КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГОУНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра «Автоматизации управлениявойсками»
«Утверждаю»
Начальник кафедры № 9
полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.
«____»______________ 2004 г.
доцент СМИРНОВА А.И.
«ВВЕДЕНИЕ»
ЛЕКЦИЯ № 1 / 1
Обсуждено на заседании кафедры № 9
«____»___________ 2004г.
Протокол № ___________
Кострома,2004
Содержание
Введение
1. Предметматематики. Исторические сведения.
2. Построение курсаматематики в училище.
3. Прямоугольнаясистема координат. Полярные координаты и их связь с прямоугольными.
Заключение
Литература
1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,т.1, гл.1, §1, 2, 3.
2. В.Е. Ефимов, Краткий курс аналитической геометрии, гл.1, §1, 2, 3, 4.
ВВЕДЕНИЕ
На лекции рассматривается предметматематики, краткие исторические сведения, построение курса математики вучилище. Курсантам напоминаются и систематизируются сведения о прямоугольнойсистеме координат на плоскости, знакомые им из школьного курса. Вводитсяполярная система координат и устанавливается ее связь с прямоугольной. Даннаялекция является вводной для всего курса высшей математики и являетсяподготовкой для рассмотрения в дальнейшем вопросов аналитической геометрии.
1-ый учебный вопрос
ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ. ИСТОРИЧЕСКИЕСВЕДЕНИЯ
Математика представляетсобой одну из самых важных функциональных наук. В широком смысле математика –это наука в которой изучаются количественные отношения и пространственные формыдействительного мира. Возникновение математики относится к глубокой древности.Первый ее период получил название «элементарной математики». Ееособенности:
1. Неподвижностьрассматриваемых объектов;
2. Не использование идеибесконечности;
3. Отсутствие общих методов.
Бурное развитиепроизводства, техники, естествознания в XYII-XYIIIвеках потребовало создания математического аппарата, пригодного к изучениюпеременных величин, находящихся между собой в функциональной зависимости.
Возникла новая, такназываемая, высшая математика с ее разделами: аналитическаягеометрия, дифференциальное и интегральное исчисление, теория дифференциальныхуравнений и другие. В общих чертах математику делят на геометрию и анализ. Ваналитической геометрии был дан общий метод решения геометрических задач –метод координат.
Математический анализзанимается переменными величинами и их взаимосвязью.
Основы аналитическойгеометрии были даны французским математиком Декартом/1596-1650/.Открытие дифференциального и интегрального исчисления принадлежит английскомуматематику Ньютону /1642 –1727/ и немецкому математику Лейбницу /1642-1716/. Выдающаяся роль в создании классического математического анализасыграли Эйлер/1707 – 1783/, Лагранж /1736 –1813/, Гаусс /1777 – 1855/, Коши /1789 – 1857/, Вейерштрасс /1815-1897/ и др.
Расцвет математикинаступил тогда, когда без нее не могут обойтись другие науки. К концу XIX века математика приобретает огромноепрактическое значение. Теперь область знания превращается в зримую науку, еслив ней используются математические методы.
Математические методыплодотворно используются во многих областях. На основании теории исчислениябесконечно малых величин Ньютон вывел законы движения небесных тел. На основедифференциального и интегрального исчисления были сформулированы все физическиезаконы, открытые в XVIII – XIX веках. В 1848 году французскийученый Леверье теоретически предсказал существование планетыНептун, а затем открыл ее.Жуковский, профессор московского университета,теоретически предсказал возможность фигур высшего пилотажа и в скором временипервая фигура «мертвая петля» была использована Нестеровым.
Большой вклад в развитие математики внеслирусские ученые. Остановимся на некоторых важных результатах, полученных ученымиРоссии.
РОЛЬ РУССКИХ УЧЕНЫХ
Великому математику,петербургскому академику Эйлеру, принадлежат фундаментальныерезультаты почти во всех областях математического знания.
Н.И. Лобачевский / 1792-1856 / совершил настоящуюреволюцию в геометрии, создав новую науку «Геометрию Лобачевского».
М.В. Остроградский / 1801-1861 / вывел важноесоотношение в теории кратных интегралов.
Русский ученый П.Л.Чебышев / 1821-1894 / в связи со своими замечательными работами потеории механизмов создал новый раздел математики «Теория наилучшегоприближения функции». Он является основателем одной из наиболее сильнейшихматематических школ в мире – Петербургской математической школы, блестящимипредставителями которой были А.А. Марков, В.А. Стеклов, А.Н. Крылови другие.
С.В. Ковалевская / 1850 – 1891 / работала в областидифференциальных уравнений и теоретической механики и получила тампервоклассные результаты
В XX веке продолжается бурный процессматематизации других наук. Математические методы с успехом используются нетолько в механике, физике, астрономии, но и в биологии, экономике, военномделе, медицине, лингвистике и других областях.
Последние десятилетия ознаменовалисьбурным развитием средств и методов вычислительной математики. Математическоемоделирование и прогнозирование позволяет рассчитать такие процессы, которыедаже недоступны к постановке опыта (проблема термоядерного управляемогосинтеза, физики плазмы, лазеров и другие задачи).
Отметим, что в настоящее времядостижения русских математиков находятся на уровне передовой математическоймысли.
Остановимся на роли математики ввоенном деле. В настоящее время математические методы широко применяются вовсех общенаучных и инженерных дисциплинах, необходимых при подготовке военногоспециалиста. Методы математического анализа и теории вероятностей используютсяв тактике, теории стрельбы и боеприпасов, теории эффективности боевых действийи др.
В военной науке широкое распространениеполучило математическое моделирование, позволяющее с помощью ЭВМ моделировать иизучать многие технические, экологические процессы, а также разрабатывать ипрогнозировать военные операции.
2-oй учебный вопрос
ПОСТРОЕНИЕ КУРСА МАТЕМАТИКИ В УЧИЛИЩЕ
Курс высшей математики имеет объем300 учебных часов. И изучается в течение четырех семестров. Содержание курсаувязано с потребностями общенаучных, общеинженерных, военных дисциплин,изучаемых курсантами в училище, ориентировано на использование вычислительныхсредств.
В первом семестреизучаются элементы аналитической геометрии, а так же разделы математическогоанализа: теория пределов, дифференциальное исчисление функции одной переменой.
Во втором семестреосновными являются следующие разделы математического анализа: исследованиефункции с помощью производной, интегральное исчисление, функции несколькихпеременных.
В третьем семестреизучаются дифференциальные уравнения и теория вероятностей.
В четвертом семестреизучаются элементы математической статистики, ряды, а также некоторыеприкладные вопросы.
По высшей математикепроводятся следующие виды занятий: лекции, практические занятия, лабораторныеработы.
На лекциях преподавательизлагает теоретические вопросы и общие методы решения задач. Конспекты лекцийрекомендуется вести в отдельных тетрадях, которые преподаватель может брать дляпросмотра.
На практических занятиях(для взвода) производится опрос теории и производится решение практическихзадач под руководством преподавателя. Для практических занятий необходимо иметьотдельную тетрадь. На практических занятиях по каждой теме проводятсянебольшие письменные самостоятельные работы – «летучки» свыставлением оценок. По важным темам в качестве контроля проводятся двухчасовыеконтрольные работы. В I, II и III семестрах предусмотрено по две контрольные работы, в IV семестре одна
В каждом семестре проводится несколько лабораторных работ с использованием микрокалькуляторов.Всего за период обучения 14 лабораторных работ. Для лабораторных работнеобходима отдельная тетрадь. На лабораторных работах отрабатываютсяпрактические вычислительные методы по различным темам. В конце каждой работыкурсанты оформляют отчет, защищают его и получают оценку. В четвертом семестрепредусмотрена курсовая работа, включающая в себя решение системы практическихзадач.
Важную роль при изучениикурса математики играет самостоятельная работа курсантов. К каждомупрактическому и лабораторному занятию курсанты должны выполнить данное имзадание на самоподготовку, включающее теоретические вопросы и практическиезадания. Дополнительно рекомендуется после каждой лекции изучать ее конспект, атакже рекомендуемую литературу.
В качестве итоговых формконтроля по высшей математике проводятся зачеты и экзамены. В I и III семестрах предусмотрен экзамен, во II и IV семестрах – зачет.
3-ий учебный вопрос
ПРЯМОУГОЛЬНАЯСИСТЕМА КООРДИНАТ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ И ИХ СВЯЗЬ СПРЯМОУГОЛЬНЫМИ
Прямоугольная системакоординат на плоскости вводится следующим образом. Возьмем на плоскости двевзаимно перпендикулярные числовые оси 0х и 0у, имеющие общееначало точку 0 и общую единицу масштаба.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Плоскость, в которой расположены оси 0х и 0у, называется координатнойплоскостью и обозначается 0ху.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Горизонтальную ось 0х называют осью абсцисс, вертикальную ось0у– осью ординат, общее начало осей, точку 0 называют началом координат.
Оси 0х и 0уобразуют прямоугольную (декартовую) систему координат на плоскости.
/>Возьмем на координатной плоскости 0хупроизвольную точку М. Опустим из нее перпендикуляры на оси координат. Наосях получим точки М1 и М2 – проекции точкиМ соответственно на ось 0х и 0у (см. рис. 1).
Рис. 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Координата х точки М1 на оси 0х называетсяабсциссой точки М, координата у точки М2 на оси 0у называетсяординатой точки М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Упорядоченная пара чисел (х;у), где х– абсцисса точки М, у – ордината точки М, называются п р я м о у г о л ь н ы ми (или декартовыми прямоугольными) координатами точки М. Записывается так: М (х;у).
/>Отметим, что оси 0х и 0у деляткоординатную плоскость на четыре части, называемыми четвертями или квадрантами.(См. рис. 2)
Рис. 2
Ясно, что каждой точке наплоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел х и у– ее прямоугольные координаты. Обратно, каждая упорядоченная пара чисел хи у определяет единственную точку на плоскости.
Когда говорят "дана точка " или " найти точку ", то это означает,что заданы или требуется найти координаты этой точки.
Способ определенияположения точки с помощью чисел называется методом координат.
Создателем координатногометода был французский математик Декарт, который прилагал этот метод комногим геометрическим задачам и создал математическую дисциплину –аналитическую геометрию.
Рассмотрим две важныезадачи аналитической геометрии на плоскости, которые решаются методомкоординат.
Задача 1. Расстояние между двумя точкамина плоскости.
/> На плоскости даны две точки М1 (х1;у1) и М2 (х2; у2). Найдем расстояние между ними d. Выполним чертеж, расположив для простоты точки в первой четверти.
Рис. 3
Через точки М1 и М2 проведем отрезки М1k çç 0х; М2k çç 0y.
Рассмотрим прямоугольный треугольник DМ1М2 k. Его катеты М1k = х2– х1; М2k = у2 – у1.
По теореме Пифагора: />.
Получим формулу /> (1)
ЗАДАЧА 2. Координаты середины отрезка.
Известны координатыконцов отрезка М1М2 - М1( х1; у1) и М2 ( х2;у2). Найдем координаты точки М, являющейся серединойотрезка.
/>Выполним чертеж, расположив точки в первой четверти.
Рис. 4
Обозначим искомые координаты точки М ( х ; у). М – середина отрезка М1М2, т.е. М1М= ММ2 . Спроектируем точки М1, М2 и М на ось 0х, получим там точки р1,р2, р. Из геометрии известно, что р1р= рр2 . Выразим эти отрезки через координаты:
р1р = х – х1; рр2 =х2– х
Получим: х – х1= х2– х
Выразим х: 2х= х2 + х1 Þ />.
Проектируя точки на ось 0уаналогично получим: />.
Формулы /> (2)
позволяют находитькоординаты середины отрезка.ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ.
Кромепрямоугольных декартовых координат на плоскости существуют другие системыкоординат, позволяющие определить положение каждой точки плоскости с помощьюдвух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системыкоординат является полярная система координат.
Возьмем на плоскости точку 0, которую назовем полюсом. Проведем из полюса луч 0р, называемый полярной осью.
Полюс и полярная ось образуют полярную систему координат на плоскости. (См. рис. 5)
/>Пусть М – произвольная точка плоскости, несовпадающая с полюсом. Соединим эту точку М с полюсом 0 отрезком 0М.
Рис. 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Расстояние r от точки М до полюса называют полярным радиусом точки М. Угол j между полярной осью и отрезком ОМ называют полярным углом точки М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Полярный радиус и полярный угол называют полярными координатами точки М.
Будем записывать М(r; j).
Полярный радиус принимаетзначения r³ 0 (r= 0 для полюса!).
Полярный угол jотсчитывается от полярной оси котрезку0М против часовой стрелки. Значения полярного угладостаточно рассматривать из промежутка 0 £ j
ЗАМЕЧАНИЕ. В некоторыхвопросах приходится рассматривать углы, большие 2p, а также отрицательные углы, т.е.углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.
СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ И ПОЛЯРНЫМИ КООРДИНАТАМИ
Иногда приходится одновременнопользоваться прямоугольными и полярными координатами на плоскости. Рассмотримпереход от полярных координат к прямоугольным и обратно.
Формулы (2) выражаютполярные координаты точки через ее прямоугольные.
Заметим, что значению тангенса, найденному по формуле /> в промежутке 0 £ j j, которое соответствует положениюточки М на координатной плоскости.
ПРИМЕР 1. Зная декартовы координаты точки М(/>; у = 1) , найтиее полярные координаты.
Решение. По формулам (2) получим:
/>.
Этому значению тангенсасоответствуют два значения угла />. Т.к.точка лежит в I четверти берем />.
Значит полярныекоординаты точки />.
ПРИМЕР 2. Записать в полярных координатахуравнение окружности с центром в начале координат радиуса а.
Решение. Уравнение окружности с центром вначале координат радиуса а в декартовых координатах имеет вид: х2+ у2 = а2.
Подставим вместо х, у их выражение через полярные координаты по формулам (1). Получим (r cos j )2 +(r sinj )2 = a2.
r2 (cos2 j +sin2j ) = a2 Þ r2 = a2Þr= a.
Получим r= а – полярное уравнение окружности сцентром в начале координат радиуса а.
Предположим, что полюсполярной системы координат совпадает с началом прямоугольной системы координат0ху, а полярная ось совпадает с положительной полуосью 0х.
/>
Рис. 6
1. Переход от полярных координат кпрямоугольным.
Пусть известны полярныекоординаты произвольной точки М (r; j). х = K, y= MK - прямоугольные координаты точки М. Из чертежана рис.6 из прямоугольного треугольника ОМК получим:
/> (3)
Формулы (3) выражают прямоугольныекоординаты точки через ее полярные координаты.
2. Переход от прямоугольных координат кполярным.
Из прямоугольноготреугольника ОАМ получаем по теореме Пифагора:
/>
Из того же треугольникаимеем: />
/> (4)
Отметим, что полярные координаты,наряду с прямоугольными, широко используется в топографии для определенияположения объектов на местности.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На лекции рассмотренпредмет математики, некоторые исторические сведения. Новым вопросом являетсяпонятие полярных координат, которые находят широкое применение на практике.Характерно, что прямоугольные и полярные координаты часто используютодновременно, поэтому важно усвоить связь между ними. Курсантам рекомендуетсяпри изучении материала лекции подготовить ответы на предлагаемые далее вопросы.
доцент Смирнова А.И.
"____"__________ 2004 г.