Исходные данные к курсовому проекту
Рассматриваетсяпоследний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построенииматематической модели предположим:
1) посадка осуществляется по нормали кповерхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;
2) на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и силатяги />, где с=const, а β –секундный расход массы m, />;
3) аэродинамические силы отсутствуют.
Уравнениядвижения КА могут быть представлены в виде:
/>; />; />, где h – текущаявысота;
или в нормальной форме:
/>; />; />; />.
Здесь введены обозначения:
/>; />; />; />; />.
Граничные условия имеют вид:
/>; />; />; />; />,
причем Т заранее неизвестно. Требуется найтипрограмму управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходетоплива, то есть />.
Исходные данные для расчетов
Начальная масса КА
/>, кг.
Начальная высота
/>, км.
Начальная
скорость
/>, км/с
Отношение силы тяги
к начальной массе />, м/с2 500 190 2,65 42,5
/>=190000 м.
/>=2650 м/с
Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с2,величина с=3000 м/с.
Задание к курсовому проекту
1.) Составить гамильтониан Н,воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.
2.) Из условия максимизации Н по u найтиоптимальное управление.
3.) Получить каноническую систему уравненийи в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданыкомпоненты x0, x1, x2, а в момент t=T‑компонентыx1, x2, ψ0.
4.) Из условия Н(Т)=0 получить соотношениедля определения неизвестного времени Т.
5.) Произвести анализ необходимых условийоптимальности, начав с исследования возможности существования особоговырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения
/>.
Доказать, что Кu не можетобратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особогоуправления в данной задаче не существует.
Показать, что Кu есть монотоннаяфункция t.
Рассмотреть четыре возможных случая:
а) Ku>0 для всех />;
б) Ku;
в) Ku>0 для />, Ku;
г) Ku, Ku>0для />.
Показать, в каких случаях (из физическихсоображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расходтоплива меньше.
Получить программу оптимального управления,когда до некоторого момента t1 управлениеотсутствует u*=0, а начиная с t=t1, управление равносвоему максимальному значению u*=umax, что соответствует минимальному расходу топлива.
6.) Решить каноническую систему уравнений,рассматривая ее для случаев, когда /> иуправление u*=0, и когда />, u*=umax.
Приравнивая х1(Т) и х2(Т)нулю, получить два уравнения относительно t1 и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе,состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t1, Т. Составить программу расчета. Получив решение этойсистемы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управлениямягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовуютраекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).
Выполнение задания курсового проекта
Нам известно, что
/>, где с – сила тяги двигателя,
m –масса космического аппарата;
/> – ускорение аппарата.
То есть, масса · ускорение = сумме сил,действующих на аппарат.
β – секундный расход массы m: />.
Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β),ее можно менять в пределах />.
/>можно найти из исходных данных – выразив из отношения силытяги к начальной массе Pmax/m(0):
/>;
/>;
/> кг/с.
Наш критерий оптимизации />. Введем принятые в исходныхданных обозначения:
/>; />.
Начальный момент времени t=0, конечныймомент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.
/>;
Тогда критерий оптимизации:
/>;
/>. (Здесь />.)
Теперь необходимо написать уравнение состояниясистемы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную.
Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3уравнения состояния:
/>;
/>;
/>.
Выберем управление:
/> />;
Подставляем уравнения состояния, получим:
так как />и/>, отсюда
/> />;
/> />;
/> />.
Критерий оптимизации:
/>.
Введем переменные х0и хn+1 (то есть х4).
/>, где t – текущее время.
/>.
Тогда основные уравнения состояния:
/> />
/>/> />
/> />
/> />
/> />
Составим гамильтониан Н:
/>;
/>.
Оптимальномууправлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной областивозможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.
Тоесть нужно добиться максимума этой функции, меняя u1. Это и будет оптимальное управление.
Для функций ψi тоже получимсопряженные уравнения, которые имеют вид />:
/>
/> – так как функция не зависит от х0,
следовательно производная равна нулю;
/> – аналогично, так как функция не зависит от х1.
/>
/>
/>
Итак, нужно найти максимум гамильтониана:
/>
/>
Функция переключения:
/>
Используя для вычислений Mathcad,получим оптимальное управление:
/>
Таким образом оказалось, что оптимальноеуправление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигательдолжен быть совсем выключен (при Ku0).
Посмотрим, как меняется функция переключения Кu вовремени:
/>;
Для определения ψ1 и ψ2решаем сопряженные уравнения:
/>, следовательно, ψ1 = const,обозначим ψ1=с1.
/>, следовательно, />, где c2 = const.
Итак,
/>
Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const –величина постоянная, поэтому производная /> имеетвсегда постоянный (один и тот же) знак. То есть величина Kuлибо всё время монотонно возрастает, либо всё время монотонно убывает. А это означает,что она может пройти через ноль только один раз.
Рассмотрим четыре возможных случая:
а) Ku>0для всех />;
б) Ku;
в) Ku>0для />, Ku;
г) Ku, Ku>0 для />.
В случаях б) (когда двигатель КАвыключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен намаксимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полетпроисходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкойпосадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтомуоптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.
Следовательно, остаются два реализуемыхварианта – а) и г). И оптимальное управление предполагает либовсё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет свыключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет сдвигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки.Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть путипроделывается с выключенным двигателем.
Поэтому оптимальным управлением в даннойситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходитвключение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальнуюмощность.
Итак, оптимальному управлению соответствует
/>
На первом участке полета, на котором u1=0:
/>
/>
/>
/>
/>; />; />;
/>;
/>;
/>.
Рассмотрим второй участок полета u1=7,083:
Зададимся условием, что при t=t* (в моментвключения двигателя):
/>;
/>;
/>.
/>/>
/>
/>
На отрезке полета со включенным двигателем:
/>;
так как />,запишем:
/>.
Теперь, зная х3, можно выразить х2:
/> />/>
/>
/>
/>.
Теперь, зная х2 выразим х1:
/>
/>
/>
/>
/>;
На отрезке пути h(t):
/>
/>
/>
В момент посадки t=T высота и скорость должныбыть равны нулю, то есть /> и />. На основании этого утверждения приравняем х1(T) и х2(Т)нулю и получим таким образом два уравнения относительно t* и T. Такимобразом, краевая задача у нас свелась к системе, состоящей из двух нелинейныхуравнений относительно двух неизвестных t* и Т:
/>/>
/>
Из второго уравнения системы выразим моментвремени, на котором включается двигатель:
/>;
Подставим это выражение в первое уравнениесистемы, получим уравнение для нахождения времени полета T (оно же времяпосадки):
/>
Для расчета времени полета Т воспользуемсяпрограммой Mathcad. На следующем листе приведены эти вычисления[1]:
Теперь, зная Т и t*, можно определитьконечную массу космического аппарата m(T):
/>кг.
Можно рассчитать высоту h (t*), на которойКА должен включить двигатели:
/> м.
Таким образом, включение двигателей происходитна 3317-ой секунде полета на высоте около 67 км. от поверхности планеты.Тот же результат мы наблюдаем и на графике.