Правила дифференцирования

Государственное образовательное учреждение
среднего профессионального образования –
Новокуйбышевский государственный гуманитарно-технологический колледж
 
 
 
                     
 
 
                    
 
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
 
по дисциплине: «Математика»
по теме: «Правила Дефферинцирования»
 
 
 
 
 
 
 
                                                                                     
 
                                                                            Лапшина Дмитрия Петровича
                                                                            студента Iкурса группы 10п
                                                                            специальность 050501.52
                                                                            «Профессиональное обучение»
                                                                            Форма обучения: очная
 
                                                                            Преподаватель: Попкова А.Д.
 
                                                                            Оценка:________________
                                                                            Подпись преподавателя
                                                                            _____________А.Д. Попкова
 
 
 
 
 
 
 
 
        
 
2010
Содержание:
Основные правила дифференцирования…………………………………….3
Логарифмическое дифференцирование……………………………………..4
Показательно-степенная функция и ее дифференцирование………………5
Таблица производных…………………………………………………………6
Производная обратных функций……………………………………………..8
Понятие дифференциала функции. Связь между дифференциалом и производной……………………………………………………………………9
Геометрический смысл дифференциала……………………………………11
Теорема об инвариантности дифференциала………………………………12
Применение дифференциала к приближенным вычислениям…………….13
Список литературы…………………………………………………………...15
 

Основные правила дифференцирования
 
Обозначим f(x) = u, g(x) = v — функции, дифференцируемые в точке х.
 
1)(uv)= uv 
2) (uv)= uv+ uv 
3)/>, если v0
 
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производные основных элементарных функций:
 
1)С = 0; 9) /> 
2)(xm) = mxm-1; 10) /> 
3) /> 11) /> 
4) /> 12) /> 
5) /> 13) /> 
6) /> 14) /> 
7)/>15) /> 
8) /> 16) /> 

Логарифмическое дифференцирование 
 
Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этого поступают следующим образом. Если требуется найти y' из уравнения y=f(x), то можно:
1.              Прологарифмировать обе части уравнения (по основанию е) ln y = ln f(x) = j(x).
2.              Продифференцировать обе части равенства, считая ln y сложной функцией от переменной x: />.
3.              Выразить y' = y·j'(x) = f(x)·(lnx)'.
Примеры. 
1.              y= xa – степенная функция с произвольным показателем.
 
/>.
2.              />
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Показательно-степенная функция и ее дифференцирование
 
Показательно-степеннойфункцией называется функция вида y = uv, где u=u(x), v=v(x).
Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.
 
/>
/>
Примеры
 
1.              />
2.              />.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Таблица производных
 
Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать u=u(x), v=v(x), С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.
1.              />.
2.              />.
3.              />.
4.              />.
5.              />.
а)/>.
б) />.
6.              />.
7.              />.
/>.
8.              />
9.              />.
10.          />.
11.          />.
12.          />.
13.          />.
14.          />.
15.          />.
16.          />.
17.          />.
 
Примеры
 
1.              />
2.              />
3.              />. Найти y'(–1).
/>
 
 
 
Производная обратных функций
 
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x= g(y)имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x= g(y) по х:
 
/> 
т.к. g(y)  0/> 
 
/>
 
т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Пример. Найти формулу для производной функции arctg.
Функция arctgявляется функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:
/> 
Известно, что /> 
По приведенной выше формуле получаем:
 
/> 
Т.к. /> то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:
/> 
Понятие дифференциала функции. Связь между дифференциалом и производной
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторой точке х0[a; b] определяется равенством
/>
Следовательно, по свойству предела
/>
Умножая все члены полученного равенства на Δx, получим:
Δy= f '(x0)·Δx+ a·Δx. 
Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х0) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. Главную часть приращения функции, т.е. f '(х0)·Δx называют дифференциалом функции в точке х0и обозначают через dy.
Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f '(x) в точке x, то произведение производной f '(x) на приращение Δx аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:
dy= f '(x)·Δx
(1)
 
Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно, dy=dx=Δx. Таким образом, дифференциал dxнезависимой переменной xсовпадает с ее приращением Δx. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:
 
dy= f '(x)dx
 
Но из этого соотношения следует, что />. Следовательно, производную f '(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.
Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке.
Справедливо и обратное утверждение.
Если для данного значения x приращение функции Δy = f(x+Δx) – f(x) можно представить в виде Δy = A·Δx + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию />, т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеет производную в точке x и f '(x)=А.