и /> - простая группа. Теперьможно применить результат Уолтера. Так как и группе Янко и в группах типа /> и нормализатор силовской2-подгруппы имеет порядок />, a />, то /> изоморфна />, где /> или />. Фактор-группа /> разрешима, поэтому /> и /> изоморфна некоторой группеавтоморфизмов />, т. е. /> из заключения теоремы.Противоречие. Теорема доказана.
Доказательствотеоремы 3. Пусть группа /> -контрпример минимального порядка, /> -циклическая подгруппа в /> и />, где />. Пусть />, где /> - силовская 2-подгруппа />, а /> - ее 2-дополнение в /> . Если /> - силовская 2-подгруппа />, то /> и /> разрешима по теоремеВедерникова. Противоречие. Теперь /> можносчитать силовской 2-подгруппой группы />.
Предположим,что />. Фактор-группа /> и /> - 2-разложимая группа.Очевидно, что циклическая подгруппа /> нечетногопорядка инвариантна в /> и ее индексравен 1, 2 или 4. В первых двух случаях группа /> разрешимапо лемме 5, поэтому разрешима и />.Противоречие. Если индекс равен 4, то по индукции и учитывая, что />, получаем: группа /> изоморфна подгруппе />, содержащей /> для некоторых />. Противоречие.Следовательно, в /> нет разрешимыхинвариантных подгрупп, отличных от единицы.
Теперьпокажем, что силовская 2-подгруппа /> являетсядиэдральной группой порядка 4 или 8. Если />,то />, и так как /> неразрешима, то /> диэдральная. Пусть /> не содержится в />.
Предположим,что /> и пусть />, где /> - инволюция из />. Теперь /> и />. Пусть вначале /> и /> максимальна в />. Тогда /> - дважды транзитивнаягруппа на множестве смежных классов по подгруппе />:если /> - простое число; если /> - непростое число. Излеммы 3 получаем, что />. Противоречие.Пусть /> - максимальная в /> подгруппа, котораясодержит />. Тогда /> и />. Кроме того, />. Пусть /> - минимальная инвариантнаяв /> подгруппа, котораясодержится в />, /> существует по леммеЧунихина, а так как />, то />, а следовательно, и /> неразрешимы. По индукции /> изоморфна подгруппе />, содержащей />, для некоторых />. Все инвариантные в /> подгруппы неразрешимы,поэтому />, а так как /> - минимальная инвариантнаяв /> подгруппа, то />. B силу леммы 5 />, поэтому /> разрешима. Но тогда /> и /> изоморфна группеавтоморфизмов группы />, т. е. /> из заключения теоремы.Противоречие.
Значит,/>, поэтому /> не содержит инвариантных в/> подгрупп, отличных от 1.Следовательно, представление группы /> подстановкамисмежных классов по подгруппе /> точноестепени 4. Отсюда группа /> естьгруппа диэдра порядка 8.
Такимобразом, силовская 2-подгруппа /> вгруппе /> есть диэдральная группапорядка 4 или 8. По результату Горенштейна — Уолтера группа /> изоморфна />, или подгруппе группы />. Так как />, не допускает требуемойфакторизации, то группа /> - иззаключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.
Взаключение отметим, что, используя технику доказательств теорем 1--3 иследствие леммы 4, можно получить описание неразрешимых групп /> при условии, что /> - 2-разложимая группа, а вгруппе /> существует циклическая подгруппаиндекса />.
/>2.О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2
В 1953 г. Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая являетсяпроизведением двух диэдральных подгрупп. Развивая этот результат, В. Скоттполучил разрешимость конечной группы />,допустив в качестве множителей еще так называемые дициклические группы. Этирезультаты достаточно подробно изложены в монографии. Диэдральные идицикдические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но далеко неисчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2.
В 1974 г. автор установил разрешимость конечной группы /> при условии, что факторы /> и /> содержат циклическиеподгруппы индексов 2, тем самым решив задачу, рассматриваемую Хуппертом иСкоттом. В настоящей заметке показывается, что 2-длина таких групп не превышает2, а />-длина равна 1 для любогонечетного />. Эти оценки точные, на чтоуказывает пример симметрической группы />.Получены также два признака сверхразрешимости конечной факторизуемой группы.
Всевстречающиеся определения и обозначения общеприняты. В частности, /> - множество простыхделителей порядка />, a /> - циклическая группапорядка />.
Лемма1. Метациклическая группа порядка /> длянечетного простого /> неразложима вполупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы порядка /> и подгруппы порядка />.
Доказательство.Допустим противное и пусть /> -метациклическая группа порядка />,разложимая в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы/> порядка /> и подгруппы /> порядка />, /> - нечетное простое число.Ясно, что /> неабелева. Если /> содержит нормальнуюподгруппу /> порядка /> с циклическойфактор-группой />, то /> содержится в центре /> и /> абелева по лемме 1.3.4,противоречие. Следовательно, /> содержитциклическую подгруппу индекса /> иподгруппа />, порожденная элементамипорядка />, является элементарнойабелевой подгруппой порядка /> потеоремам 5.4.3 и 5.4.4. Теперь />, иподгруппы /> порядка /> не существует. Значит,допущение неверно и лемма справедлива.
При/> утверждение леммы неверно,контрпримером служит диэдральная группа порядка 8.
Лемма2. Разрешимая конечная группа с циклической подгруппой Фиттинга сверхразрешима.
Доказательство.Пусть /> - конечная разрешимаягруппа с циклической подгруппой Фиттинга />.Так как />, то /> как группа автоморфизмовциклической группы будет абелевой по теореме 1.3.10, поэтому /> сверхразрешима.
Лемма3. Если в сверхразрешимой группе нет неединичных нормальных 2-подгрупп, тосиловская 2-подгруппа абелева.
Доказательство.Коммутант сверхразрешимой группы нильпотентен (теорема VI.9.1), поэтомусиловская 2-подгруппа из коммутанта нормальна в группе. Если коммутант имеетнечетный порядок, то силовская 2-подгруппа в группе абелева.
Напомним,что /> - наибольшая нормальная в /> />-подгруппа, /> - центр группы />, а /> - наименьшая нормальная в /> подгруппа, содержащая />. Через /> обозначается />-длина группы />.
Лемма4. Пусть /> и /> - подгруппы конечнойгруппы />, обладающие, следующимисвойствами:
1)/> для всех />;
2)/>, где />.
Тогда/>.
Доказательство.См. лемму 1.
Теорема1. Пусть конечная группа />, где /> и /> - группы с циклическимиподгруппами индексов />. Тогда /> разрешима, /> и /> для любого простогонечетного />.
Доказательство.По теореме из группа /> разрешима. Длявычисления />-длины воспользуемсяиндукцией по порядку группы />.Вначале рассмотрим случай нечетного />. Полемме VI.6.4 подгруппа Фраттини единична и в группе /> единственнаяминимальная нормальная подгруппа. По теореме III.4.5 подгруппа Фиттинга /> - минимальная нормальнаяподгруппа. Так как />, то /> - />-группа. Если />, то /> - абелева группа порядка,делящего />, а так как />, то />. Силовская />-подгруппа в /> метациклическая по теоремеIII.11.5, поэтому /> - элементарнаяабелева порядка /> и /> изоморфна подгруппе из />, в которой силовская />-подгруппа имеет порядок />. Так как /> для некоторой максимальнойв /> подгруппы />, то из леммы 1 получаемчто /> - силовская в /> подгруппа и />.
Рассмотримтеперь 2-длину группы />. Ясно, что /> и /> - единственная минимальнаянормальная в /> подгруппа, котораяявляется элементарной абелевой 2-подгруппой. Пусть /> и/> - />-холловские подгруппы из /> и /> соответственно. По условиютеоремы /> - циклическая нормальная в/> подгруппа, /> - циклическая нормальная в/> подгруппа. Теперь /> - />-холловская в /> подгруппа по теоремеVI.4.6, и можно считать, что />. Длялюбого элемента /> имеем: />, a по лемме 4 либо />, либо />. Но если />, то /> и /> централизует />, что невозможно. Значит, />, а так как в /> только одна минимальнаянормальная подгруппа, то /> и /> - 2-группа. Фактор-группа /> не содержит нормальныхнеединичных 2-подгрупп, поэтому подгруппа Фиттинга /> имеетнечетный порядок. Но />-холловская в /> подгруппа /> циклическая, а по лемме 2фактор-группа /> сверхразрешима исиловская 2-подгруппа в /> абелевапо лемме 3, Теперь /> по теоремеVI.6.6 и />. Теорема доказана.
Лемма5. Конечная группа с подгруппой Фиттинга индекса /> сверхразрешима.
Доказательство.Проведем индукцией по порядку группы. Пусть /> -конечная группа, в которой подгруппа Фиттинга /> имеетиндекс />. По индукции можно считать,что подгруппа Фраттини единична и в группе /> толькоодна минимальная нормальная подгруппа. Поэтому F — минимальная нормальная в /> подгруппа. Пусть /> - инволюция из />. Если />, то /> - нормальная в /> подгруппа. Если />, то /> и /> - неединичная нормальная в/> подгруппа. Итак, в группе /> имеется нормальнаяподгруппа /> простого порядка. Поиндукции /> сверхразрешима, значит,сверхразрешима и группа />.
Лемма6. Конечная группа, являющаяся произведением двух подгрупп порядков, делящих />, сверхразрешима.
Доказательство.Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть конечная группа />, где подгруппы /> и /> имеют порядки, делящие />, /> - простое число. Всефактор-группы группы /> удовлетворяютусловиям леммы, поэтому по индукции нетривиальные фактор-группы группы /> сверхразрешимы.Следовательно, подгруппа Фраттини группы /> единична,а подгруппа Фиттинга /> - минимальнаянормальная в /> подгруппа. По лемме 2подгруппа /> нециклическая.
Если/> - 2-группа, то /> и /> изоморфна подгруппе группы/>, поэтому /> - группа порядка 3, агруппа /> имеет порядок 12 исодержит подгруппу порядка 6. Следовательно, /> сверхразрешима.
Пустьтеперь /> - />-группа. Так как /> сверхразрешима поиндукции, то /> 2-нильпотентна. Но />, так как />, значит, /> - 2-группа, которая полемме 5 имеет порядок 4. Группа /> неприводимодействует на подгруппе />, поэтому /> циклическая по теоремеМашке. С другой стороны, /> исиловская 2-подгруппа /> из /> есть произведение двухподгрупп /> и /> порядков 2. Противоречие.Лемма доказана.
Теорема2. Если группы /> и /> содержат циклическиеподгруппы нечетных порядков и индексов />,то конечная группа /> сверхразрешима.
Доказательство.Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа /> разрешима. Посколькуусловия теоремы переносятся на все фактор-группы, то по индукции всенетривиальные фактор-группы группы /> сверхразрешимы.Поэтому подгруппа Фраттини группы /> единична,а подгруппа Фиттинга /> - единственнаяминимальная нормальная в /> подгруппа.Ясно, что /> имеет непростой порядок.Если /> - 2-группа, то /> порядка 4 и /> изоморфна подгруппе группы/>. Но теперь порядок /> делит 12, и /> сверхразрешима по лемме 6.
Следовательно,/> - />-группа порядка />. Силовская />-подгруппа в /> метациклическая по теоремеIII.11.5, поэтому /> - элементарнаяабелева порядка /> и /> изоморфна подгруппе группы/>, в которой силовская />-подгруппа имеет порядок />. Так как /> для некоторой максимальнойв /> подгруппы />, то из леммы 1 получаем,что /> - силовская в /> подгруппа и можно считать,что />, где />.
Через/> - обозначим разность />. Так как />-холловские подгруппы /> из /> и /> из /> нормальны в /> и /> соответственно, то /> - />-холловская в /> подгруппа. Если />, то /> сверхразрешима по лемме 6.Пусть />. Для любого элемента /> имеем: /> и по лемме 4 либо />, либо />. Если />, то из минимальности /> получаем, что /> и /> централизует />, что невозможно. Значит, /> и />. Но в /> единственная минимальнаянормальная подгруппа, поэтому /> и /> делит />. Но если />, то /> нормальна в />, противоречие. Значит, />.
Таккак /> сверхразрешима и /> - />-холловская подгруппа в />, то /> нормальна в /> и по лемме Фраттини /> содержит силовскую2-подгруппу /> из />. Ясно, что />. Подгруппа /> ненормальна в />, значит, />, но теперь /> нормальна в /> и нормальна в />, противоречие. Теоремадоказана.
Теорема3. Пусть конечная группа />, где /> - циклическая подгруппанечетного порядка, а подгруппа /> содержитциклическую подгруппу индекса />. Если в/> нет нормальных секций,изоморфных />, то /> сверхразрешима.
Доказательство.Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа /> разрешима, а так какусловия теоремы переносятся на все фактор-группы, то подгруппа Фиттинга /> - единственная минимальнаянормальная в /> подгруппа. Если /> - 2-группа, то /> содержится в /> и поэтому порядок /> равен 4, a /> изоморфна подгруппе группы/>. Если силовская3-подгруппа /> из /> неединична, то /> действует на /> неприводимо и /> - нормальная в /> подгруппа, изоморфная />, противоречие. Если />, то /> - 2-группа и /> сверхразрешима.
Следовательно,/> - />-группа порядка />. Так как силовская />-подгруппа в /> метациклическая по теоремеIII.11.5, то /> - элементарная абелевапорядка /> и /> изоморфна подгруппе из />, в которой силовская />-подгруппа имеет порядок />. Так как /> для некоторой максимальнойв /> подгруппы />, то из леммы 1 получаем,что /> - силовская в /> подгруппа и можно считать,что />, где />, a />.
Через/> обозначим />. Как и в теореме 2, легкопоказать, что />-холловскаяподгруппа /> из /> неединична, а />. Так как /> - />-холловская в /> подгруппа и /> сверхразрешима, то /> нормальна в /> и /> содержит силовскую2-подгруппу /> из />, которая совпадает ссиловской 2-подгруппой в />.Подгруппа /> ненормальна в />, поэтому />. Но теперь /> нормальна в />, а значит, и в />, противоречие. Теорема доказана.
/>3.Произведение разрешимой и циклической групп
Внастоящей заметке доказывается следующая
Теорема1. Пусть конечная группа /> являетсяпроизведением разрешимой подгруппы /> ициклической подгруппы /> и пусть />. Тогда />, где /> - нормальная в /> подгруппа, /> и /> или /> для подходящего />.
/> означаетпроизведение всех разрешимых нормальных в /> подгрупп.
Следствие.Если простая группа /> являетсяпроизведением разрешимой и циклической подгрупп, то />.
Несмотряна то, что среди /> при нечетном /> нет групп факторизуемыхразрешимой подгруппой и циклической, группы /> допускаютуказанную факторизацию для каждого />.
Изтеоремы 1 вытекает
Теорема2. Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы ициклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетныйпорядок, то группа разрешима.
Работасостоит из двух параграфов. В первом параграфе приводятся необходимыевспомогательные результаты. Кроме того, доказывается теорема 3, котораяявляется обобщением теоремы Виландта о разрешимости внешней группыавтоморфизмов простой группы, содержащей подгруппу простого индекса. В />3.2 доказываются теоремы 1и 2.
Всеобозначения и определения стандартны. Запись /> означает,что конечная группа /> являетсяпроизведением своих подгрупп /> и />.
/>3.1Вспомогательные результаты
Пусть/> - подгруппа группы />. Тогда /> означает наибольшуюнормальную в /> подгруппу, котораясодержится в />, a /> - наименьшую нормальную в /> подгруппу, котораясодержит />.
Лемма1. Если /> и /> содержит подгруппу />, нормальную в />, то />.
Лемма2. Пусть /> и /> - нормальная в /> подгруппа. Если />, то />.
Доказательство.Поскольку />, то />. Так как />, то />
Лемма3. Если /> и /> абелева, то />.
Доказательство.Пусть />. Ясно, что /> и />. Если />, то /> и />. Таким образом, /> и />.
Лемма4. Пусть /> и /> не делит />. Тогда /> не сопряжен ни с однимэлементом из />.
Доказательство.Если />, то /> и /> делит />. Но /> по лемме VI.4.5 из,поэтому />. Противоречие.
Лемма5. Пусть /> - минимальная нормальнаяподгруппа группы /> и />. Если /> разрешима, то /> и /> изоморфна подгруппе из />.
Доказательство./>. Так как /> разрешима, то /> и />. По лемме 1.4.5 из группа /> есть группа автоморфизмов />.
Лемма6. Пусть />, где /> - собственная подгруппа />, а /> циклическая. Если />, то справедливо одно изследующих утверждений:
1)/> и /> - нормализатор силовской2-подгруппы, а />;
2)/>, а />;
3)/>, а />.
Доказательство.См. теорему 0.8 из.
Лемма7. Группа /> при любом /> является произведениемразрешимой подгруппы и циклической.
Доказательство.Если />, то утверждение следует излеммы 6. Пусть />, и /> - силовская />-подгруппа в />. Известно, что /> циклическая и в /> есть циклическая подгруппа/> порядка />. Так как /> и />, то />.
Лемма8. Если />, то /> является произведениемразрешимой и циклической подгрупп.
Доказательство.Известно, что />, где /> - циклическая группапорядка, делящего />, и /> нормализует подгруппу />, где /> - силовская 2-подгруппа в />. Так как />, где /> - циклическая группапорядка />, то /> и /> разрешима.
Лемма9. Группа /> является произведениемразрешимой подгруппы и циклической. Группа /> недопускает указанной факторизации.
Доказательство.Группа /> имеет порядок /> и в ней содержитсяподгруппа /> индекса 2. Так как /> дважды транзитивна намножестве из 13 символов, то стабилизатор точки имеет порядок /> и является разрешимойгруппой. Поэтому /> являетсяпроизведением разрешимой подгруппы порядка /> ициклической подгруппы порядка 13.
Покажем,что /> не содержит подгруппыиндекса 13. Допустим противное и пусть /> -подгруппа порядка />. Так как /> дважды транзитивна насмежных классах по />, то центр /> имеет нечетный порядок полемме 2.2, а по лемме Берноайда />, где />.
Пусть/> - подгруппа Фиттингагруппы />, где />. Известно, чтонормализатор силовской 3-подгруппы в /> имеетпорядок />, поэтому />. Так как /> разрешима, то /> и /> изоморфна подгруппе из />.
Предположим,что />. Тогда /> делит порядок />, а значит и />. Но это невозможно, таккак />. Противоречие.
Следовательно,/>. Далее />, так как /> - подгруппа нечетногопорядка, поэтому />. Ясно, что />, a /> и />. Силовская 2-подгруппа /> из /> является силовской в />, значит, онаполудиэдральная порядка 16, все инволюции сопряжены и централизатор каждойинволюции изоморфен /> порядка />. Поэтому />. /> как подгруппа из /> полудиэдральна при />, либо циклическая, либокватернионная, либо диэдральная порядка 4 или 8. В любом случае порядок /> не делится на 9. Такимобразом, />. Противоречие. Итак, /> не содержит подгруппыиндекса 13.
Пусть/>, где /> - разрешимая подгруппа, а /> - циклическая. В /> силовокие 13-подгруппысамоцентрализуемы, поэтому 13 делит порядок />.Так как в /> нет /> - холловской подгруппы, то3 делит порядок />. Но в /> силовская 3-подгруппаимеет экспоненту 3, поэтому в /> естьподгруппа /> порядка />. Теперь силовская13-подгруппа из /> несамоцентрализуема. Противоречие. Лемма 9 доказана.
Теорема3. Если /> - простая группа, где /> - холловская собственная в/> подгруппа, а /> - абелева />-группа, то /> есть расширение группы,изоморфной секции из />, с помощьюэлементарной абелевой 2-группы. В частности, если /> циклическая,то /> есть расширение абелевойгруппы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
Доказательство.Из простоты /> и леммы Чунихина вытекает,что /> и /> максишльна в />. Представление группы /> перестановками на смежныхклассах подгруппы /> будет точным идважды транзитивным, следовательно, есть подгруппа перестановок симметрическойгруппы S степени, равной порядку />. Таккак /> - регулярная итранзитивная группа и />, то /> также транзитивна. Но /> по теореме 1.6.5, поэтому /> самоцентрализуема в />.
Группаавтоморфизмов />, индуцированнаяэлементами из />, называетсягруппой подстановочных автоморфизмов. Очевидно />,а по теореме 3 подгруппа /> нормальнав /> и /> - элементарная абелева2-группа.
Полемме Фраттини />, поэтомуобозначив /> будем иметь />. Так как />, то /> изоморфна секции из />. В частности, если /> циклическая, то /> абелева и /> есть расширение абелевойгруппы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
/>3.2Доказательства теорем 1 и 2
Доказательствотеоремы 1. Предположим, что теорема неверна и пусть /> - контрпример минимальногопорядка. Так как />, то /> и /> по лемме 3.
Допустим,что /> не максимальна в /> и пусть /> - прямое произведениеминимальных нормальных в /> подгруппи /> - наибольшее. Очевидно, /> содержит все минимальныенормальные в /> подгруппы. Так как />, то /> и />. Поэтому /> изоморфна подгруппе из />.
Допустим,что /> для некоторого />. Тогда /> и /> разрешима. Значит, />. Пусть /> - подгруппа в />, собственно содержащая />. Так как /> и /> - нормальная в /> неединичкая подгруппа, то />. Теперь минимальнаянормальная в /> подгруппа из /> совпадает с /> и />, противоречие. Такимобразом, /> для любого />. По индукции /> изоморфна подгруппе />, где /> - есть прямоепроизведение, построенное из групп />.Очевидно, что />, поэтому /> также есть прямоепроизведение, построенное из групп />.Следовательно, /> обладает этим жесвойством и /> - подгруппа из />. Противоречие.
Итак,/> максимальна в />. Поэтому представление /> перестановками намножестве смежных классов подгруппы /> будетточным и примитивным. Так как />, то /> в этом представлениирегулярна и /> дважды транзитивна. Пусть /> минимальная нормальная в /> подгруппа. Применяятеорему 11.3 и результат Берноайда, заключаем, что /> простаи примитивна, т.е. /> максимальна в />. Так как />, то /> разрешима и /> по лемме 5. Таким образом,/> изоморфна подгруппе из />.
Предположим,что />. Тогда /> неразрешима, /> и />. Так как />, то по индукции /> изоморфна подгруппе из />, а /> или /> и /> из заключения теоремы.Следовательно, /> и /> по лемме 2.
Пустьпорядок /> четен. Тогда /> содержит подгруппу индекса2 по лемме 4.1. По теореме Хольта подгруппа /> 2-транзитивнаи изоморфна /> - степень нечетногопростого числа или группа типа Ри в их обычных 2-транзитивных представлениях.Если />, то /> из заключения теоремы.Внешняя группа автоморфизмов группы типа Ри имеет нечетный порядок, поэтому /> не содержится в группеавтоморфизмов группы типа Ри.
Пустьтеперь /> изоморфна /> - простое нечетное число.Тогда />, где /> и />, где /> - силовская />-подгруппа из /> и />. Из леммы 2 получаем />. Так как в /> все инволюции сопряжены и /> имеет четный порядок, топо лемме 4 подгруппа /> имеет нечетныйпорядок, в частности /> не делит />.
Предположим,что существует простое число />,делящее /> и />. Если />, то по лемме 2.5 порядок /> делит />, а так как />, то /> делит />. Если />, то /> делит /> и элементарные вычисленияи применение леммы 2.5 показывают, что /> делит/>. Так как />, то в любом случае />. Известно, что />, поэтому /> и />. Противоречие с леммой2.5.
Следовательно,/> не может быть изоморфна />. Случай, когда порядок /> четен, рассмотренполностью.
Пустьпорядок подгруппы /> нечетен. Тогда /> содержит некоторуюсиловскую 2-подгруппу из />. Потеореме О'Нэна [??] подгруппа /> изоморфна/> или /> и /> нечетное число.
Пусть/> изоморфна />.Тогда /> и /> делит />. Поэтому /> содержит силовскую2-подгруппу из /> и, используяинформацию о подгруппах в />,получаем, что /> делит />, a /> делит /> или />. Теперь /> делится на />, которое делится на /> или на />. Противоречие.
Пусть/> изоморфна />. Так как /> имеет нечетный порядок, тосиловская 2-подгруппа /> из /> содержится в />. Если />, то /> и по лемме 3.3 имеем />. Если />, то /> нормальна в />, так как разрешимая группас силовской 2-подгруппой /> имеет2-длину 1. Итак, в любом случае />. Но /> дважды транзитивна насмежных классах по />, поэтому /> и /> нормальна в />.
Поскольку/> и />. Кроме того, />, поэтому /> - нечетное число, делящее />. Так как /> - циклическая группанечетного порядка в />, то либо /> делит />, либо /> делит />. Поэтому /> делится на />, либо на />. Очевидно, /> при />. Случай /> исключаетсянепосредственно. Следовательно, /> неизоморфна/>.
Предположим,что /> - нечетное и />. Так как /> - стабилизатор точки и /> разрешима индекса />, то />, либо />. Группа /> не допускает требуемойфакторизации по лемме 9. Поэтому либо />,либо />. Теорема 1 доказана.
Доказательствотеоремы 2. Пусть /> -2-нильпотентная группа и /> - еесиловская 2-подгруппа, /> - циклическая.Очевидно, мы можем считать, что />. Пусть /> - максимальная в /> подгруппа, содержащая />. Так как />, то />. Предположим, что />. Тогда /> и группа /> непроста. Если порядок /> нечетен, то по индукции /> разрешима и />, противоречие. Такимобразом, />, кроме того, /> максимальна в />. Теперь /> - дважды транзитивна намножестве смежных классов по />. Еслипорядок /> четен, то группа /> непроста по лемме 4.1.Пусть порядок /> нечетен. Тогда /> - силовская в /> подгруппа. По теоремеВиландта-Кегеля />, а по лемме 3.3 /> и /> 2-разложимая подгруппа. Потеореме 1V.2.6 подгруппа /> неабелева.Так как из теоремы 1 в случае, когда порядок /> нечетенследует, что силовская 2-подгруппа в /> абелева,то имеем противоречие. Теорема доказана.
Симметрическаягруппа пяти символов факторизуется 2-нильпотентной подгруппой порядка 20 ициклической подгруппой порядка 6. Поэтому условие нечетности порядкациклического фактора существенно.
Заключение
Вданной курсовой работе были приведены некоторые результаты, полученныеМонаховым В. С. (Гомельская лаборатория института математики), проливающие светна такие важные вопросы в теории конечных групп, как разрешимость исверхразрешимость конечных групп, являющихся произведением двух групп сразличными свойствами, а именно содержащих циклическую подгруппу индекса />, содержащих циклическиеподгруппы индекса 2, разрешимые и циклические группы.
Этиполученные данные изложены в теоремах 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 3.1, 3.2 и3.3. Так же представляют интерес данные изложенные в леммах, которые былииспользованы при доказательстве выше упомянутых теорем. В особенности следуетвыделить лемму 1.2, которая обобщает лемму А. В. Романоского и теорему 1.3,являющеюся обобщением теоремы Б. Хупперта.
Список использванных источников
1. Монахов В.С. Опроизведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса/>.// Математическиезаметки.-1974.-Т.16, №2-с. 285-295
2. Монахов В.С.Произведение разрешимой и циклической групп// Сб. VI всес. симпозиум по теориигрупп.-Киев: Наукова думка, 1980-с.189-195
3. Монахов В.С. Опроизведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2// Весцi АНБеларусi. сер. фiз.-мат. навук.-1996, №3-с.21-24