--PAGE_BREAK--
« » мая 2001г.
Проверил:
____________________/ /
«___»_______________2001г.
Москва 2001г.
Задача №1. Линейная производственная задача.
Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли
4 0 8 7 316
А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)
5 6 3 2 199
Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль
z=31х1+10х2+41х3+29х4
Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу
4х1+0х2+8х3+7х4≤316
Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу
3х1+2х2+5х3+х4≤216
Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу
5х1+6х2+3х3+2х4≤199
Имеем
4х1+0х2+8х3+7х4≤316
3х1+2х2+5х3+х4≤216 (1)
5х1+6х2+3х3+2х4≤199
где по смыслу задачи
х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0. (2)
Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений
4х1+0х2+8х3+7х4+х5=316 (I)
3х1+2х2+5х3+ х4+х6=216 (II) (3)
5х1+6х2+3х3+2х4+х7=199 (III)
где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно
х5 – остаток сырья 1-го вида,
х6 – остаток сырья 2-го вида,
х7 – остаток сырья 3-го вида.
Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности
х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0, х5≥0, х6≥0, х7≥0 (4)
надо найти то решение, при котором функция
z=31х1+10х2+41х3+29х4
будет иметь наибольшее значение
Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода.
Из функции z(x)видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса.
Найдем ведущее уравнение:
bi 316 216 199 316
min ------- = ---------- ----- = -----
ai3>0 8 5 3 8
Примем I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом:
С
Базис
Н
31
10
41
29
Поясне-ния
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
х5
316
4
8
7
1
х6
216
3
2
5
1
1
х7
199
5
6
3
2
1
∆
z-z
0-z
-31
-10
-41
-29
41
х3
39,5
1/2
1
7/8
1/8
х6
18,5
1/2
2
-27/8
-5/8
1
х7
80,5
7/2
6
-5/8
-3/8
1
∆
z-z
1619,5
-21/2
-10
55/8
41/8
41
х3
28
-6/7
1
54/56
10/56
-1/7
Все ∆j≥
х6
7
8/7
-23/7
-4/7
1
-1/7
31
х1
23
1
12/7
-10/56
-6/56
2/7
∆
z-z
1861
8
5
4
3
продолжение
--PAGE_BREAK--
Оптимальная производственная программа:
х1=23, х2=0, х3=28, х4=0
Остатки ресурсов:
Первого вида – х5=0;
Второго вида – х6=7;
Третьего вида – х7=0
Максимальная прибыль zmax=1861
Обращенный базис Q-1
10/56 0 -1/7
Q-1= -4/7 1 -1/7
-6/56 0 2/7
х5 х6 х7
Базис Q
8 0 4
Q= 5 1 3
3 0 5
х3 х6 х1
Самопроверка.
10/56•8+0•5-1/7•3 10/56•0+0•1-1/7•0 10/56•4+0•3-1/7•5 1 0 0
Q-1 •Q= -4/7•8+1•5-1/7•3 -4/7•0+1•1-1/7•0 -4/7•4+1•3-1/7•5 = 0 1 0
-6/56•8+0•5+2/7•3 -6/56•0+0•1+2/7•0 -6/56•4+0•3+2/7•5 0 0 1
10/56•316+0•216-1/7•199 28
Q-1 •B= -4/7•316+1•216-1/7•199 = 7
-6/56•316+0•216+2/7•199 23
Задача №
2
. Двойственная задача.
Предприниматель Петров, занимающийся производством других видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает заплатить у1 за каждую единицу 1-го ресурса
у2 за каждую единицу 2-го ресурса
у3 за каждую единицу 3-го ресурса.
В нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид
4 0 8 7 316
А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)
5 6 3 2 199
для производства единицы продукции 1-го вида мы должны затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида.
В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят
4у1+3у2+5у3≥31
Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида
2у2+6у3≥10
Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида
8у1+5у2+3у3≥41
Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида
7у1+у2+2у3≥29
Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить
316у1+216у2+199у3
Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок
У=(у1, у2, у3)
Минимизирующийобщую оценку всех ресурсов
f=316у1+216у2+199у3
при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:
4у1+3у2+5у3≥31
2у2+6у3≥10
8у1+5у2+3у3≥41
7у1+у2+2у3≥29
При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными
у1≥0, у2≥0, у3≥0
На основании 2-й основной теоремы двойственности
Х=(х1, х2, х3, х4) и у=(у1, у2, у3)
Необходимо и достаточно выполнения условий
х1(4у1+3у2+5у3-31)=0
х2(2у2+6у3-10)=0
х3(8у1+5у2+3у3-41)=0
х4(7у1+у2+2у3-29)=0
Учитывая, что в решении исходной задачи х1>0, x3>0
Поэтому
4у1+3у2+5у3-31=0
8у1+5у2+3у3-41=0
Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю у2=0
Имеем систему уравнений
4у1+3у2+5у3-31=0
8у1+5у2+3у3-41=0
Решим систему:
4у1+5у3=31
у1=(31-5у3)/4
8((31-5у3)/4)+3у3=41
-7у3=-21
у1=(31-15)/4
откуда следует
у1=4, у3=3
Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов
у1=4, у2=0, у3=3
Общая оценка всех ресурсов
f=316у1+216у2+199у3
f=1264+0+597=1861
Задача №
2
.1. Задача о «расшивке узких мест производства».
При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, образуя «узкие места производства». Их необходимо заказать дополнительно.
Пусть Т=(t1, 0, t3) – вектор дополнительных объемов ресурсов.
Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие
Н+Q-1Т≥0
Необходимо найти вектор
Т=(t1, 0, t3)
максимизирующийсуммарный прирост прибыли
w=4t1+3t3
28 10/56 0 -1/7 t1 0
7 + -4/7 1 -1/7 · 0 ≥ 0
23 -6/56 0 2/7 t3 0
Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида
t1 316
0 ≤1/3 216
t3 199
гдеt1≥0,t3≥0
10/56t1-1/7t3≥-28
-4/7t1-1/7t3≥-7
-6/56t1+2/7t3≥-23
-10/56t1+1/7t3≤28
4/7t1+1/7t3≤7
6/56t1-2/7t3≤23
t1≤316/3, t3≤199/3
t1≥0, t3≥0
t1
t3
I
-156,8
I
196
II
12,25
II
49
III
214,66
III
-80,5
IV
105,33
V
66,33
Программа расшивки имеет вид
t1=0, t2=0, t3=49
и прирост прибыли составляет
w=4t1+3t3=3∙49=147
Сводка результатов приведена в таблице:
Сj
31
10
41
29
b
x4+i
yi
ti
aij
4
8
7
316
4
3
2
5
1
216
7
5
6
3
2
199
3
49
xj
23
28
1861
147
∆j
8
5
Задача №
3
. Транспортная задача линейного программирования.
Исходные данные:
31 40 41 49
45 4 5 8 6
60 3 2 5 1
65 5 6 3 2
Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции.
Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161единиц продукции.
Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».
b1=31
b2=40
b3=41
b4=49
b5=9
a1=45
31
14
*
p1=0
a2=60
26
34
p2=-3
a3=65
7
49
9
p3=-5
q1=4
q2=5
q3=8
q4=7
q5=5
Θ=9 z(x1)=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535
b1=31
b2=40
b3=41
b4=49
b5=9
a1=45
31
5
9
p1=0
a2=60
35
25
*
p2=-3
a3=65
16
49
9
p3=-5
q1=4
q2=5
q3=8
q4=7
q5=5
Θ=25 z(x2)=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490
b1=31
b2=40
b3=41
b4=49
b5=9
a1=45
31
5
9
p1=0
a2=60
35
25
p2=-3
a3=65
41
24
p3=-2
q1=4
q2=5
q3=5
q4=4
q5=
z(x3)=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415
Задача №
4
. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.
Исходные данные:
xj
100
200
300
400
500
600
700
f1(xj)
10
23
30
38
43
49
52
f2(xj)
13
25
37
48
55
61
66
f3(xj)
16
30
37
44
48
50
49
f4(xj)
10
17
23
29
34
38
41
Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».
-x2
100
200
300
400
500
600
700
x2
10
23
30
38
43
49
52
10
23
30
38
43
49
52
100
13
13
23
36
43
51
56
62
200
25
25
35
48
55
63
68
300
37
37
47
60
67
75
400
48
48
58
71
78
500
55
55
65
78
600
61
61
71
700
66
66
100
200
300
400
500
600
700
F2( )
13
25
37
48
60
71
78
x2( )
100
200
300
200
300
400
500
-x3
100
200
300
400
500
600
700
x3
13
25
37
48
60
71
78
13
25
37
48
60
71
78
100
16
16
29
41
53
64
76
87
200
30
30
43
55
67
78
90
300
37
37
50
62
74
85
400
44
44
57
69
81
500
48
48
61
73
600
50
50
63
700
49
49
100
200
300
400
500
600
700
F3( )
16
30
43
55
67
78
90
x3( )
100
200
200
200
200
200
200
-x4
100
200
300
400
500
600
700
x4
16
30
43
55
67
78
90
90
100
10
88
200
17
84
300
23
78
400
29
72
500
34
64
600
38
54
700
41
41
x4*=x4(700)=0
x3*=x3(700-x4*)=x3(700)=200
x2*=x2(700-x4*-x3*)=x2(700-200)=x2(500)=300
x1*=700-x4*-x3*-x2*=700-0-200-300=200
x1=200
x2=300
x3=200
x4=0
Задача №
5
. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
Исходные данные:
Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short saleи с какими ценными бумагами?
продолжение
--PAGE_BREAK--