ЖитомирськийВійськовий Інститут
НаціональногоАвіаційного УніврситетуРефератнатему:
Побудовазображень предметів на площині
Житомир2010
Нарисна геометрія– наука, яка вивчає просторові форми та способи зображення їх на площині.
Основною задачеюнарисної геометрії є вивчення методів побудови зображень просторових форм та врозробці способів рішення просторових задач за допомогою зображень.
Предмет, якійзображують називають оригіналом або моделлю. Креслення повинно міститигеометричну інформацію про форму та розміри оригіналу. До такого кресленнявисуваються слідуючи основні вимоги:
– наочність, тобто давати просторовеуявлення про модель;
– простота з точки зору графічноговиконання;
– точність – графічні операції, яківиконуються на кресленні, повинні давати точні рішення.
Дляпобудови зображень предметів на площині користуються методом проекціювання.Тому наступне питання — метод проекцій.
1. Сутністьметоду проекціювання
Отже,проекція — це зображення предмета, «відкинуте» на площину задопомогою променів. Спроекціювати предмет — це означає зобразити його наплощині (рис.1).
Залежновід положення проекціюючих променів проекції поділяють на центральні та паралельні.
/>
Рис. 1
Ідеюцентрального проекціювання видно з рис.2. Точка S, з якої виходять проекціюючі промені, називається центром проекціювання. Площинаπ1 на яку проекціюється предмет,називається площиною проекцій. Площина π1 і точка S становлять апаратцентральної проекції. Щоб спроекціювати трикутник, треба з центра проекцій S через усі його вершини провестипроекціюючі промені до перетину з площиною проекцій π1. Одержимо точки А1В1С1,які називаються центральними проекціями вершин А, В, С на площину π1, а трикутник А1В1С1 — центральною проекцією трикутника ABC.
/>
Метод паралельногопроекціювання розглянемо за допомогою рис. 3. Як і в попередньому випадку,вибирають площину проекцій π1. Замість центра проекцій S задають напрямпроекціювання s, тобто вважають, що центрпроекцій S віддалений у нескінченність. Томупроекціюючі промені паралельні між собою. Площина π1 і напрям s становлять апарат паралельноїпроекції. Щоб спроекціювати трикутник ABC на площину π1, через вершини А, В, С проводятьпроекціюючі промені паралельно напряму проекціювання s. Внаслідок перетину цих променів зплощиною π1 утворюється трикутник А1В1С1,який являє собою паралельну проекцію трикутника ABC.
/>
/>
/>
Рис. 5
Паралельніпроекції поділяють на прямокутні і косокутні. Якщо проекціюючі променіперпендикулярні до площини проекцій (рис. 4), то таке проекціювання називають прямокутним,а проекції, які при цьому одержують — прямокутними, або ортогональними. Якщо жкут нахилу променів не дорівнює 90°, то такі паралельні проекції називаються косокутними.У кресленні користуються прямокутними проекціями.
Ортогональнепроекціювання має ряд переваг перед центральним та косокутним паралельнимпроекціюванням:
– простоту геометричних побудовортогональних проекцій предметів;
– зберігання на проекціях, при певнихумовах, форми та величини лінійних та кутових розмірів проекціюючих предметів.
2. Побудоваза заданими координатами епюрів прямих, взаємного положення прямих та прямих іточок.
Розглянемопросторову модель координатної площини проекцій. Для визначення положеннягеометричної фігури в просторі і виявлення її форми по ортогональних проекціяхнайбільш зручною є декартова система координат. Декартова система координатскладається з трьох взаємно перпендикулярних площин.
π1 – горизонтальна площина проекцій;
π2 – фронтальна площина проекцій;
π3 – профільна площина проекцій.
Лінії перетинуплощин проекцій утворюють осі координат: X — вісь абсцис, Y — вісь ординат, Z — вісь аплікат, а точка перетину координатних осей O береться за початок координат.
/>
π1 – горизонтальна площинапроекцій; π2 – фронтальна площинапроекцій;
Площини проекційперетинаються по вісі координат Ох. Обертанням навколо вісі Охплощину π1суміщають з площиною π2.Отримаємо комплексне креслення
Схему побудовизворотного ортогонального креслення розвинув Гаспар Монж – знаменитийфранцузький учений. По схемі Монжа оригінал (наприклад точка) проекціюєтьсяортогонально на дві взаємно перпендикулярні площини проекції π1 — горизонтальну і π2 — фронтальну площини проекцій.
Лінія зв'язку — це пряма, що з’єднує дві проекції точки на комплексному кресленні іперпендикулярна осі проекцій.
У результаті миотримали двохпроекційне комплексне креслення точки А.
Твердження: Дві прямокутні проекції точкиповністю визначають її положення в просторі основних площин проекцій.
Тобто комплекснекреслення або епюр Монжа (з фр. «креслення») – це зображення, яке отримуємо врезультаті обертання площини проекцій π1 на кут 90° до суміщення π2.
В кресленні ж припобудові зображень часто користуються трьома проекціями на три площинипроекцій. Розглянемо, за якими законами це реалізується./> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Просторова картина
Комплекснекреслення /> /> />
А1 – горизонтальна таА2 – фронтальна проекції точки А.Проекціюючі промені АА1 та АА2 перпендикулярні відповідним площинампроекцій. Точки перетину проекціюючої площини з віссю Ох позначена АХ.На комплексному кресленні горизонтальна А1 та фронтальнаА2 проекції точки Аз’єднуються вертикальною лінією проекційного зв’язку, яка ^ вісі Ох.
/>
Для переходу до комплексного креслення просторову модельрозрізають по вісі Оу та суміщають всі три площини проекцій в одну:π1 обертають навколо вісіОх, π3обертають навколо вісіОz доїх спів падання з π2.Вісь Оу розпадається на дві вісіу1 та у3
/>
Проекціюючіпромені АА1,АА2 та АА3проводять перпендикулярно відповідним площинам проекцій й отримують проекціїточки А: горизонтальну А1,фронтальнуА2та профільну А3. Точкиперетину проекціюючих площин з відповідними осями позначені АХ ,АY,АZ.
На комплексному кресленні лінії проекційного Проекціюючіпромені АА1,АА2 та АА3проводять перпендикулярно відповідним площинам проекцій й отримують проекціїточки А: горизонтальну А1,фронтальнуА2та профільну А3. Точкиперетину проекціюючих площин з відповідними осями позначені АХ ,АY,АZ.
На комплексному кресленні лінії проекційного зв’язку ^ осям координат. Лінія А1А2^ Ох розташованавертикально, а А2А3 ^ Оz– горизонтально. При побудовілінії проекційного зв’язку від А1 до А3необхідно зберігати рівність координатних відрізків по осі Оу: АХА1=АZА3
Для переходу до просторову модель розрізають по вісі Оута суміщають всі три площини проекцій в одну: π1 обертають навколо вісіπ3 обертають навколо вісіОz до їх спів падання з π2.Вісь Оу розпадаєтьсяна дві вісіу1 та у3
Перпендикуляр АА1називається горизонтально-проекціюючим, АА2 — фронтально-проекціюючимі АА3 — профільно-проекціюючим променем./> /> /> /> /> /> /> /> />
На комплексномукресленні чисельні значення координат відкладаються вздовж відповідних координатнихосей. Кожна проекція точки визначається двома координатами: горизонтальна – ХАта YА, фронтальна – ХАта ZА, профільна – YА та ZА.
/>
Горизонтально конкуруючі точкиА таВ лежатьна одному горизонтально – проекціюючому промені, тому їх горизонтальні проекціїспівпадають. Точка В віща за точку А та розташована ближче доспостерігача, тому горизонтальна проекція В1 буде видимою. /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Фронтально конкуруючі точкиА таВ відрізняютьсякоординатою у, лежать на одному фронтально – проекціюючому промені, томуїх фронтальні проекції співпадають. Ближче до спостерігача розташована точка В,тому її фронтальна проекція В2 буде видимою.
Досих пір ми розглядали проекції точки, а зараз розглянемо комплексне кресленнялінії. Пряма в просторі безмежна. Обмежена частина прямої називається відрізком.
Порозташуванню відносно площин проекцій прямі можуть бути загального тачастинного положень.
Прямоюзагального положення є пряма, яка не паралельна жодній з площин проекцій.
/>Розглянемосхему побудови ортогонального креслення прямої лінії. Проекціювання прямоїзводиться до побудови проекцій будь-яких двох її точок, так як дві точкиповністю визначають положення прямої в просторі.
Наприкладвізьмемо пряму m загального положення (рис.12), яка задана двома точками А і В. Побудуємо ортогональні проекції відрізку АВ на площинах π1 ,π2, π3. З’єднаємо проекції точок А і В накожній площині отримаємо проекцію відрізку АВ на всі три проекціюючі площини.
Комплекснекреслення відрізку прямої АВ загального положення на всі три площини проекціїнаведено на рис. 13.
/>
/>
Положення прямої m в просторі визначають дві довільні точки АтаВ, які лежать на цій прямій. Пряма лінія m є заданою, якщо на комплексному кресленніпобудувати проекції двох її точок А таВ. Проекції прямої m проходять через пари відповідних проекційточок: горизонтальна проекція прямої m1 – через А1таВ1; фронтальна проекція прямої m2 – через А2таВ2
/>
Якщовідрізок АВ загального положення (рис. 14) продовжити в обидва боки від точок Аі В, то в точках М і N він перетне площини проекцій π1 і π2.
Рис. 14 Пряма, якапаралельна якій-небудь площині проекцій, не може мати сліду на тій площині,якій вона паралельна, так як вона з нею не перетинається.
Прямачастинного положення (або пряма рівня) – називається пряма, паралельна хоч биодній з площин проекцій.
Проекціюючиминазиваютьсяпрямі, перпендикулярні до однієї з площин проекцій, тобто паралельні двом іншимплощинам.
/>
Рис. 16
/>
/>
Слід прямої – це точка перетину прямої з відповідною площиноюпроекцій. Точка М — горизонтальнийслід прямоїАВ, вона має аплікату zМ = 0, а точка N — фронтальний слід прямоїАВ, вона має аплікату yN = 0.
Для побудови горизонтального сліду прямоїАВ знайдемо на ній точку М зкоординатою z = 0,перетин фронтальної проекції прямої А2В2 звіссю х визначає фронтальну проекцію сліду М2. Горизонтальна проекція сліду М1належить горизонтальній проекції прямої.
Для побудови фронтального сліду прямоїАВзнайдемо на ній точку N з координатою у = 0,перетин горизонтальної проекції прямої А1В1 звіссю х визначає горизонтальну проекцію сліду N1. Фронтальна проекція сліду N2належить фронтальній проекції прямої.