Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-32
Лукьянович А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т.Е.
Гомель 2005
Содержание
Введение
1. Характеристические показатели Ляпунова
2. Теорема Ляпунова. Спектр системы
Заключение
Список использованной литературы
Введение
В данной курсовой работе рассматривается линейнаястационарная система.
Линейной стационарной системой называется система вида
/>
где /> − постояннаяматрица, />.
Общее решение линейной стационарной системы имеет вид
/>
где /> - постоянныйвектор,
/>) — фундаментальнаяматрица (иными словами, фундаментальная система решений, записанная в видематрицы), то есть матрица, состоящая из n линейнонезависимых ее решений
/>
Цель курсовой работы — найти спектр этой системы.
Множество всех собственных характеристических показателейрешений дифференциальной системы называется ее спектром.
Таким образом, главная задача курсовой работы — найти различныехарактеристические показатели Ляпунова заданной линейной стационарной системы.
1. Характеристические показатели Ляпунова
Рассмотрим следующую линейную стационарную систему
/>
(1).
Найдем общее решение этой системы. Для этого решим ееметодом исключения.
Продифференцировав первое уравнение системы (1) и пользуясьвторым, получим
/>
Или
/> (2).
Решим полученное линейное уравнение с постояннымикоэффициентами (2). Для этого составим характеристическое уравнение и найдемего корни:
λ/>λ=0
λ/>=i
λ/>=-i
Так как характеристическое уравнение имеет два сопряженныхкорня λ/>=iи λ/>=-i,то общее решение линейного уравнения (2) имеет вид
y=c/>cost +c/>sin t.
Подставим значение y в первое уравнениесистемы (1), получим
z=-c/>sint +c/>cos t.
Тогда общее решение системы (1) имеет вид
/>.
Составим фундаментальную систему решений системы (1).
Определение1 [2,c.482].Фундаментальной системой решений в интервале (a,b) называется совокупность n решенийоднородной системы, определенных и линейно независимых в этом интервале.
Положим c/>=1,c/>=0. Подставимзначения c/>и c/>в общее решение системы.Получим
/>.
Пусть теперь c/>=0,c/>=1. Тогда получим
/>.
Эти решения системы (1) запишем в виде матрицы
/>.
Покажем, что найденные решения составляют фундаментальнуюсистему решений.
Для этого воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 1 [2, c.480]. Еслиn решений линейной однородной системы линейнонезависимы в интервале (a,b),то их вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала. Составими вычислим вронскиан решений системы (1):
/>≠ 0.
Итак, вронскиан решений системы (1) не обращается в нуль нив одной точке интервала (−∞; + ∞), значит, найденные решениясистемы (1) являются линейно независимыми в интервале (−∞; + ∞)(по теореме1) и составляют фундаментальную систему решений (по определению1).
Вычислим характеристические показатели матриц x/> и x/>. Приведемопределение характеристического показателя.
Определение2 [1,c.125].Число (или символ −∞ или + ∞), определяемое формулой
/>
называется характеристическим показателем Ляпунова.
Лемма [1, c.132]. Характеристическийпоказатель конечномерной матрицы F (t)совпадает с характеристическим показателем ее нормы.
Согласно леммы и определения1 характеристические показатели матрицX/> и X/> будемвычислять по следующей формуле
/> (3).
Вычислим нормы матриц x/> и x/>.
Определение3 [1,c. 20].Нормой матрицы А= [a/>]называется неотрицательное число/>, удовлетворяющееследующим условиям:
1) />и обратно, если />то A=0;
2) />где />любое комплексное число;
3) />где A,B-любые матрицы, допускающиесложение;
4) />где A,B-любые матрицы, допускающиеумножение;
Норма имеет следующие значения:
/>
/>
/>
Для вектор-столбца
/>
эти нормы имеют соответственно, следующие значения:
/>
/>
/> (4).
При вычислении норм матриц x/> и x/>воспользуемся формулой(4).
/>
/>
Тогда по формуле (3) имеем
λ/>/> />= />/> />=/>.
λ/>/> />= />/> />=/>.2. Теорема Ляпунова. Спектр системы
Выясним, является ли фундаментальная система решений линейнойстационарной системы (1) нормальной фундаментальной системой. Для этоговоспользуемся следующей теоремой и определением4.
Теорема Ляпунова (о нормальностифундаментальной системы) [1,c.142]. Фундаментальнаясистема линейной системы является нормальной тогда и только тогда, когда онаобладает свойством несжимаемости.
Определение4 [1,c.142].Система ненулевых векторов функций />обладаетсвойством несжимаемости, если характеристический показатель любой существеннойих комбинации
/>
где/>−постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателейкомбинируемых решений, то есть имеем
/>
Возьмем произвольную линейную комбинацию векторов
x/> иx/>.
Y=/>где />−постоянны и /> (5).
Произведем арифметические действия над векторами x/> и x/>. Тогда равенство (5)примет вид
/> (6).
Вычислим характеристический показатель линейной комбинации векторов(6).
/>/>/>
Тогда по формуле (3) имеем
/>
Итак, характеристический показатель линейной комбинациивекторов совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемыхрешений x/> иx/>, значит, системавекторов x/> иx/> обладает свойством несжимаемости (по определению4) Следовательно,фундаментальная система решений линейной стационарной системы (1) является нормальнойфундаментальной системой (по теореме Ляпунова).
Найдем спектр системы (1).
Воспользуемся определением и следствием из теоремы Ляпунова.
Определение5 [1,c.137].Спектром называется множество всех собственных характеристических показателей (тоесть отличных от −∞ и +∞) решений дифференциальной системы.
Следствие [1,c.145]. Всякаянормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.
Согласно определения5 и следствия из теоремы Ляпунова спектрстационарной системы (1) равен/>/>
Заключение
Таким образом, в процессе исследования линейной стационарнойсистемы мы выяснили, что ее фундаментальная система решений является нормальнойфундаментальной системой; нормальная фундаментальная система решений реализуетвесь спектр дифференциальной системы; спектр рассмотренной линейнойстационарной системы равен/>.
Список использованной литературы
1. Б.П. Демидович «Лекции по математической теории устойчивости»-М.:Наука, 1967г., 465 c.
2. Н.М. Матвеев «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальныхуравнений»-М.: Высшая школа, 1967г., 564 с.