Пошукова робота на тему:
Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання.
План
Похідні вищих порядків
Диференціали вищих порядків.
Похідна другого порядку від функції, заданої параметрично.
6.9. Похідні вищих порядків
Нехай функція /> задана на деякому проміжку /> і нехай всередині цього проміжку вона має похідну />. Тоді може трапитися випадок, що />, будучи функцією від/>, в деякій точці />, а можливо, і в усіх точках цього проміжку, в свою чергу, має похідну. Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною, від функції /> в точці />.
Похідна другого порядку позначається одним із символів:
/> /> /> />.
Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку від похідної першого порядку, тобто
/>.
Звідси випливає таке правило знаходження похідної другого порядку: щоб знайти від функції /> похідну другого порядку, треба знати спочатку від цієї функції похідну першого порядку />, а потім від похідної /> знайти ще похідну першого порядку. Інакше кажучи, щоб знайти />, треба функцію продиференціювати два рази.
Приклад. Знайти /> від функції />.
Р о з в ’ я з о к. Знаходимо />: />.
Для знаходження /> цей результат диференціюємо ще раз. Маємо
/>.
Зауваження. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом
/>.
то />, як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу:
/>.
Тоді прискорення /> визначають як похідну першого порядку від швидкості, тобто />, але />, тому />.
Отже, похідній другого порядку можна дати механічну інтерпретацію, а саме: її можна тлумачити як величину, що дорівнює прискоренню рухомої точки в даний момент часу.
Подібно до того як ми означили похідну другого порядку, визначається й похідна третього порядку.
Нехай у кожній внутрішній точці проміжку /> існує похідна другого порядку />. Отже, /> є функція />. Припустимо, що /> в деякій внутрішній точці /> має похідну першого порядку .
Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається похідною третього порядку, або третьою похідною в точці, і позначається одним із символів:
/>.
Отже, за означенням
/>.
Звідси й випливає правило знаходження похідної третього порядку, треба функцію послідовно три рази продиференціювати.
Приклад. Знайти /> від функції />.
Р о з в ’ я з о к. Знаходимо />: />.
Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо
/>.
Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку:
/>.
Від похідної третього порядку можна перейти до похідної четвертого порядку, а від похідної четвертого порядку – до похідної п’ятого порядку і т. д. Взагалі, якщо припустити, що від функції вже визначена похідна /> - го порядку /> і остання існує в кожній внутрішній точці проміжку />, то можна дати означення похідної /> - го порядку від функції /> в точці />.
Означення. Похідна першого порядку, якщо вона існує, від похідної /> - го порядку називається похідною /> - го порядку, або /> - ю похідною, позначається одним із символів:
/>.
Отже, згідно з означенням похідної /> - го порядку маємо таку рівність:
/>,
а звідси й випливає правило знаходження похідної /> - го порядку: щоб знайти похідну /> - го порядку, треба функцію /> продиференціювати послідовно /> раз.--PAGE_BREAK--
Зауважимо, що похідні від першого до четвертого порядку позначають так: />. Похідні п’ятого, шостого і т. д.
/> — го порядку: />.
6.10. Диференціали вищих порядків
Розглянемо на деякому проміжку /> функцію />, яка на цьому проміжку має похідні до /> - го порядку включно. Тоді для такої функції в кожній точці проміжку /> існує диференціал
/>.
У подальшому диференціал /> називатимемо диференціалом першого порядку, або першим диференціалом від функції />.
Диференціал першого порядку є функція від /> і отже, якщо функція /> є, в свою чергу диференційованою на проміжку />, то вона (або, те саме, />) має диференціал. Цей диференціал називають диференціалом другого порядку, або другим диференціалом від функції />, і позначають />.
Отже, за означенням />. Підставимо в цю рівність />. Матимемо
/>.
Оскільки /> є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для диференціала другого порядку:
/>. (6.68)
Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема, якщо для функції /> уже означений диференціал /> - го порядку /> - й диференціал /> то диференціалом /> - го порядку, або /> - м диференціалом від функції /> називається диференціал першого порядку від диференціала /> - го порядку. Диференціал /> - го порядку визначається символом />.
Отже, згідно з означенням
/>.
Використовуючи формулу диференціала першого порядку, можна вивести таку формулу для диференціала /> - го порядку:
/>
/> (6.69)
Приклад. Знайти другий диференціал від функції />.
Р о з в ’ я з о к. Знаходимо похідні /> і />:
/>,
/>
Тоді
/>.
При розгляданні диференціала першого порядку була доведена його інваріантна властивість: форма диференціала не змінюється і в тому випадку, коли аргумент функції /> є, в свою чергу, деякою функцією від />.
Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають. Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку.
Нехай маємо складну функцію />, де функції /> і /> мають похідні за своїми аргументами до другого порядку включно. Тоді /> має диференціал />,
де /> - похідна за аргументом />, а />.
Знайдемо />. Згідно з означенням
/>.
Оскільки диференціал першого порядку має інваріантну властивість, то
/>
Остаточно дістанемо таку рівність:
/>. (6.70)
Порівнюючи формули (6.75) та (6.77), виводимо, що формула диференціала другого порядку змінюється. У формулі (6.70) є новий доданок />, який у випадку /> не дорівнює нулю.
Якщо функція задана параметрично
/>
то її друга похідна обчислюється за формулою
/> (6.71)