Исходные данные к курсовому проекту
Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим:
посадка осуществляется по нормали к поверхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;
на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и сила тяги />, где с=const, а β – секундный расход массы m, />;
аэродинамические силы отсутствуют.
Уравнения движения КА могут быть представлены в виде:
/>; />; />, где h – текущая высота;
или в нормальной форме:
/>; />; />; />.
Здесь введены обозначения:
/>; />; />; />; />.
Граничные условия имеют вид:
/>; />; />; />; />,
причем Т заранее неизвестно. Требуется найти программу управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходе топлива, то есть />.
Исходные данные для расчетов
Начальная масса КА
/>, кг.
Начальная высота
/>, км.
Начальная
скорость
/>, км/с
Отношение силы тяги
к начальной массе />, м/с2
500
190
2,65
42,5
/>=190000 м.
/>=2650 м/с
Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с2, величина с=3000 м/с.
Задание к курсовому проекту
Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.
Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление.
Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x0, x1, x2, а в момент t=T компоненты x1, x2, ψ0.
Из условия Н(Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т.
Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения
/>.
Доказать, что Кu не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует.
Показать, что Кu есть монотонная функция t.
Рассмотреть четыре возможных случая:
а) Ku>0 для всех />;
б) Ku;
в) Ku>0 для />, Ku;
г) Ku, Ku>0 для />.
Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше.
Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t1 управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t1, управление равно своему максимальному значению u*=umax, что соответствует минимальному расходу топлива.
Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда /> и управление u*=0, и когда />, u*=umax.
Приравнивая х1(Т) и х2(Т) нулю, получить два уравнения относительно t1 и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t1, Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).
Выполнение задания курсового проекта
Нам известно, что
/>, где с – сила тяги двигателя,
m – масса космического аппарата;
/> – ускорение аппарата.
То есть, масса · ускорение = сумме сил, действующих на аппарат.
β – секундный расход массы m: />.
Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β), ее можно менять в пределах />.
/>можно найти из исходных данных – выразив из отношения силы тяги к начальной массе Pmax/m(0):
/>;--PAGE_BREAK--
/>;
/> кг/с.
Наш критерий оптимизации />. Введем принятые в исходных данных обозначения:
/>; />.
Начальный момент времени t=0, конечный момент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.
/>;
Тогда критерий оптимизации:
/>;
/>. (Здесь />.)
Теперь необходимо написать уравнение состояния системы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную.
Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3 уравнения состояния:
/>;
/>;
/>.
Выберем управление:
/>/>;
Подставляем уравнения состояния, получим:
так как />и />, отсюда
/>/>;
/>/>;
/>/>.
Критерий оптимизации:
/>.
Введем переменные х0и хn+1 (то есть х4).
/>, где t – текущее время.
/>.
Тогда основные уравнения состояния:
/>/>
/>/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
Составим гамильтониан Н:
/>;
/>.
Оптимальному управлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной области возможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.
То есть нужно добиться максимума этой функции, меняя u1. Это и будет оптимальное управление.
Для функций ψi тоже получим сопряженные уравнения, которые имеют вид />:
/>
/> – так как функция не зависит от х0,
следовательно производная равна нулю;
/> – аналогично, так как функция не зависит от х1.
/>
/>
/>
Итак, нужно найти максимум гамильтониана:
/>
/>
Функция переключения:
/>
Используя для вычислений Mathcad, получим оптимальное управление:
/>
Таким образом оказалось, что оптимальное управление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигатель должен быть совсем выключен (при Ku0).
Посмотрим, как меняется функция переключения Кu во времени:
/>;
Для определения ψ1 и ψ2 решаем сопряженные уравнения:
/>, следовательно, ψ1 = const, обозначим ψ1=с1.
/>, следовательно, />, где c2 = const.
Итак,
/>
Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const – величина постоянная, поэтому производная /> имеет всегда постоянный (один и тот же) знак. То есть величина Ku либо всё время монотонно возрастает, либо всё время монотонно убывает. А это означает, что она может пройти через ноль только один раз.
Рассмотрим четыре возможных случая:
а) Ku>0 для всех />;
б) Ku;
в) Ku>0 для />, Ku; продолжение
--PAGE_BREAK--
г) Ku, Ku>0 для />.
В случаях б) (когда двигатель КА выключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен на максимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полет происходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкой посадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтому оптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.
Следовательно, остаются два реализуемых варианта – а) и г). И оптимальное управление предполагает либо всё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет с выключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет с двигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки. Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть пути проделывается с выключенным двигателем.
Поэтому оптимальным управлением в данной ситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходит включение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальную мощность.
Итак, оптимальному управлению соответствует
/>
На первом участке полета, на котором u1=0:
/>
/>
/>
/>
/>; />; />;
/>;
/>;
/>.
Рассмотрим второй участок полета u1=7,083:
Зададимся условием, что при t=t* (в момент включения двигателя):
/>;
/>;
/>.
/>/>
/>
/>
На отрезке полета со включенным двигателем:
/>;
так как />, запишем:
/>.
Теперь, зная х3, можно выразить х2:
/>/>/>
/>
/>
/>.
Теперь, зная х2 выразим х1:
/>
/>
/>
/>
/>;
На отрезке пути h(t):
/>
/>
/>
В момент посадки t=T высота и скорость должны быть равны нулю, то есть /> и />. На основании этого утверждения приравняем х1(T) и х2(Т) нулю и получим таким образом два уравнения относительно t* и T. Таким образом, краевая задача у нас свелась к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t* и Т:
/>/>
/>
Из второго уравнения системы выразим момент времени, на котором включается двигатель:
/>;
Подставим это выражение в первое уравнение системы, получим уравнение для нахождения времени полета T(оно же время посадки):
/>
Для расчета времени полета Т воспользуемся программой Mathcad. На следующем листе приведены эти вычисления1:
Теперь, зная Т и t*, можно определить конечную массу космического аппарата m(T):
/>кг.
Можно рассчитать высоту h(t*), на которой КА должен включить двигатели:
/>м.
Таким образом, включение двигателей происходит на 3317-ой секунде полета на высоте около 67 км. от поверхности планеты. Тот же результат мы наблюдаем и на графике.