ПОХІДНІ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛИФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
1 Частинніпохідні
Нехай функція /> визначена вдеякому околі точки />.
Надамо змінній x приросту/>, залишаючизмінну /> незмінною,так, щоб точка /> належала заданому околу.
Величина
/>
називаєтьсячастинним приростом функції /> за змінною x.
Аналогічновводиться частинний приріст /> функції за змінною/>:
/>.
Якщо існуєграниця
/>,
то вонаназивається частинною похідною функції /> в точці /> за змінною x і позначається одниміз таких символів:
/>.
Аналогічночастинна похідна функції />за /> визначається як границя
/>
і позначаєтьсяодним із символів:
/>.
Згідно зозначенням при знаходженні частинної похідної /> обчислюють звичайну похіднуфункції однієї змінної x, вважаючи змінну /> сталою, а при знаходженніпохідної /> сталоювважається змінна x. Тому частинні похідні знаходять за формулами і правиламиобчислення похідних функцій однієї змінної.
Частинна похідна /> (або/>) характеризуєшвидкість зміни функції в напрямі осі />(або/>).
З’ясуємогеометричний зміст частинних похідних функції двох змінних. Графіком функції /> є деякаповерхня (рис 1). Графіком функції /> є лінія перетину цієї поверхні зплощиною/>.Виходячи з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної, отримаємо,що/>, де/>– кут між віссю/> ідотичною, проведеною до кривої /> в точці/>. Аналогічно/>.
/>
Рисунок 1 –Геометричний зміст частинних похідних
Для функції /> n зміннихможна знайти n частинних похідних:
/>,
де
/>,
/>.
Щоб знайтичастинну похідну/>, необхідно взяти звичайну похіднуфункції /> зазмінною/>, вважаючирешту змінних сталими.
Якщо функція /> задана вобласті /> імає частинні похідні /> в усіх точках/>, то ці похідні можнарозглядати як нові функції, задані в області/>.
Якщо існуєчастинна похідна за x від функції/>, то її називають частинноюпохідною другого порядку від функції /> за змінною x і позначають /> або />.
Таким чином, заозначенням
/>або/>.
Якщо існуєчастинна похідна від функції /> за змінною/>, то цю похіднуназивають мішаною частинною похідною другого порядку від функції />і позначають/>, або/>.
Отже, за означенням
/>або />.
Для функції двохзмінних /> можнарозглядати чотири похідні другого порядку:
/>.
Якщо існуютьчастинні похідні від частинних похідних другого порядку, то їх називаютьчастинними похідними третього порядку функції/>, їх вісім:
/>
/>.
Виникаєзапитання: чи залежить результат диференціювання від порядку диференціювання?Інакше кажучи, чи будуть рівними між собою мішані похідні, якщо вони взяті заодними і тими самими змінними, одне й те саме число разів, але в різномупорядку? Наприклад, чи дорівнюють одна одній похідні
/>і /> або /> і/>?
У загальномувипадку відповідь на це запитання негативна.
Проте справедливатеорема, яку вперше довів К.Г.Шварц.
Теорема (про мішані похідні).Якщофункція />визначенаразом із своїми похідними /> в деякому околі точки />, причомупохідні /> та/> неперервнів точці/>,то в цій точці
/>.
Аналогічнатеорема справедлива для будь-яких неперервних мішаних похідних, яківідрізняються між собою лише порядком диференціювання.
2 Диференційованістьфункції
похіднадиференціал функція змінна
Нехай функція /> визначена вдеякому околі точки/>. Виберемо прирости /> і /> так, щоб точка /> належаларозглядуваному околу і знайдемо повний приріст функції в точці/>:
/>.
Функція /> називаєтьсядиференційовною в точці М, якщо її повний приріст в цій точці можна подати увигляді
/>, (1)
де /> та /> – дійсні числа, які незалежать від /> та />, /> – нескінченно малі при /> і /> функції.
Відомо, що колифункція однієї змінної диференційовна в деякій точці, то вона в цій точцінеперервна і має похідну. Перенесемо ці властивості на функції двох змінних.
Теорема 1 (неперервністьдиференційовної функції).
Якщо функція /> диференційовнав точці М, то вона неперервна в цій точці.
Доведення
Якщо функціядиференційовна в точці М, то з рівності (1) випливає, що/>. Це означає, що функціянеперервна в точці М.
Теорема 2 (існування частинних похіднихдиференційовної функції). Якщо функція /> диференційовна в точці />, то вона має вцій точці похідні /> та /> і/>.
Доведення
Оскільки /> диференційовнав точці/>,то справджується рівність (1). Поклавши в ній/>, отримаємо,
/>.
Поділимо обидвічастини цієї рівності на /> і перейдемо до границі при/>:
/>.
Отже, в точці /> існує частиннапохідна/>.Аналогічно доводиться, що в точці /> існує частинна похідна/>.
Твердження,обернені до теорем 1 і 2, взагалі кажучи, неправильні, тобто із неперервностіфункції /> абоіснування її частинних похідних ще не випливає диференційовність. Наприклад,функція /> неперервнав точці/>,але не диференційовна в цій точці. Справді, границі
/>
не існує, тому неіснує й похідної/>. Аналогічно впевнюємося, що неіснує також похідної/>. Оскільки задана функція в точці /> не має частиннихпохідних, то вона в цій точці не диференційовна.
Більш того,відомо приклади функцій, які є неперервними в деяких точках і мають в нихчастинні похідні, але не є в цих точках диференційовними.
Теорема 3 (достатні умовидиференційовності ).
Якщо функція /> має частинніпохідні в деякому околі точки />і ці похідні неперервні в точці М,то функція /> диференційовнав точці М.
Доведення
Надамо змінним xі /> приростів/>, таких,щоб точка /> належаладаному околу точки />. Повний приріст функції /> запишемо увигляді
/>. (2)
Вираз у першихквадратних дужках рівності (2) можна розглядати як приріст функції однієїзмінної x, а в других – як приріст функції змінної />. Оскільки дана функція маєчастинні похідні, то за теоремою Лагранжа отримаємо:
/>
/>.
Похідні /> та /> неперервні вточці М, тому
/>,
/>.
Звідси випливає,що
/>,
/>,
де/>, /> – нескінченно маліфункції при /> і/>.
Підставляючи цівирази у рівність (2), знаходимо
/>, а це й означає, що функція/> диференційовнав точці/>.
З теорем 2 і 3випливає такий наслідок: щоб функція /> була диференційовною в точці,необхідно, щоб вона мала в цій точці частинні похідні, і достатньо, щоб вонамала в цій точці неперервні частинні похідні.
Зазначимо, що дляфункції />однієїзмінної існування похідної /> в точці /> є необхідною і достатньою умовоюїї диференційовності в цій точці.
3 Повнийдиференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок.Диференціали вищих порядків
Нагадаємо, щоколи функція /> диференційовна в точці/>, то її повнийприріст у цій точці можна подати у вигляді
/>,
де /> і /> при/>.
Повнимдиференціалом /> диференційовної в точці /> функції /> називаєтьсялінійна відносно /> та /> частина повного приросту цієїфункції в точці M, тобто
/>. (3)
Диференціаламинезалежних змінних x та /> назвемо прирости цих змінних/>. Тоді зурахуванням теореми 2 рівність (3) можна записати так:
/>. (4)
Аналогічнаформула має місце для диференційовної функції трьох змінних/>:
/>. (5)
З формул (4) і(5) може здатися, що повний диференціал /> існуватиме у кожній точці, в якійіснують частинні похідні. Але це не так. Згідно з означенням, повнийдиференціал можна розглядати лише стосовно диференційовної функції.
Теореми таформули для диференціалів функції однієї змінної повністю зберігаються і длядиференціалів функцій двох, трьох і т.д. змінних. Так, незалежно від того, відяких аргументів залежать функції u і />, завжди справедливі рівності
/>
/>
/>
/>
Покажемо, щорізниця між повним приростом /> і диференціалом /> при /> і /> є нескінченно малавеличина вищого порядку, ніж величина/>.
Дійсно, з формул(1) і (3) маємо
/>,
оскільки функції /> – нескінченномалі при/>, />, а /> та /> – обмеженіфункції:
/>.
Отже, різниця /> – нескінченномала величина вищого порядку, ніж/>. Тому повний диференціалназивають також головною частиною повного приросту диференційовної функції. Прицьому виконується наближена рівність /> або
/>. (6)
Ця рівність тимточніша, чим менша величина/>. Рівність (6) широковикористовується у наближених обчисленнях, оскільки диференціал функціїобчислюється простіше, ніж повний приріст.
Покажемо, як задопомогою диференціала можна оцінити похибку в обчисленнях.
Нехай заданадиференційовна функція/>, незалежні змінні якої виміряні зточністю/>.Потрібно знайти похибку, з якою обчислюється u.
Природно вважати,що ця похибка дорівнює величині
/>.
Для малих значень/> маємо
/>,
звідки
/>.
Якщо через /> позначитимаксимальну абсолютну похибку змінної />, то можна отримати значеннямаксимальної абсолютної похибки /> функції />:
/>. (7)
Щоб оцінитимаксимальну відносну похибку функції u, поділимо обидві частини рівності (7) на/>:
/>.
Оскільки/>, то
/>,
або
/>,
тобто максимальнавідносна похибка функції дорівнює максимальній абсолютній похибці її логарифма.
Введемо поняттядиференціала вищого порядку.
Нехай /> функціянезалежних змінних />,/>. Повний диференціал цієї функції,знайдений за формулою (3), називають ще диференціалом
першого порядку. Диференціал другого порядку визначають за формулою
/>.
Тоді, якщофункція /> маєнеперервні частинні похідні, то
/>,
звідки
/>. (8)
Символічно цезаписують так:
/>.
Аналогічно можнаотримати формулу для диференціала третього порядку:
/>.
Застосовуючиметод математичної індукції, можна отримати формулу для диференціала n-гопорядку:
/>. (9)
Зазначимо, щоформула (9) справедлива лише для випадку, коли змінні x і /> функції /> є незалежними змінними.
4 Похіднаскладеної функції. Повна похідна. Інваріантність форми повного диференціала
Нехай /> – функція двохзмінних /> та/>, кожна зяких, у свою чергу, є функцією незалежної змінної />:
/>
тоді функція /> є складеноюфункцією змінної />.
Теорема. Якщо функції /> диференційовні в точці />, а функція /> диференційовна в точці />, то складена функція /> такождиференційовна в точці />. Похідну цієїфункції знаходять за формулою
/>. (10)
Доведення
За умовою теореми/>,
де /> та /> при/>,/>.
Поділимо /> на /> і перейдемо дограниці при/>:
/>
Аналогічнознаходять похідну, якщо число проміжних змінних більше двох. Наприклад, якщо />, де />, то
/>. (11)
Зокрема, якщо/>, а/>, то
/>,
а оскільки />, то
/>. (12)
Цю формулуназивають формулою для обчислення повної похідної
(на відміну від частинної похідної/>).
Розглянемозагальніший випадок. Нехай /> – функція двох змінних /> та/>, які, в своючергу, залежать від змінних />:/>, />, тоді функція /> є складеною функцієюнезалежних змінних /> та/>, а змінні /> та /> – проміжні.
Аналогічнопопередній теоремі доводиться таке твердження.
Якщо функції /> та /> диференційовнів точці />,а функція />диференційовнав точці />,то складена функція /> диференційовна в точці /> і її частинніпохідні знаходяться за формулами:
/>; />. (13)
Формули (13)можна узагальнити на випадок більшого числа змінних. Якщо/>, де/>, то
/>
Знайдемодиференціал складеної функції. Скориставшись формулами (13), отримаємо
/>
Отже, диференціалфункції/>,де />, />, визначаєтьсяформулою
/>, (14)
де
/>.
Порівнявшиформули (14) і (4) дійдемо висновку, що повний диференціал функції /> маєінваріантну (незмінну) форму незалежно від того, чи є x та /> незалежними змінними,чи диференційовними функціями змінних u та v. Проте формули (4) і (14) однаковілише за формою, а по суті різні, бо у формулі (4) />і/>– диференціали незалежних змінних,а у формулі (14) />і/>– повні диференціали функцій /> та />.
Диференціаливищих порядків властивості інваріантності не мають. Наприклад, якщо/>, де />, />, то
/> (15)
Формула (15)відрізняється від формули (8), оскільки для складеної функції диференціали /> та /> можуть і недорівнювати нулю. Отже, для складеної функції/>, де />, />, формула (8) неправильна.
5Диференціювання неявної функції
Нехай заданорівняння
/>, (16)
де /> – функція двох змінних.
Нагадаємо, щоколи кожному значенню x з деякої множини /> відповідає єдине значення/>, яке разом з xзадовольняє рівняння (16), то кажуть, що це рівняння задає на множині /> неявну функцію/>.
Таким чином, длянеявної функції/>, заданої рівнянням (16), маємісце тотожність
/>.
Які ж умови маєзадовольняти функція /> щоб рівняння (16) визначалонеявну функцію і при тому єдину? Відповідь на це запитання дає така теоремаіснування неявної функції [8].
Теорема. Нехай функція /> і її похідні /> та /> визначені танеперервні у будь-якому околі точки /> і />, а/>; тоді існує окіл точки />, в якомурівняння /> визначаєєдину неявну функцію/>, неперервну та диференційовну воколі точки /> ітаку, що />.
Знайдемо похіднунеявної функції. Нехай ліва частина рівняння (16) задовольняє зазначені втеоремі умови, тоді це рівняння задає неявну функцію/>, для якої на деякій множині точокx має місце тотожність/>. Оскільки похідна функції, щототожно дорівнює нулю, також дорівнює нулю, то повна похідна/>. Але за формулою (12)маємо />,тому />,звідки
/>. (17)
За цією формулоюзнаходять похідну неявної функції однієї змінної.