Контрольная работа
Основы теории вероятности
Задание 1
Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы.
Формулировка теоремы Бернулли: “Частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к вероятности данного события.”
/>p1= 0.7
p2= 0.8
p3= 0.9
p4= 0.7
p5= 0.8
Проверка теоремы с помощью программы:
Текстпрограммы:
Program Cep;
Uses CRT;
Const c=5;
Var op,i,j,n,m:integer;
a,rab,pp,ppp,ppp1,ppp2:real;
p:array[1..c] of real;
x:array[1..c] of byte;
Begin
ClrScr;
Randomize;
p[1]:=0.7; p[2]:=0.8; p[3]:=0.9; p[4]:=0.7; p[5]:=0.8;
Writeln(' Опытов: Мсходы: Вер-ть:'); Writeln;
For op:=1 to 20 do Begin
n:=op*100;m:=0;
Write(' n=',n:4);
For i:=1 to n do Begin
For j:=1 to c do Begin
x[j]:=0;
a:=random;
if a
End;
rab:=x[i]+x[2]*(x[3]+x[4]+x[5]);
If rab>0 then m:=m+1;
End;
pp:=m/n;
writeln(' M= ',m:4,' P*= ',pp:3:3);
End;
ppp1:=p[1]+p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);
ppp2:=p[1]*p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);
ppp:=ppp1-ppp2;
Writeln; Writeln(' Вер. вопыте: p=',ppp:6:3);
Readln;
End.
Результаты работы программы
Опытов
М-сходы
Вер-ть
n= 200
n= 300
n= 400
n= 500
n= 600
n= 700
n= 800
n= 900
n=1000
n=1100
n=1200
n=1300
n=1400
n=1500
n=1600
n=1700
n=1800
n=1900
n=2000
n= 100
M= 163
M= 247
M= 337
M= 411
M= 518
M= 591
M= 695
M= 801
M= 908
M= 990
M= 1102
M= 1196
M= 1303
M= 1399
M= 1487
M= 1576
M= 1691
M= 1782
M= 1877
M= 94
P*= 0.815
P*= 0.823
P*= 0.843
P*= 0.822
P*= 0.863
P*= 0.844
P*= 0.869
P*= 0.890
P*= 0.908
P*= 0.900
P*= 0.918
P*= 0.920
P*= 0.931
P*= 0.933
P*= 0.929
P*= 0.927
P*= 0.939
P*= 0.938
P*= 0.939
P*= 0.940 --PAGE_BREAK--
Вер. в опыте: p= 0.939
Проверка в ручную:
Первый способ:
/>
Второй способ:
/>
Вывод: Теорема Бернулли верна
Задача № 2
Бросают две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма чисел очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит N; в)произведение числа очков делится на N. (N = 8)
Исходы:
1-1 2-1 3-1 4-1 5-1 6-1
1-2 2-2 3-2 4-2 5-2 6-2
1-3 2-3 3-3 4-3 5-3 6-3
n = 36 – кол-во комбинаций
1-4 2-4 3-4 4-4 5-4 6-4
1-5 2-5 3-5 4-5 5-5 6-5
1-6 2-6 3-6 4-6 5-6 6-6
а). Сумма чисел не превосходит N = 8: кол-во благоприятных исходов m = 26
Вероятность
/>
б). Произведение чисел не превосходит N = 8: кол-во благоприятных исходов m = 16
Вероятность
/>
в). Произведение числа очков делится на N = 8: кол-во благоприятных исходов m = 5
Вероятность
/>
Задача № 3
Имеются изделия четырёх сортов, причём число изделий i — го сорта равно ni, i = 1, 2, 3, 4.
Для контроля наудачу берутся m – изделий. Определить вероятность того, что среди них m1 первосортных, m2, m3 и m4 второго, третьего и четвёртого сорта соответственно.
/>/>/>/>/>
/>/>/>/>/>
/>
/>
/>
/>
Задача № 4
В лифт k – этажного дома сели n пассажироа (n
k = 11, n = 4
а) Все на разных:
n = 114 = 14641
/>
/>
б) Хотя бы два на одном:
/>
Задача № 5
В двух партиях k1 и k2% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное.
k1 = 86%, k2 = 32%
A1 — доброкачественные в 1-й партии
A2 — доброкачественные в 2-й партии
а). одно бракованное:
/>
б). два бракованных:
/>
в). Одно доброкачественное и одно бракованное:
/>
Задача № 6
Из 1000 ламп ni принадлежат i – партии, i = 1, 2, 3. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных лам. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.
n1 = 700 n2 = 90 n3 = 210 />
p1 = 0.06 p2 = 0.05 p3 = 0.04
Пусть:
H1 – взяли из 1-й партии
H2 – взяли из 2-й партии
H3 – взяли из 3-й партии
/>/>/>
Пусть Bi – брак из i — й партии =>
/>/>/>
Так как
/>то =>
/>
Задача № 7
В альбоме k чистых и l гашёных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые и гашёные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые. продолжение
--PAGE_BREAK--
k = 8, l = 7, m = 3, n = 3
Пусть:
H1 – все чистые марки
H2 – 1-чистая, 2-гашёные
H3 – 2-чистые, 1-гашёная
H4 – все гашёные
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
По теореме о полной вероятности:
/>
Задача № 8
В магазин поставляют однотипные изделия с трёх заводов, причём i – заводпоставляет mi% изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i – го завода n1% первосортных. Куплено одно изделие.
Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено i – заводом.
m1 = 60 m2 = 20 m3 = 20
n1 = 70 n2 = 80 n3 = 90
Пусть:
H1 – поставил первый завод
H2 – поставил второй завод
H3 – поставил третий завод
Пусть: А – первосортных изделий =>
/>/>/>
По формуле Бейсса:
/>=> так как i = 3
/>
Задача 9
Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.
p = 0.3 — вероятность на 1 билет
n = 15 — кол-во купленных билетов
Формула Бернули :
/>
m = 1,2,3,4,…..,n
Производная функция:
/>
q = 1 – p
Наивероятнейшее число выигравших билетов
/>/>
/>
/>=>
Наивероятнейшее число выигравших билетов: m0= 4
/>
/>— соответствующая вероятность
Задача № 10
Вероятность “сбоя” в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Определить вероятность m сбоев.
р = 0.007 — вероятность “сбоя” при вызове
n = 1000 — кол-во вызовов
m = 7 — кол-во “сбоев”
По закону Пуассона:
/>
/>=> />
/>
Задача № 11
По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию φ(t), математическое ожидание Мξ, дисперсию Dξ случайной величины ξ.
Биномиальный закон:
/>
/>
/>
n = 3
p = 0.67
/>=> />
/>=> />
/>
Литература
Е.С. Венцель “Теория вероятности”
В.Ф. Чудесенко “Сборник заданий по спецкурсу высшей математики ТР”
Курс лекций по Теории вероятности