Узнать стоимость написания работы
Оставьте заявку, и в течение 5 минут на почту вам станут поступать предложения!
Реферат

Реферат по предмету "Математика"


Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики

№1 Функциональные ряды
Членами являются функции,определенные в некоторой области изменения аргумента х: U1(x)+U2(x)+…+Un(x)+… Придаваях какое-либо значениех0из области определения функций Un(x), получим числовой ряд U1(x)+ U2(x)+…+ Un(x)+… Этот ряд может сходиться илирасходиться. Если он сходится, то точка х0 называется точкойсходимости функционального ряда. Если при х=х0рядрасходится, то точка х0называется точкой расходимостифункционального ряда. Совокупность всех точек сходимости функциональногоряда называется областью его сходимости.
Функциональный рядназывается правильно сходящимся на сегменте [a, b], если существует такойзнакоположительный сходящийся ряд b1+ b2 +…+bn+…, что абсолютные величины членовданного ряда для любого значения х, принадлежащего сегменту [a, b], не превосходят соответствующихчленов знакоположительного ряда, т. е. |Un(x)| ≤ bn(n=1, 2, …)
 
№2 Неопределенныйинтеграл и его свойства
Интегральное исчислениерешает обратную задачу: найти F(x), зная ее производную f(x).
Функция F(x) называется первообразной, если выполняется равенство F’(x)=f(x).
Если F(x) одна из первообразных функции f(x), то любаяпервообразная функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где С€R.
Множество всехпервообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом
Свойства:
– неопределенный интегралот алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумменеопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности;
– постоянный множительможно выносить за знак неопределенного интеграла.
№3 Асимптоты
Асимптотой кривойназывается прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремитсяк 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.
/>Асимптоты бываютвертикальными, горизонтальными и наклонными.
Прямая х=a является вертикальной асимптотойграфика функции y=f(x), если lim f(x)=∞ ,
                     x→0±a
Уравнение наклоннойасимптоты будем искать в виде y=Rx+b
R = lim(y/x);   b = lim (y – Rx)
      x→0                            x→0
Если y = b, то это уравнение горизонтальной асимптоты.
№4 Экстремум функции (дляодной переменной)
Если функция  f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f’(x)>0 (f’(x)
Необходимое условиеэкстремума: если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремумв точке х0, то ее производная в этой точке равна 0.
Достаточное условиеэкстремума: если производная меняет знак на минус, то х0– точкамаксимума; если с минуса на плюс, то точка х0– точка минимума.
№5 Производная. Еегеометрический и физический смысл.
Физический: производнойфункции y=f(x) в точке х0называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента ∆хпри произвольном стремлении ∆х к 0.
Геометрический: угловойкоэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0равен значению производной этой функции в точке х0.
№6 Замечательные пределы
 
lim (1+1/x)^x=e;  lim (1+x)^1/x=e  (e – экспонент)
x→∞                                    x→0
№7 Точки разрыва функции,классификация
Точка х0называется точкой разрыва функции y=f(x), если она принадлежит области определения функции или еегранице и не является точкой непрерывности. В этом случае говорят, чтопри        х = х0функция разрывна. Это может произойти,  если вточке х0функция не определена, или не существует предел функции прих → х0, или, если предел функции существует, но не равензначению функции в точке х0:  lim f(x) ≠ f(х0).  Точку х0 называютточкой разрыва первого рода,
                                                    x→x0
если существуют конечныеодносторонние пределы f(x0-0)=lim f(x) и f(x0+0)=lim f(x), но         f(x0-0)≠f(x0+0).                                                                                     x→x0-0                                                                  x→x0+0
Точку х0 называют точкойразрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0) и f(x0+0) не существует (в частности, бесконечен).
№8 Непрерывность функциина отрезке
Функция  y=f(x) называетсянепрерывной, если:
– функция определена вточке х0и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;
– функция имеет предел приx→x0,
– предел функции при x→x0равен значению функции в точке x0:    lim f(x) = f(х0)
                                                                                                                   x→x0
Если  в точке х0функция непрерывна, то точка х0называется точкой непрерывностиданной функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке х0справа или слева (т.е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция y=f(x) определена вточке х0. Если                    lim f(x) = f(х0), то говорят, чтофункция y=f(x) непрерывна вточке x0справа; если lim f(x) = f(х0),
x→x0+0                                                                                                                                                                                                  x→x0-0
то функция называетсянепрерывной в точке x0слева.

№9 Предел функции поГейне
Число А называетсяпределом функции f(x) в точке x0если для любой последовательности { xn} сходящейся к x0, последовательность F({ xn}) соответствующих значений функции сходится к А:
lim f(x) =A
x→x0
№10 Предел функции поКоши
Число А называетсяпределом функции f(x) в точке x0если для любого сколь угодно малого числа E>0 (эпселон больше 0) найдетсятакое число δ>0 (дельта больше 0), что для всех х таких, что          |x-x0|
№11 Предел числовойпоследовательности
Число а называетсяпределом последовательности xn, если для любого положительного E>0 найдется такое число n, где n
n→∞
Если последовательностьимеет предел, равный а, то она сходится к а.   Теорема: сходящаясяпоследовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющаяпредела, называется расходящейся.
Операции над пределамипоследовательностей:
Пусть lim xn =a;          lim уn = b, тогда
                n→∞                             n→∞
– lim (xn± уn) = a±b;
    n→∞
– lim (xn*уn) = a*b;
    n→∞
– lim (c* xn)= c*a;
    n→∞
– lim (xn)^R= (lim xn)^R=a^R;
    n→∞
– lim (xn)^1/R= a^1/R;
    n→∞
– lim a = a.
    n→∞
Бесконечно большиепоследовательности:
– lim xn= ±∞;
    n→∞
Правила вычисленияпределов ЧП:
– lim xn= а;       lim yn= ±∞, тогда      lim xn/ lim yn= а/±∞=0;
    n→∞                         n→∞                                           n→∞        n→∞
– lim xn= 0;       lim yn= ±∞, тогда     lim yn=0, lim (xn/ yn)= ±∞
   n→0                  n→∞                                          n→∞              n→∞
№12 Общее уравнениеплоскости, проходящей через три точки.
Если точки М0(x0; y0; z0), М1 (x1; y1; z1 ), М2 (x2; y2; z2 ) не лежат на одной прямой, то проходящая через нихплоскость представляется уравнением
/>/>    x – x0       y – y0    z – z0
    x1– x0     y1 – y0    z1 – z0  =  0
    x2– x0     y2 – y0    z2 – z0
 

№14 Уравнение прямой впространстве (общее и каноническое).
Прямая L, проходящая через точку М0(x0; y0; z0) и имеющая направляющий вектор a {l,m,n}, представляется уравнениями   x – x0         y – y0        z – z0
/>/>/>                                                                =               =                ,
                                            l                 m               n
/>/>выражающими коллинеарность векторов a {l,m,n} и М0М { x– x, y– y, z– z}. Они называются каноническими.
№15 Уравнение прямой наплоскости.
Ax + By + C = 0,где А, В, С – постоянные коэффициенты.
/>/>Заметим, что  n (А; В) – нормальный вектор (n  ┴ прямой).
Частные случаи этогоуравнения:
–  Ах + By = 0 (C=0) – прямая проходит через начало координат;
–  Ах + С = 0 (В=0) –прямая параллельна оси Оу;
–  Ву + С = 0 (А=0) –прямая параллельна оси Ох;
–  Ах = 0 – прямаясовпадает с осью Оу;
–  Ву = 0 – прямаясовпадает с осью Ох.
№16 Векторы. Операции надвекторами.
Вектор – направленныйотрезок прямой.

I. Правила треугольника.   Правилапараллелограмма.   II. Разность векторов.     Параллелограмма.
/>а           b                                    а            b                              а               a        c
а           b          a + b = c            
                                                   a                                                b             b                   а
Равенство векторов:
Два (ненулевых) вектораравны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевыевекторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.
Сложение векторов:
Суммой векторов называетсятретий вектор
Сумма несколькихвекторов: Суммой векторов а1, а2, а3, …, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательныхсложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляетсявектор а3 и т.д.
Коллинеарность векторов:
Векторы, лежащие напараллельных прямых, называются коллинеарными.
Скалярное произведение:
Скалярным произведениемвектора а на вектор b называетсяпроизведение их модулей на косинус угла между ними
Угол между векторами:
cos(a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x1^2+y1^2+z1^2)*(x2^2+y2^2+z2^2))^1/2

№17 Система линейныхуравнений. Формулы Крамера.
x = ∆1/∆; x2 = ∆2/∆; … xn = ∆n/∆
№18 Система линейныхуравнений. Метод Гауса.
Системой линейныхуравнений, содержащей m-уравненийи n-неизвестных, называется системавида    а11х1 + а12х2 + а13х3+…+аnxn = b1;
         { а21х1 + а22х2+ а23х3+…+аnxn = b2;       },  где аij – коэффициенты системы, bi – свободные
         am1x1 + am2x2 +am3x3+…+amnxn = bm                     члены
№19 Обратная матрица.Ранг матрицы.
Матрица А-1называется обратной к матрице А, если выполняется условие  А* А-1 =А-1*А = Е
Всякая невырожденнаяматрица (т.е. ∆≠0) имеет обратную.
Алгоритм вычисленияобратной матрицы:
1.        вычисляемопределитель, составленный по данной матрице;
2.        находим матрицу АТ,транспонированную к А;
3.        
A11 A21 … An1
A12 A22 … An2   составляем союзнуюматрицу (А*);
4.        вычисляемобратную матрицу по формуле А-1 = А*/∆А = 1/∆А*(                               )
Ранг м-цы:
Минором R-го порядка произвольной м-цы Аназывается определитель, составленный из элементов м-цы, расположенных напересечении каких-либо R-строки R-столбцов.
Рангом м-цы А называетсянаибольший из порядков ее миноров, неравных 0.
Базисным миноромназывается любое из миноров м-цы А, порядок которого равен рангу А.
При элементарныхпреобразованиях ранг м-цы не изменяется.
Ранг ступенчатой м-цыравен количеству ее не нулевых строк.
Свойства:
– при транспонированиим-цы ее ранг не меняется;
– если вычеркнуть из м-цынулевой ряд, то ранг не изменится.
№20 Матрицы. Операции надматрицами.
Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов. Числа, составляющие м-цу, называются элементамим-цы.
Две м-цы А и В одногоразмера называются равными, если они совпадают поэлементно.
Виды: м-ца-строка;м-ца-столбец.
М-ца называетсяквадратной n-го порядка, если число ее строкравно числу столбцов и равно n.
Квадратная м-ца, укоторой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0, называетсядиагональной.
Если у диагональной м-цы n-го порядка все элеметы главнойдиагонали равны 1, то м-ца называется единичной n-го порядка и обозначается Е.
Если все элементы м-цыравны 0, то она называется нулевой.
Операции над матрицами:
Умножение м-цы на число.Произведением м-цы А на число λ называется матрица В= λ*А, элементыкоторой bij = λ* aij (i=1,…,m, j=1,…,n)
Сложение м-ц. Суммой двухм-ц А и В одинакового размера m на n называется м-ца С=А+В, элементыкоторой Сij=aij+bij.
Аналогично находитсяразность.
R   Умножение м-ц. Умножением-цы А на м-цу В возможно когда число столбцов первой м-цы равно числу строквторой. Тогда произведением м-цы А и В называется м-ца С, каждый элементкоторой находится по формуле  
Сij=ai1*b1j+ai2*b2j+…+aiR*bR = ∑ais*bsj/>
S=1  

Возведение в степень.
А^2=A*A
Транспонирование м-цы –переход от м-цы А к м-це АТ, в которой строки и столбцы меняютсяместами с сохранением порядка.
№21 Определители n-го порядка. Свойства определителей.
Квадратной м-це А порядкаn можно сопоставить число дельтаА(|А|, ∆), которое называется определителем, если:
– n=1, A=(a1), ∆A=a1;/> /> /> /> />
a11  a12
a21  a22  
a11  a12
a21  a22  

– n=2,A=                   ,    ∆=                  =a11a22-a12a21;/> /> /> /> />
a11  a12  a13
a21  a22  a23
a31  a32  a33  
a11  a12  a13
a21  a22  a23
a31  a32  a33   />

–n=3,A=                           ;   ∆A=
Свойства определителей:
1.        Если уопределителя какая-л строка (столбец) состоит только из нулей, то ∆=0;
2.        Если какие-л двестроки (столбца) определителя пропорциональны, то ∆=0;
3.        Если какую-л строку(столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определительумножится на это число;
4.        Если две строки(столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак;
5.        Если к какой-лстроке (столбцу) определителя прибавить  какую-л другую строку (столбец),умноженное на произвольное число, то определитель не изменится;
6.        Определительпроизведения матриц равен произведению их определителей.
№22 Признаки сравненияположительных рядов.
Для исследованиясходимости данного положительного ряда U0+U1+U2+…  его часто сравнивают с другимположительным рядом  V0+V1+V2+…, о котором известно, что он сходится или расходится.
Если ряд 2 сходится исумма его равна V, а члены данногоряда не превосходят соответствующих членов ряда 2, то данный ряд сходится, исумма его не превосходит V. Приэтом остаток данного ряда не превосходит остатка ряда 2.
Если ряд 2 расходится, ачлены данного ряда не меньше соответствующих членов ряда 2, то данный рядрасходится.
№23 Признаки Даламбера иКоши сходимости ряда
Признак Даламбера:
Пусть в положительномряде U1+U2+…+Un+…отношение Un+1/Un последующего члена к предыдущему приn→∞ имеет предел q. Возможны три случая:
q1 – ряд расходится; q=1 – ряд может сходиться, а может ирасходиться.

№24 Производные обратныхтригонометрических функций.
I.   darcsin x = dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arcsin x = 1/(1-x^2)^1/2
II.  d arccos x = — dx/(1-x^2)^1/2, d/dx arccos x= — 1/(1-x^2)^1/2
III.           darctg x = dx/(1+x^2), d/dx arctg x = 1/(1+x^2)
IV.           darcctg x = — dx/(1+x^2), d/dx arcctg x = — 1/(1+x^2)
№25 Дифференцированиефункций, заданных неявно.
Пусть уравнение,связывающее x и y и удовлетворяющееся значениями x=x0 и y=y0, определяет y какнеявную функцию от x. Для разысканияпроизводной dy/dx в точке x=x0, y=y0 нет нуждыискать явное выражение функции. Достаточно приравнять дифференциалы обеихчастей уравнения и из полученного равенства найти отношение dy к dx.
№26 Дифференцированиефункций, заданных параметрически.
Предположим, что функция y от х задана параметрическиуравнениями x=x(t), y=y(t), причем внекоторой области изменения параметра  t  функции x(t) и y(t) дифференцируемыи x’(t)≠0.
Найдем производную у’x. Как мы знаем у’x= dy/dx. Так как dx = x’(t)dt, dy = y’(t)dt, то
y’x = dy/dx = y’(t)dt/x’(t)dt = y’(t)/x’(t) = y’t/x’t.
Таким образом, dy/dx = y’t/x’t.   Эта формулапозволяет находить производную функции, заданной параметрически.

№28 Дифференциал функции.
Пусть приращение функции y=f(x) разбито насумму двух членов: ∆y = A ∆x+α,где А не зависит от ∆x(т.е. постоянно при данном значении аргумента x) и α имеет высший порядок относительно ∆x (при ∆x → 0).
Тогда первый член,пропорциональный ∆x,называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy или df(x).
№29 Дифференциальныеуравнения с разделяющимися переменными.
Уравнение вида X1Y1dx +X2Y2dy = 0, гдефункции X1 и  X2 зависят только от x (одна из них или обе могут быть постоянными; то же для функций Y1, Y2), а функции Y1, Y2 – только от y, приводится к виду ydx – xdy = 0 делением на  Y1X2. Процесс произведенияназывается разделением переменных.
№30 Площадь криволинейнойтрапеции.
b  
b  
b   Фигура, ограниченнаяпрямыми y=P; x=a, x=b и графикомнепрерывной и неотрицательной на     [a, b] функции f(x), называетсякриволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции
равна
a  
a  
a                ∫f(x)dx;    ∫f(x)dx –  ∫g(x)dx
№31 Дифференциальныеоднородные уравнения первого порядка.
ДУ первого порядканазывается однородным, если оно может быть представлено в виде                y’ = g (y/x).
Однородное ДУпреобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены z=y/x;  y=z*x, то y’=z’x+z, поэтому уравнение y’=g(y/x) преобразуем к виду z’x+z=g(z); dz*x/dx=g(z)-z; dz\(g(z)-z)=dx/x.
Найдя его общее решениеследует заметить в нем z на y/x.
Однородное ДУ частозадается в дифференциальной форме: P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0.
ДУ будет однородным, еслиP(x;y) и Q(x;y) – однородныефункции одинакового порядка.
Переписав уравнение ввиде dy/dx=-P(x;y)/Q(x;y) и переменив в правой части рассмотренное вышепреобразование получим уравнение y’=g(y/x).
При интегрированииуравнения P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 нет необходимости предварительно приводить их к виду y’=g(y/x): подстановка z=y/x сразупреобразует уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 в уравнение с разделяющимися переменными.
№32 Степенные ряды
Степенным рядомназывается ряд вида а0+а1х+а2х2+…+anxn+…, а также ряд более общего вида а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+an(x-х0)n+…, где х0 – постоянная величина. О первом рядеговорят, что он расположен по степеням х, во втором – что он расположен по степенямх-х0.
Постоянные а0,а1, …, аn,… называются коэффициентами степенного ряда.
Степенной ряд всегдасходится при х=0.

№33 Кривые второгопорядка на плоскости (эллипс, гипербола, парабола).
Линии, определяемыеуравнениями второй степени относительно переменных x и y,т.е. уравнениям вида Ах2+2Вху+Су2+2Вх+2Еу+F=0 (А2+В2+С2≠0),называются кривыми 2-го порядка.
Эллипс.
/>х2/а2+у2/b2=1
Гипербола.
х2/а2-у2/b2=1
Парабола.
y2=2px,где p>0
z   №34 Дифференциальныеуравнения, приводимые к уравнениям однородной функции.
/>

№35 Эллипсоид (уравнениеи чертеж).
x2/a2+y2/b2+z2/c2=1
№36 Гиперболоид(уравнение, чертеж).
x2/a2+y2/b2-z2/c2=1
/>
гиперболоид   />
/>№37 Параболоид эллиптический (уравнение, чертеж)
x2/a2+y2/b2=2pz
№38 Параболоидгиперболический (уравнение, чертеж)
x2/a2-y2/b2=2pz
№39 Уравнение в полныхдифференциалах
Если коэффициенты P(x,y), Q(x,y) в уравнении
P (x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)удовлетворяют условию
δP/δy=δQ/δx,  то левая часть (1) есть полныйдифференциал
 некоторой функции F (x,y). Общий интегралуравнения (1)
будет:  F (x,y) = C.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат The Send Off
Реферат Особенности технологии кулинарных изделий и блюд из мяса венгерской кухни
Реферат Некоторые особенности ценностной системы космоцентризма (середина IV - начало II тыс. до н.э.)
Реферат Антропный космологический принцип: его естественнонаучный и философско-методологический смысл
Реферат Cuba nation Report Essay Research Paper INTRODUCTION
Реферат Андраши, Дьюла
Реферат 2 Содержание психолого-педагогической работы по освоению образовательных областей
Реферат Легализация (отмывание) денежных средств или иного имущества, приобретенных преступным путем
Реферат Подготовка ассортимента культур для оформления цветочного массива
Реферат Спорт вместо наркотиков
Реферат Челкаш и Гаврила
Реферат Человек тыла его трудовая жизнь культура и быт в тылу в годы Великой Отечественной войны
Реферат Характеристика Львова как одного из главных городов Юго-Западного района Украины
Реферат Поддержка малого бизнеса в России
Реферат Бухгалтерский финансовый учет 7