--PAGE_BREAK-- 1.2.2 Уравнение прямой в отрезках
Дано уравнение Ax + By + = 0при условии, что ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю. Преобразуем его к виду:
x
/ -
C
/
A
+
y
/-
C
/
B
= 1.
Вводя обозначения a
= —
C
/
A, b
= —
C
/
B, получаем:
x/a + y/b = 1.
Данное уравнение называется уравнением прямой «в отрезках». Числа aи b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения прямой удобна для геометрического уравнения прямой.
Пример. Прямая задана уравнением 3
x – 5
y + 15 = 0. Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить прямую. Для данной прямой уравнение «в отрезках» имеет вид:
x/- 5 +
y/3 = 1.
Чтобы построить эту прямую, отложим на осях координат Oxи Oy отрезки, величины которых соответственно равны a = — 5, b = 3, и проведем прямую через точки M1 (-5; 0) и M2 (0; 3).
1.2.3 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение прямой с угловым коэффициентом выглядит следующим образом:
y — yo = k (x — xo),
где k — угловой коэффициент прямой, то есть k = tg
a, где a — величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (xo, yo ) — некоторая точка, принадлежащая прямой.
Уравнение принимает вид y = kx + b, если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy.
Пример. Построить прямую, заданную уравнением y = (3/4)
x + 2.
Отложим на оси Oyотрезок OB, величина которого равна 2, проведем через точку B параллельно оси Ox отрезок, величина которого BN = 4, и через точку N параллельно оси Oy отрезок, величина которого NM = 3. Затем проведем прямую BM, которая и является искомой. Она имеет угловой коэффициент k = ¾ и отсекает на оси Oy отрезок величины b = 2.
1.2.4 Нормальное уравнение прямой
Нормальное уравнение прямой имеет следующий вид:
rnо — р = 0,
где r — радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой,nо — единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р — расстояние от начала координат до прямой.
Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:
x cos
a + y sin
a — р = 0,
где a — величина угла, образованного прямой с осью Оx.
Для данной прямой, следовательно, p = 1,
cos α = 3/5,
sin α = — 4/5.
Пример. Уравнение прямой 3
x – 4
y – 5 = 0 привести к нормальному виду. Нормирующий множитель μ = -1 / √32 + 42 = — 1/5. Умножая на него обе части данного уравнения, получим:
3/5
x – 4/5
y – 1 = 0.
1.2.5 Уравнение пучка прямых
Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x1, y1) имеет вид:
y-y1 =
l(x-x1 ),
где l — параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A1x + B1y + C1= 0, A2 x + B2 y + C2 = 0, то его уравнение имеет вид:
l
(A1 x + B1 y + C1) +
m
(A2 x + B2 y + C2 )=0,
где l и m — параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.
Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k1 x + b1 задается формулой:
tg
j = .
Равенство 1 + k1 k = 0 есть необходимое условие перпендикулярности прямых.
Для того, чтобы два уравнения
A1 x + B1 y + C1= 0,
A2 x + B2 y + C2 = 0,
задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:
A1/A2 = B1/B2 = C1/C2.
Уравнения задают две различные параллельные прямые, если A1/A2= B1/B2 и B1/B2
¹C1/C2; прямые пересекаются, если A1/A2
¹ B1/B2.
Расстояние d от точки Mо (xо, yо) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки Mо к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d =
êrо nо — р
ê, где rо — радиус-вектор точки Mо или, в координатной форме, d =
êxо cos
a + yо sin
a — р ê.
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x +2a2y +a = 0.
Предполагается, что среди коэффициентов a11, a12, a22есть отличные от нуля.
Уравнение окружности с центром в точке С (a, b) и радиусом, равным R:
(x — a)2 + (y — b)2 = R2.
продолжение
--PAGE_BREAK--