Програма, яка знаходить квадратні корені коплексних чисел

Курсова робота
Тема:
Програма, яка знаходить квадратні корені комплекснихчисел
Зміст
Вступ. 3
Теорія. 4
Програма. 8
Контрольні приклади. 10
Висновок. 11
Література. 12
Вступ
Протягом курсу елементарної алгебри кілька разів відбуваєтьсязбагачення запасу чисел. Школяр, що приступає до вивчення алгебри, приносить зарифметики знайомство з позитивними і дробовими числами. Алгебра починаєтьсявласне кажучи з уведення негативних чисел, тобто з оформлення першої середважливішої числових систем – системи цілих чисел, що складаються з усіхпозитивних і всіх негативних цілих чисел і нуля, і більш широкої системираціональних чисел, що складається з усіх цілих чисел і всіх дробових чисел, якпозитивних, так і негативних.
Подальше розширення запасу чисел відбувається тоді, коли в розгляданнявводяться ірраціональні числа. Система, що складається з раціональних і всіхірраціональних чисел, називається системою дійсних (чи речовинних) чисел. Строгапобудова системи дійсних чисел міститься звичайно в університетському курсіматематичного аналізу; для нас, однак, було досить у попередніх главах і будедосить надалі того знайомства з дійсними числами, якої володіє читач, якийприступає до вивчення вищої алгебри.
Нарешті, у самому кінці курсу елементарної алгебри система дійснихчисел залишається для читача менш звичної, звичайно, чим система дійсних чисел,хоча насправді вона має багатьма дуже гарними властивостями.
Теорія
Переходимо до питання про зведення комплексних чисел у степінь ізнаходження з них кореня. Для зведення числа a=a+bi у цілу позитивний степінь nдосить застосувати до вираження (a+bi) n. Формулу бінома Ньютона (ця формуласправедлива і для комплексних чисел, так, як її доказ заснований лише на законідистрибутивності), а потім скориставшись рівностями i2= — 1, i3= — i, i4=1,відкіля взагалі
i4k= 1, i4k+1= i, i4k+2= — 1, i4k+3= — i.
Якщо число б задано в тригонометричній формі, то при цілому позитивномуn випливає наступна формула, називана формулою Муавра:
/> (1)
тобто при зведенні комплексного числа в ступінь модуль зводиться в цейступінь, а аргумент збільшується на показник ступеня. Формула (1) вірна і дляцілих негативних показників. Дійсно, через б-n=(б-1) n, досить застосуватиформулу Муавра до числа б-1.
Окремий випадок формули Муавра, а саме рівність
/>
дозволяє легко одержати формули для синуса і косинуса кратного кута. Дійсно,розкриваючи ліву частину цього рівності по формулі бінома і дорівнюючи окремодійсні і мнимі частини обох частин рівності, ми одержимо:
/>/>
Тут /> єобічне позначення біноміального коефіцієнта:
/>
При n=2 ми приходимо до відомих формул
/>
а при n=3 до формул
/>
Витяг кореня з комплексних чисел представляє вже багато більшетруднощів. Почнемо з витягу квадратного кореня з числа б=a+bi. Ми не знаємопоки, чи існує таке комплексне число, квадрат якого дорівнює б. Припустимо, щотаке число u+vi існує тобто, уживаючи звичайну символіку, можна написати:
/>
З рівності
(u+vi) 2=a+bi
випливає
/> (2)
Зводячи в квадрат обидві частини кожного з рівностей (2), а потімскладаючи їх одержуємо:
/>
відкіля
/>
позитивний знак узятий тому, що числа u i v дійсні, і тому ліва частинарівності позитивна. З цієї рівності і з першого з рівностей (2) одержуємо:
/>
Ми приходимо, витягаючи корені, до двох значень для u, що відрізняєтьсядруг від друга знаком, а також до двох значень для v. Усі ці значення будутьдійсними, тому що квадратні корені будуть шукаються при будь-яких a і b зпозитивних чисел. Отримані значення для u і v не можна комбінувати між собоюдовільним образом, тому що, через другий з рівностей (2), знак добутку uvповинний збігатися зі знаком b. Це дає дві можливі комбінації значень u і v,тобто два числа виду u+vi, що можуть служити значеннями квадратного кореня зчисла б. Ці числа відрізняються друг від друга знаком. Елементарна, хоча ігроміздка, перевірка (зведенням отриманих чисел у квадрат, окремо для випадкуb>0 і для випадку b
Зокрема, тепер робиться можливим витяг квадратного кореня і знегативного дійсного числа, причому значення цього кореня будуть чисто мнимими.Справді, якщо a, тому що цей корінь повинний бутипозитивним, а тоді /> тобто u=0, відкіля />.
Спроби витягу з комплексних чисел, заданих у виді a+bi, коренів більшвисокого ступеня, чим друга, зустрічаються з невизначеними ускладненнями. Так,якби ми захотіли в такий же спосіб витягти з числа a+bi кубічний корінь, теповинні були б вирішити деяке допоміжне кубічне рівняння. З іншого боку,тригонометрична форма дуже добре пристосована для витягу коренів будь-якогоступеня і, користаючись нею, ми зараз цілком вичерпаємо це питання.
Нехай потрібно витягти корінь n-й ступеня з числа /> Припустимо, що цезробити можна і що в результаті вийде число /> тобто
/> (3)
Тоді, по формулі Муавра, />, тобто /> де в правій частині коштуєоднозначно визначене позитивне значення кореня n-й ступеня з позитивногодійсного числа r. З іншого боку, аргумент лівої частини рівності (3) є n0. Неможна затверджувати, однак, що n0 дорівнює />, тому що ці кути можуть удійсності відрізнятися на доданок, що є деяким цілим кратним числа />. Тому />, де до – цілечисло, відкіля
/>
Назад, якщо ми беремо число /> те при будь-якім цілому до,позитивним чи негативної, n-я ступінь цього числа дорівнює б. Таким чином,
/> (4)
Даючи до різні значення, ми не завжди будемо одержувати різні значенняшуканого кореня. Дійсно, при
/> (5)
ми одержимо n значень кореня, що усі будуть різними, тому що збільшенето на одиницю спричиняє збільшення аргументу на />. Нехай тепер до довільно. Якщоk=nq+r, /> то
/> 
тобто значення аргументу при нашому до відрізняється від значенняаргумента при k=r на число, кратне />, ми одержуємо, отже таке жзначення кореня, як при значенні до, рівному r, тобто вхідним у систему (5).
Опис програми
n-показник степеня кореня;
a,b,f – дійсна, уявна частини та аргумент z;
/>;
i – номер кореня;
x,y – масиви дійсних та уявних частин коренів.
Нижче наведений приклад програми у роботі:
/> Програма
uses crt; const dim=20; type ar=array [1… dim] of real; var a1,b1: real; n1, i1: integer;
x,y: ar;
function sgn(xx: real): integer;
begin
if xx>0 then sgn: =1
else if xx
else sgn: =0;
end;
procedure rootcom(a,b: real; n: integer; var x,y: ar);
var c,r,f: real;
i: integer;
begin
r: =a*a+b*b;
if r0 then r: =exp(ln(r) /2/n);
if a=0 then f: =sgn(b) *pi/2 else
if a>0 then f: =arctan(b/a) else
if b
f: =f/n;
c: =2*pi/n;
for i: =1 to n do
begin x [i]: =r*cos(f); y [i]: =r*sin(f); f: =f+c; end;
end;
begin clrscr;
textcolor(10);
write('ўўҐ¤iвм ¤i©б­г з бвЁ­гà');
textcolor(white);
read(a1);
textcolor(10);
write('ўўҐ¤iвм гпў­г з бвЁ­гà');
textcolor(white);
read(b1);
textcolor(10);
write('ўўҐ¤iвм Ї®Є §­ЁЄ б⥯Ґ­пà');
textcolor(white);
read(n1);
rootcom(a1,b1,n1,x,y);
writeln('Љ Ћ ђ … H џ');
for i1: =1 to n1 do
writeln(i1,') ',x [i1]: 1: 2,'+i*(',y [i1]: 1: 2,') ');
readkey;
end.
Контрольні приклади
Приклад 1
/>
Приклад 2
/>
Приклад 3
/>
Висновок
Таким чином, витяг коренів n-й ступеня з комплексного числа б завждиможна і дає n різних значень. Усі значення коренів n-й ступені розташовані наокружності радіуса /> з центром у нулі і поділяють цюокружність на n рівних частин.
Зокрема, корінь n — й ступеня з дійсного числа />б так само має n різних значень,дійсних серед цих значень буде два, одне чи ні одного в залежності від знака бі парності n.
Література
1.А.Г. Курош «Курс высшей алгебры», «Наука», Москва 1975
2.С.Т. Завало, В.М. Костарчук, Б.И. Хацет «Алгебра и теория чисел», Том1,«Высшая школа», Киев 1974
3.С.Т. Завало, В.М. Костарчук, Б.И. Хацет «Алгебра и теория чисел», Том2,«Высшая школа», Киев 1976