ПОДВІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ
Содержание
1. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла
Задача про об'єм циліндричного тіла
Задача про масу пластини
2. Поняття подвійного інтеграла. Умови його існування тавластивості
3. Обчислення подвійногоінтеграла
1. Задачі, що приводять до поняття подвійногоінтегралаЗадача про об'єм циліндричного тіла
Нехай маємо тіло, обмеженезверху поверхнею />, знизу — замкненою обмеженою областю/> площини />, з боків — циліндричною поверхнею, напрямна якої збігається з межеюобласті />, атвірні паралельні осі /> (рис.1). Таке тіло називають циліндричним.
Обчислимо його об'єм />.Для цього довільним способом розіб'ємо область /> на /> частин />, які не мають спільних внутрішніхточок, і площі яких дорівнюють />, />. У кожній області/> виберемо довільнуточку />, знайдемозначення функції в цій точці /> і обчислимо добуток />/>. Цей добуток дорівнює об'ємуциліндричного стовпчика з твірними, паралельними осі />, основою /> і висотою />. Усього такихстовпчиків є />, і сума їхніх об'ємів
/> (1)
наближено дорівнює об'ємуциліндричного тіла />. Це наближення тим точніше, чим більшечисло /> і чимменші розміри областей />. Назвемо діаметром /> замкненої обмеженої області/> найбільшувідстань між двома точками межі цієї області. Позначимо через /> найбільший з діаметрів областей/>. Тоді природнооб'єм даного тіла визначити як границю суми (1) при />:
/>. (2)Задача про масу пластини
Нехай маємо плоску неодноріднуматеріальну пластину, формою якої є область /> (рис.2). В області /> задана неперервна функція />, яка визначає густинупластини в точці />. Знайдемо масу/> пластини. Для цього довільним способом розіб'ємо область /> на частини />, які не мають спільнихвнутрішніх точок, і площі яких дорівнюють />, />.
У кожній області /> візьмемо будь-якуточку /> і знайдемогустину в цій точці:
/>.
/> />
Рисунок 1 — Циліндричнетіло Рисунок 2 — Матеріальна пластина
Якщо розміри області /> достатньо малі,то густина в кожній точці /> мало відрізнятиметься від значення/>. Тоді добуток/>/> наближено визначаємасу тієї частини пластини, яка займає область />, а сума
/> (3)
є наближеним значенняммаси /> всієїпластини. Точне значення маси отримаємо як границю суми (3) при />:
/>. (4)
Таким чином, різні зазмістом задачі ми звели до знаходження границь (2) і (4) одного й того самого виду.Можна навести ще ряд задач з фізики і техніки, розв'язання яких призводить до обчисленняподібних границь. У зв'язку з цим виникає потреба у вивченні властивостей цих границь,незалежно від змісту тієї чи іншої задачі. Кожна така границя називається подвійнимінтегралом. Дамо точні означення.
2. Поняття подвійного інтеграла. Умовийого існування та властивості
Нехай функція /> визначенав замкненій обмеженій області />. Вважатимемо, що межа області /> складається ізскінченного числа неперервних кривих, кожна з яких визначається функцією виду /> або />.Розіб'ємо область /> на /> частини />, які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють/>, />.У кожній області /> візьмемо довільнуточку />і утворимосуму
/>, (5)
яку назвемо інтегральною сумою для функції/> за областю/>. Нехай /> - найбільший з діаметрів областей/>. Якщо інтегральна сума (5) при /> має скінченну границю, яка не залежитьні від способу розбиття області /> на частинні області />, ні від виборуточок /> в них,то ця границя називається подвійним інтегралом і позначаєтьсяодним із таких символів:
/> або />.
Таким чином, за означенням
/>. (6)
У цьому випадку функція/> називаєтьсяінтегровною в області/>;
/> - областюінтегрування; /> - змінними інтегрування;/> (або/>) — елементом площі.
Звернемося до задач п.Якщо границі в рівностях (2) і (4) існують, то з цих рівностей і формули (6) отримуємоформули для обчислення об'єму циліндричного тіла
/> (7)
та маси пластинки
/>. (8)
Якщо у формулі (7) покласти/>, />, то отримаємо формулудля обчислення площі /> області />:
/>. (9)
Рівності (7) і (8) розглядаютьвідповідно як геометричний та механічний зміст подвійного інтеграла, якщо підінтегральнафункція невід'ємна в області/>.
Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція /> неперервна в замкненій обмеженій області/>, то вона інтегровна в цій області.
Є ще й інші умови існуванняподвійного інтеграла, але надалі ми вважатимемо, що підінтегральна функція /> в області інтегрування/> є неперервною.
Порівнюючи означення подвійногоінтеграла (6) та означення визначеного інтеграла
/>,
бачимо, що конструктивноці означення цілком аналогічні: в обох випадках розглядається деяка функція />, але в першомувипадку це функція однієї змінної, визначена на одновимірній області — відрізку/>, а в другому- це функція двох змінних, визначена у двовимірній області/>. Вобох випадках область визначення розбивається на частини, в кожній з яких беретьсядовільна точка і в ній знаходиться значення функції. Після цього знайдене значенняфункції множиться на міру відповідної частини області визначення. У випадку однієїзмінної такою мірою була довжина /> відрізка />, а у випадкудвох змінних — площа /> області />. Наступні крокизнову однакові: утворюються інтегральні суми і знаходяться їхні границі, коли мірачастин області визначення прямує до нуля. Пізніше ми побачимо, що за цією самоюсхемою будується і потрійний інтеграл, тільки мірою області там є об'єм.
У зв'язку з цим, властивості подвійного інтеграла аналогічні відповідним властивостямвизначеного інтеграла. Сформулюємо ці властивості.
Сталий множник можнавинести за знак подвійного інтеграла:
/>, />.
Подвійний інтегралвід суми двох функцій дорівнює сумі подвійних інтегралів від цих функцій:
/>.
Ця властивість має місцедля суми довільного скінченного числа функцій.
Якщо вобласті /> функція/>, то
/>.
Якщо функції/> і /> визначені в одній і тій самій області /> і />, то
/>.
(Адитивністьподвійного інтеграла). Якщо область інтегрування функції /> розбити на області /> і />, які не мають спільних внутрішніх точок, то
/>.
Ця властивість називаєтьсяадитивністю подвійного інтеграла і справедлива для довільногоскінченого числа областей, які складають область /> і не мають спільних внутрішніх точок.
(Оцінкаподвійного інтеграла). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області />, яка має площу />, то
/>,
де /> і /> - відповідно найменше і найбільше значення підінтегральноїфункції в області />.
(Середнєзначення функції.) Якщо функція /> неперервна в замкненійобмеженій області />, яка має площу/>, то в цій області існує така точка /> що
/>.
Величину
/>
називають середнім значенням функції /> в області/>.
подвійний інтеграл адитивність
3. Обчислення подвійного інтеграла
Обчислення подвійногоінтеграла за формулою (6) як границі інтегральної суми, так само як і у випадкувизначеного інтеграла, пов'язане із значними труднощами. Щоб уникнути їх, обчисленняподвійного інтеграла зводять до обчислення так званого повторного інтеграла — двохзвичайних визначених інтегралів.
Покажемо, як це робиться.Припустимо, що при /> функція />. Тоді, згідно з формулою (7), подвійнийінтеграл виражає об'єм циліндричного тіла (рис.3) з основою />, обмеженого зверху поверхнею/>. Обчислимоцей об'єм за допомогою методу паралельних перерізів [6]:
/>,
де /> - площа перерізу тіла площиною,перпендикулярною до осі />, а /> та /> - рівняння площин, які обмежують данетіло. Перед тим, як обчислювати площу зробимо певні припущення відносно області/>.
Припустимо спочатку, щообласть інтегрування /> обмежена двома неперервними кривими/> та /> і двома прямими/> та />, причому /> для всіх /> (рис.4). Проведемочерез точку />,де />, пряму, паралельну осі />. Ця пряма перетинаєкриві />та /> вточках /> і />, які називатимемо відповідно точкоювходу в область /> і точкою виходуз області />.Ординати цих точок позначимо відповідно /> та />, тоді />, />.
/>/>
Рисунок 3 — Циліндричнетіло Рисунок 4 — Область />
Визначена таким чиномобласть називається правильною в напрямі осі />. Інакше кажучи, область /> називається правильною в напрямі осі/>, якщо довільна пряма, яка проходить через внутрішню точку області/> паралельно осі />, перетинає межуобласті не більше, ніж у двох точках.
Знайдемо тепер площу />.Для цього проведемо через точку /> площину, перпендикулярну осі /> (рис.3).У перерізі цієї площини і циліндричного тіла утворюється трапеція />. Апліката /> точки лінії /> прифіксованому /> є функцією лише />, причому /> змінюєтьсяв межах від /> до/>. Площа /> трапеції /> дорівнює визначеномуінтегралу
/>.
Підставивши знайдене значення/>у формулу /> і враховуючи формулу(7), отримаємо
/>
або в зручнішій формі
/>. (10)
Це і є шукана формуладля обчислення подвійного інтеграла. Праву частину формули (10) називають повторним інтегралом від функції /> за областю/>. У повторному інтегралі(10) інтегрування виконується спочатку за змінною /> (при цьому /> вважаєтьсясталою), а потім за змінною />. Інтеграл зазмінною /> називають внутрішнім, а за змінною /> - зовнішнім. У результаті обчисленнявнутрішнього інтеграла (в межах від /> до />) одержуємо певну функцію від однієїзмінної />. Інтегруючи цю функцію в межах від /> до />,тобто обчислюючи зовнішній інтеграл, отримаємо деяке число — значення подвійногоінтеграла. Зауваження Наведені геометричні міркування приодержанні формули (10) можливі у випадку, коли />. Проте формула (10) залишається справедливоюі в загальному випадку. Зауваження 2. Якщо область /> обмеженадвома неперервними кривими />і двома прямими /> причому /> для всіх />, тобто якщо область /> правильна в напрямі осі /> (рис.5),то справедлива формула
/>. (11)
Тут внутрішнім є інтегралза змінною />. Обчислюючи його в межах від />до /> (при цьому /> вважаєтьсясталою), отримаємо деяку функцію від однієї змінної />. Інтегруючипотім цю функцію в межах від /> до />, отримаємо значенняподвійного інтеграла.
Зауваження3. Якщо область /> правильна в обох напрямах, то подвійнийінтеграл можна обчислювати як за формулою (10), так і за формулою (11). Результатиматимемо однакові.
Зауваження4. Якщо область /> не є правильною ні в напрямі осі />, ні в напрямі осі /> (тобто існуютьвертикальні і горизонтальні прямі, які, проходячи через внутрішні точки області,перетинають її межу більше, ніж у двох точках), то таку область необхідно розбитина частини, кожна з яких є правильною областю у напрямі /> чи/>. Обчислюючи подвійні інтеграли по правильних областях і додаючирезультати (властивість адитивності), знаходимо шуканий подвійний інтеграл за областю/>. Для випадку,зображеного на рис.6 (область /> обмежена еліпсами /> і прямою />), при інтегруванні в напряміосі />маємо
/>.
У напрямі осі /> тутпотрібно було б обчислити повторні інтеграли по семи областях.
Зауваження5. Повторні інтеграли в правих частинах формули (10)і (11) називаються інтегралами з різним порядком інтегрування.Щоб змінити порядок інтегрування, потрібно від формули (10)перейти до формули (11) або навпаки.
У кожному конкретномувипадку, залежно від виду області /> та підінтегральноїфункції />, потрібнообирати той порядок інтегрування, який призводить до простіших обчислень.
Зауваження6. Правильну в напрямі осі /> область /> коротко позначатимемотак:
/>.
Аналогічно
/>
область правильна в напряміосі />.
/>/> />
Рисунок 5 — Область /> Рисунок 6 — Область /> Рисунок 7 — Область/>