--PAGE_BREAK--2. Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной.
2.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл.
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(х) или дифференциала f’(х)dх данной функции f(х).
В интегральном исчислении решается обратная задача:
Дана функция f(х); требуется найти такую функцию F(х), производная которой f(х)dхв области определения функции f(х), то есть, в этой области функции f(х) и F(х) связаны соотношением F’(х) = f(х) или dF(
х)= F’(х)dх = f(х)dх.
Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией для данной функции f(х), если для любого хиз области определения f(х) выполняется равенство F’(х) = f(х) или dF(
х) = f(х)dх.
Примеры. 1)Пусть f(х) = cos х.
Решение: Тогда F(х) = sin х, так как F’(х) = cos х= f(х) или dF(
х) = cos хdх= f(х)dх
2) Пусть f(х) = х2.
Решение: Тогда F(х) = , так как F’(х) = х2 = f(х) или dF(
х)= х2dх= f(х)dх.
Известно, что если две функции f(х) и j(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, то есть, если f(х) = j(х) + С, то f’(х) = j’(х) или f’(х)dх = j’(х)dх.
Известно также, что и наоборот, если две функции f(х) и j(х) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, если
f’(х) = j’(х) или d
хf(х) = dj(х), то
f(х) = j(х) + С.
Замечание. Действительно, если производная f’(х) обращается в нуль для любых значений хв (а, в), то в этом интервале f(х) = С.
В самом деле, если х1Î(а, в) и х2Î(а, в), то в силу теоремы Лагранжа, имеем f(х2) – f(х1) = (х2–х1) f’(х0), где х1х0х2 . Но, так как f’(х0) = 0, то f(х2) – f(х1) = 0.
Отсюда непосредственно следует что, если в формуле у = F(х) + С мы будем придавать постоянной С все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f(х).
Определение. Множество F(х) +С всех первообразных функций для функции f(х), где С принимают все возможные числовые значения, называется неопределённым интегралом от функции f(х) и обозначается символом
f(х)dх
Таким образом, по определению,
f(х)dх= F(х) + С, (А)
где F’(х) = f(х) или dF(
х) = f(х)dх и С – произвольная постоянная. В формуле (А) f(х) называется подынтегральной функцией, f(х)dх– подынтегральным выражением, а символ – знаком неопределённого интеграла.
Неопределённым интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.
Определение. Нахождение первообразной по данной функции f(х) называется интегрированием
2.2. Геометрический смысл неопределённого интеграла.
Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С1получим конкретную функцию у1= F(х) + С1, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С2, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.
Аналогично можно построить график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С2, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С1, параллельным сдвигом в направлении оси Оуна величину /С2– С1/. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х2+ С от функции f(х) = 2х, то есть, семейства парабол.
2.3. Основные свойства неопределённого интеграла.
1) Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть,
[ f(х)dх ]’= f(х).
Доказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,
f(х)dх= F(х) + С, (V)
где F’(х) = f(х)
Дифференцируя обучение части равенства (V), имеем
[ f(х)dх ]’ = [F(х) + С ]’,
откуда
[ f(х)dх]’= F’(х) + С1 = F’(х) = f(х).
2) Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, то есть
d f(х)dх = f(х)dх
Доказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,
f(х)dх= F(х) + С
d f(
х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) = dС = F’(х)dх = f(х)dх
3) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции F(х) равен самой функции с точностью до произвольной постоянной С, то есть
dF(х) = F(х) + С, (v)
Доказательство. Продифференцировав оба равенства (v), будем иметь
d dF(х) = dF(х) (по свойству 2)
d(F(х) + С)= dF(
х)
следовательно, функции dF(х) иdF(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть
dF(х) = F(х) + С
4) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, то есть
а f(х)dх = а f(х)dх (а¹
)
Доказательство. Продифференцируем обучение части равенства. Тогда получим
d а f(х)dх = а f(х)dх (по свойству 2)
и d [ a f(х)dx ] = ad f(х)dх =а f(х)dх
(в силу свойства дифференциала)
Таким образом, дифференциалы функций
а f(х)dхи а f(х)dхравны, а потому эти функции отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, аf(х)dх= = а f(х)dх * dх+ С. Но постоянную С можно считать включённой в состав неопределённого интеграла, следовательно,
а f(х)dх= а f(х)dх.
5) Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, например:
[f1(х) + f2(х) –f3(х)]dх= f1(х)dх+ f3(х)dх– f3(х)dх (v)
Доказательство: Продифференцируем обе части равенства.
Дифференцирование любой части равенства даёт:
d [f1(х) + f2(х) –f3(х)]dх = [f1(х) + f2(х) –f3(х)]dх
В результате дифференцирования правой части равенства (v), получается дифференциал алгебраической суммы нескольких функций, который как известно равен алгебраической сумме дифференциалов слагаемых функций. Следовательно,
d[ f1(х)dх+ f2(х)dх– f3(х)dх] =
=d f1(х)dх+ f2(х)dх– f3(х)dх
Применяя свойство 1, в правой части последнего равенства получаем
f1(х)dх+ f2(х)dх–f3(х)dх = [ f1(х) + f2(х) –f3(х)]dх
Итак, после дифференцирования обеих частей равенства (v) получены тождественные результаты, следовательно, справедлива формула (v) (см. доказательство свойства 3).
2.4.
Метод непосредственного интегрирования.
Определение. Непосредственным интегрированием называется интегрирование заключающееся в прямом применении формул таблицы основных интегралов. Чтобы найти неопределённый интеграл от какой–нибудь функции f(х), нужно прежде всего отыскать в таблице интегралов формулу в левой части которой стоит интеграл такого же вида, как данный, и записать ответ в соответствии с правой частью этой формулы.
Примеры.
1) х7d
х
Решение. х7dх = + С
2) 2 3х2 dх
Решение. Имеем 2 3х2 dх = 2х2/3dх
Применяя формулы, получаем 2х2/3dх = 2 х2/3dх= 2 + С.
Таким образом, 2х2/3dх = х 3х2 + С.
3)
Решение. Согласно известному свойству дифференциала, 3dх = d(3х), а потому
=
Применяя формулу, получаем tg3х + С
В тех случаях, когда под знаком интеграла стоит алгебраическая сумма обычно разлагают данный интеграл на сумму нескольких интегралов, из которых каждый можно найти по соответствующей формуле.
3) (2х3 + 9х2 – 5 х + 4/ х )dх
Решение. (2х3 + 9х2 – 5 х + 4/ х )dх =
= 2 х3dх+ 9 х2dх– 5 х1/2 + 4 dх/ х =
= 2 + 9 – 5 + 4 * 2 х + С =
=
х4 / 2 + 3х3 – 10/3 х х + 8 х + С.
2.5.
Метод замены переменной (способ подстановки).
Наиболее общим приёмом интегрирования функций является способ подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл f(х)dх не является табличным, но путём но путём ряда элементарных преобразований он может быть сведён к табличному.
Метод подстановки основан на применении следующей формулы:
f(х)dх = f[j(t)]j’(t)dt, (1)
где х = j(t) – дифференцируемая функция от t, производная которой j’(t) сохраняет знак для рассматриваемых значений переменных.
Сущность применения этой формулы состоит в том, что в данном интеграле f(х)dхпеременная хзаменяется переменной tпо формуле х= j(t) и, следовательно, d
хпроизведением j’(t)dt.
Справедливость формулы (1) будет доказана если после дифференцирования обеих её частей получатся одинаковые выражения. Продифференцировав левую часть формулы, имеем
d [ f(х)dх]= f(х)dх = f[j(t)] j’(t)dt
Продифференцировав правую часть формулы, имеем
d f [j(t)] j’(t)dt = f [ j(t) ] j’(t)dt
Таким образом, формула (1) справедлива. Часто употребляется обратная замена переменной, то есть, подстановка t = j(t), dt = j’(t)dх.
Примеры.
1) (2х + 3)4dх.
Данный интеграл можно свести к табличному интегралу (V). Подстановка выбирается из простого соображения: в подынтегральном выражении табличного интеграла (V) в основании степени и под знаком дифференциала стоит одно и тоже выражение и.
Следовательно, в данном случае нужно применить подстановку и = 2х + 3, отсюда имеем d
и= 2dхи d
х= dи/2, а потому
(2х + 3)4dх= и4(dи/2) = 1/2 и4dи =
= 1/2* и5/5 + С = + С.
продолжение
--PAGE_BREAK--2.6
Интегрирование по частям.
Допустим, что u, v – функции переменной х, непрерывные и имеющие производные в интервале (а, в). имеем тогда
(uv)’ = uv’ + vu’
так что uv’ = (uv)’ – vu’
Беря неопределённые интегралы от обоих частей и учитывая, что uv’dх= uv – vu’dх, (1)
Если оба интеграла существуют.
Пользуясь дифференциалами предыдущую формулу можно написать в следующем виде:
udv = uv – vdu. (2)
Формула (2) даёт возможность вычисления интеграла udv свести к вычислению интеграла vdu, который, быть может, берётся легче. Этот метод называется интегрированием по частям.
Примеры.
1) J = хе
х
d
х.
Положим и = х, dи = dх, dv = е
х
d
х,
v =
е
х
d
х = е
х
Следовательно,
J = хе
х
–
е
х
d
х = хе
х
–
е
х
+
С.
2) ln хdх.
Положим, u = ln х, dи = dх/х
dv = d
х v = dх = х.
Следовательно,
J = х ln х – dх = х ln х – х + С…
2.7.
Определённый интеграл как предел интегральной суммы.
Пусть интервал [а, в], на котором задана функция у= f(х), разбит точками деления х1х2хп – 1напчастичных интервалов D1 = [х0,х1], D2 = [х1,х2], …, Dn = [хп–1,х
п], где а =х,
в = х
п, причём в каждом частичном интервале Diвыбрана какая–либо точка ai:
хi–1 £ ai£
х
i (i = 1, 2, …, п). Пусть, далее, Dхi– длина интервала Di
, то есть,
хi – х
i–1 = Dхi (i = 1, 2, …, п),
аmax Dхi – наибольшее из чисел Dхi.
Требуется найти предел суммы
(1)
f(a1) Dх1+ f(a2) Dх2 + … + f(a
п) Dхп = åf(a
i) Dхi,
когда длины Dхiвсех частичных интервалов Di
стремятся к нулю (при этом с необходимостью число п этих интервалов будет стремиться к бесконечности). Другими словами, требуется найти предел этой суммы при max Dхi
®
0, так как условие, что максимальная из длин частичных интервалов Di
стремится к нулю, равносильно условию, что все Dхi
®
0.
Итак, требуется найти
lim åf(хi) Dхi.
Определение. Сумму (1) называют интегральной суммой.
Определение. Функция f(х) называется интегрируемой на интервале [а, в], если существует конечный предел
lim åf(a
i) Dхi, (2)
не зависящий от того, каким образом интервал [а, в] делится на частичные интервалы и каким образом выбираются точки a
i
на этих частичных интервалах, лишь бы длина максимального из них стремилась к нулю. Этот предел называется определённым интегралом от функции f(х) на интервале [а, в] и обозначается символом
f(х)dх= lim åf(a
i) Dхi.
Для того чтобы не оставалось неясностей, сформулируем точно, как следует понимать предел (2).
Определение. Число Jназывается пределом интегральной суммы åf(a
i)Dхiпри max Dхi
®
0, если для любого заданного e>0 найдётся такое d > 0, что выполняется неравенство:
|åf(a
i)Dхi – J|
при любом выборе частных интервалов, D1, D2, …, Dп
и точек a1, a2, …, a
пна этих интервалах, лишь бы только выполнялось требование max Dхi
®
0, тоесть лишь бы длина наибольшего (а значит, и всех) из частичных интервалов была меньше d.
Из определения определённого интеграла отнюдь не следует, что любая функция интегрируема на любом интервале. Можно подобрать такие функции, для которых определённый интеграл не существует, то есть для которых интегральная сумма не стремится к определённому пределу. Существование определённого интеграла от функции, заданной на интервале [а, в], обеспечивает непрерывность этой функции на [а, в], поэтому непрерывность функции на [а, в] является достаточным условием её интегрируемости на этом интервале, то есть
Теорема 1. Если функция f(х) непрерывна на замкнутом интервале [а, в], то она интегрируема на этом интервале, то есть имеет определённый интеграл
f(х)dх.
Иногда на практике приходится интегрировать и разрывные функции. Приведём несколько более широкое достаточное условие существования интеграла.
Теорема 2. Если на интервале [а, в] функция ограничена и имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [а, в].
2.8.
Основные свойства определённого интеграла.
Теорема 1. Пусть с – промежуточная точка интервала [а, в] (а в). Тогда имеет место равенство
f(х)dх = f(х)dх + f(х)dх,
если все эти три интеграла существуют.
Доказательство: Разобьём [а, в] на пчастичных интервалов [а, х1], [х1,х2], …, [хп–1, в] длиной соответственно Dх1, Dх2, …, Dхп так, чтобы точка с была точкой деления. Пусть, например, хт = с (т
п). Тогда интегральная сумма
åf(a
i)Dхi
соответствующая интервалу [а, в], разобьётся на две суммы:
åf(a
i)Dхi = åf(a
i)Dхi = åf(a
i)Dхi
соответствующие интервалам [а, с] и [с, в].
Переходя к пределу при неопределённом уменьшении длины максимального частного интервала Dхi, то есть, при max Dхi
®
0, будем иметь
f(х)dх = f(х)dх + f(х)dх,
Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, то есть
k f(х)dх = k f(х)dх.
Доказательство: По определению:
k f(х)dх = lim [k f(a1)Dх1+ k f(a2)Dх2 + … + k f(a
п)Dхп] =
= lim åk f(a
i)Dхi.
Но так как, согласно одному из свойств предела,
lim åk f(a
i)Dхi = k lim åf(a
i)Dхi,
и так как, по определению, lim åf(a
i)Dхi = f(
х)dх
то k f(х)dх = k lim åf(a
i)Dхi = k f(
х)dх
Теорема 3. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких непрерывных функций равен алгебраической сумме определённы интегралов от этих функций.
Доказательство: Докажем, например, что
[f1(х) + f2(х) –f3(х)]dх= f1(х)dх + f2(х)dх – f3(х)dх
в самом деле имеем:
[f1(х) + f2(х) –f3(х)]dх=lim å[f1(a
i)dх+ f2(a
i)dх–f3(a
i)]Dхi =
= lim åf1(a
i)Dхi+lim åf2(a
i)Dхi–lim åf3(a
i)Dхi =
= f1(х)dх + f2(х)dх – f3(х)dх
Теорема 3.(о среднем значении определённого интеграла)
Если функция f(х) непрерывна на [а, в], то внутри него найдётся такая точка С.
f(х)dх= (в–а) f(с)
Доказательство: Так как функция f(х) непрерывна на [а, в], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений Ми тна [а, в]. произведём обычное разбиение интервала [а, в], на п частичных интервалов Di
длинойDхi = х f(a
i) ³т – хi–1(i = 1, …, п).
Так как f(a
i) ³т при любом a
i, то
f(a
i)Dхi³тD
хi
откуда åf(a
i)Dхi ³т åDхi
или åf(a
i)Dхi ³т(в – а)
так как åDхi = Dх1+Dх2+ … + Dхп =
в – а.
Так как, далее, f(a
i)£т, при любом a
i
, то
f(a
i)Dхi £МDхi
а потому åf(a
i)Dхi £М åDхi,
то есть, åf(a
i)Dхi £М(в – а).
Таким образом, имеем
т(в – а) £åf(a
i)Dхi £М(в – а).
Переходя к пределу при max Dхi
®
0, получим неравенства
т(в – а) £ f(х)dх£М(в – а)
f(х)dх
(в – а)
Из этих неравенств и теореме о непрерывной функции на [а, в], принимающей в этом [а, в] все промежуточные значения между своими наибольшими и наименьшими значениями, следует, что отношение
f(х)dх
(в – а)
можно принять за значение f(с) функции f(х) в некоторой промежуточной точке с интервала [а, в] (т £f(
с)£
М).
Таким образом,
( f(х)dх) / (в – а) = f(с)
или
f(х)dх= (в – а)f(с)
продолжение
--PAGE_BREAK--2.9.
Геометрический смысл определённого интеграла.
Известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной кривой у = f(х), снизу – интервалом [а, в] оси Ох(а £х £в) и с боковых сторон – прямыми х= а, х = в, равна
S = lim åf(a
i)Dхi
Но, по определению,
f(х)dх= lim åf(a
i)Dхi
следовательно,
S = f(х)dх
Таким образом, в случае, когда f(х) ³0, то есть, когда график функции у= f(х) располагается над осью Ох, определённый интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции.
Если же f(х) = 0 при
а £ х £ в, то есть если кривая располагается под осью Ох, то сумма
åf(a
i)Dхi
равна сумме площадей криволинейной трапеции аАВв, взятой со знаком минус (рис. 4)
Тогда с геометрической точки зрения определённый интеграл от f(х)dхчисленно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной интервалом [а, в] оси Ох(а £х £в), непрерывной кривой у= f(х) и отрезками прямых х= а, х = в, равными f(а) и f(в).
2.10.
Теорема Ньютона–Лейбница.
Пусть функция f непрерывна на [а, в]. тогда она интегрируема на любом отрезке, [а, х], где а £х £в, то есть, для любого х Î[а, в], существует интеграл
F(х) = f(t)dt (V)
Если f(t)³0 "tÎ[а, в], то F(х) = S(х), где S(х) – площадь криволинейной трапеции аАL(х) (рис. 5)
Определение. Функция F определённая соотношением (V) на [а, в] называется интегралом с переменным верхним пределом.
Эта функция непрерывна и дифференцируема на [а, в]. А именно имеет место следующая теорема.
Теорема. (Ньютона–Лейбница)
Производная определённого интеграла от непрерывной на [а, в] функции f, рассматриваемого как функция его верхнего предела, существует и равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования.
F’(х) = ( f(t)dt) = f(х)1, х Î[а, в].
Доказательство: Пусть х Î[а, в], х + DхÎ[а, в]; тогда в силу теоремы 1 пункта 2.12. получим
F(х +D
х) = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt
Найдём соответствующее приращение DF функции F. Используя равенства (V) и теорему 4 пункта 2.12. имеем
DF = F(х +D
х) – F(х) = f(t)dt = f(с)
D
х, где
с Î[х, х +D
х]
Вычислим производную функции (V):
F’(х) = lim = lim = lim f(с)
Если Dх
®
0, то х + Dх
®
0
и с
®
х, так как с Î[х, х+D
х]. Тогда в силу непрерывности f получим
F’(х) = lim f(с) = f(х)
Что и требовалось установить.
Легко вытекает следующее утверждение: всякая непрерывная на [а, в] функция имеет на этом отрезке первообразную при этом одной из первообразных является интеграл (V).
Действительно, пусть функция f непрерывна на [а, в]; тогда она интегрируема на любом на [а, х], где хÎ[а, в], то есть, существует интеграл (V), который и является первообразной функцией для f . Следовательно, неопределённый интеграл от непрерывной на [а, в] функции f можно записать в виде
f(х)dх= f(t)dt + С, хÎ[а, в]
где С – произвольная постоянная.
2.11.
Формула Ньютона–Лейбница.
Теорема. Если Ф – первообразная для непрерывной на [а, в] функции f, то определённый интеграл от функции f вычисляется по формуле
f(х)dх= Ф(в) – Ф(а).
Доказательство: Пусть Ф некоторая первообразная для функции f. В силу предыдущей теоремы функция (V) также является первообразной для функции f. Поскольку две первообразные Ф и F отличаются друг от друга на некоторую постоянную, имеем
f(х)dх= Ф(х) + С (1)
Положим в последнем равенстве х = а. Так как
f(х)dх= 0,
то Ф(а) + С = 0, откуда С = – Ф(а)
Подставляя найденное значение С в соотношение (1), имеем
f(х)dх= Ф(х) – Ф(а).
Полагая в последнем соотношении х = в и обозначая переменную t через х, окончательно получим равенство указанное в теореме.
Формулу Ньютона–Лейбница в сокращённом виде принято записывать так:
f(х)dх= Ф(х)| = Ф(в) – Ф(а)
Примеры.
1)
sin
хdх = – cos х| = – cos 2
p
+ cos 0 = 0.
2)
= ln |x + x2+1| = ln (1+Ö2) – ln 1 = ln (1+Ö2)
2.12.Замены переменных в определённых интегралах.
Пусть требуется в определённом интеграле
f(х)dх
применить подстановку х = j(t). Тогда имеет место следующая формула замены переменных в определённом интеграле:
f(х)dх= f [j(t)]j’(t)dt,
где j(a) = а, j(b) = в.
Эту формулу мы докажем при условиях:
1. Функции j(t) и j’(t) непрерывны в [a, b].
2. Функция f(х) определена и непрерывна для всех значений, которые функция х= j(t) принимает в [a, b].
3. j(a) = а, j(b) = в.
4. Доказательство: Обозначим через М и тнаибольшее и наименьшее значения функции х= j(t) в [a, b]. Пусть
F(х) = f(х)dх, т £х £М.
По теореме о подстановке в неопределённых интегралах для всех t из [a, b] справедливо равенство
F[j(t)] = f[j(t)]j’(t)dt.
Отсюда f[j(t)]j’(t)dt = F[j(b)] – F[j(a)] = F(в) – F(а)
Так как f(х)dх= F(в) – F(а)
то из сравнения последних двух равенств получим доказываемую формулу.
Пример. Вычислить интеграл
J = х 1+х2dх
Подставим 1+х2 = t, то есть, х = t2 –1 . Имеем: t= 1, при х=0, t = Ö2, при х= 1. Так как d
х= tdt/ t2 –1, то
J = t2dt = t3/3| = (2Ö2 – 1)/3.
2.13.Интегрирование по частям.
Пусть функции f(х) и j(х) непрерывны вместе со своими производными в интервале [а, в]. Пусть, далее,
F(х) = f(х) j(х).
Тогда F’(х) = f(х) j’(х) f’(х) j(х).
Так как F’(х)dх= F(х)| ,
то [f(х) j’(х) f’(х) j(х)]dх= f(х) j(х)| ,
откуда f(х) j’(х)dх= f(х) j(х)| – f’(х) j(х)dх
Примеры.
1) Вычислить интеграл.
х cos х dх
Положив f(х) = х, j(х) = sin х получим:
х cos х dх = х sin х| – sin х dх = –2
2) Вычислить интеграл
ln х dх.
Положив f(х) = ln х, j(х) = х получим:
ln
х dх = [х ln х] – х(dх/х) =
= [х ln х] – [х] = 2 ln2 – 1 = ln4 – 1
3. Исторические сведения о возникновении и развитии основных понятий.
В математике XVII в. самым большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших сотрудников и учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований, быстро изменивших всё лицо математики и поднявших её роль в системе естественно научных знаний человечества.
Однако появление анализа бесконечно малых не было делом рук одного или нескольких учёных, их гениальной догадки. Оно в действительности было завершением длительного процесса, внутриматематическая сущность которого состояла в накоплении и выделении элементов дифференциального и интегрального исчисления и теории рядов.
Для создания исчисления бесконечно малых внутри математики XVII в. сложились достаточные предпосылки. Это были: наличие сложившейся алгебры и вычислительной техники; введение в математику переменной величины и координатного метода; усвоение инфинитезимальных идей древних, особенно Архимеда; накопление методов решения задач на вычисление квадратур, кубатур, определение центров тяжести, нахождение касательных, экстремалей и т.д.
3.1. Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы Архимеда.
Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей и объёмы произвольных тем. Предыстория интегрального исчисления восходит к глубокой древности. Идея интегрального исчисления была древними учёными предвосхищена в большей мере, чем идея дифференциального исчисления.
Следует особо упомянуть об одном интегральном методе Архимеда, примененном в следующих его произведениях:
«О шаре и цилиндре», «О спиралях» и «О коноидах и сфероидах». В последнем произведении рассмотрены объёмы сегментов, получаемых при сечении плоскостью тел, образованных вращением вокруг оси эллипса, параболы или гиперболы.
В терминологии Архимеда «прямоугольный коноид» – это параболоид вращения, «тупоугольный коноид» – одна полость двуполостного гиперболоида вращения, «сфероид» – элипсоид вращения.
В XIX предложении своего произведения «О коноидах и сфероидах» Архимед доказывает следующую лемму: «Если дан сегмент какого–нибудь из коноидов, отсечённый перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого–нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно также отсечённый, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него другую, состоящих из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, что описанная фигура больше вписанной на величину, меньшую любой наперёд заданной телесной величины.»
Эта лемма является ярким примером метода интегральных сумм, существо которого состоит в следующем: тело вращения разбивается на части и каждая часть аппроксимируется описанным и вписанным телами, объёмы которых можно вычислить. Сумма объёмов описанных тел будет больше, а сумма вписанных тел – меньше объёма тела вращения. Теперь остаётся выбрать аппроксимирующее сверху и снизу тела таким образом, чтобы разность их объёмов могла быть сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве указанных тел соответствующих цилиндриков.
Архимед фактически вводит понятие интегральных сумм, верхних Vп и нижних vпи находит объём V полуэллипсоида, как общий предел этих сумм при п®¥. Так же он определяет объём сегментов параболоида и гиперболоида вращения. Выражаясь современным языком Архимед определил интегралы:
хdх = а2/2, х2dх= а3/3, (х2 + вх)dх= а3/3 + а2в/2
В своём произведении «О шаре и цилиндре» он определил интегралы:
1/2 sin jdj= 1, sin jdj= – cos a+ 1.
Конечно у Архимеда нет ещё общих понятий предела и интеграла, нет и общего алгоритма интегрального исчисления. Приведённые и другие его выкладки всегда связаны с решением конкретных геометрических задач без указаний на то, что в основе всех их лежит один и тот же общий приём арифметического суммирования сколь угодно малых частей фигуры. Несмотря на то, что квадратура параболы и кубатура сфероида сводятся к определению одного и того же интеграла, Архимед пользовался для решения этих задач различными методами.
В виде примера метода интегральных сумм приведём решение Архимедом задачи вычисления объёма эллипсоида вращения в сочинении «О коноидах и сфероидах».
Итак, дано тело вращения АВС и телесная (объёмная) величина Е>0. Делим ВО на правных частей и строим описанные и вписанные цилиндры, суммы объёмов которых, соответственно обозначим, Vonи Vвn
. Их разность равна объёму цилиндрика АА1, то есть, pа2(в/п), который подбором достаточно большего п может быть сделан сколь угодно малым.
Теперь предположим, что на данном рисунке изображён сегмент эллипсоида вращения и поставлена задача вычислить его объём. В таком случае
Vоп = ph
а2+ ph(
х
1
)2 + ph(
х
2
)2 +ph(
х
п-1
)2 =
= phå(
х
k
)2, (
х
0 = 0)
Задача сведена к суммированию квадратов чисел. Далее Архимед производит геометрические преобразования, эквивалентные следующим аналитическим преобразованиям:
Так как х2/а2 + у2/в2 = 1, то х2= а2/в2(в2 –у2) и далее каждого сечения: (х1)2 = а2/в2(в2 –h2),
(х2)2 = а2/в2(в2 –(2h)2),
…………………………,
(хп-1)2 = а2/в2(в2 –[(п–1)h]2),
откуда Vоп = åph(
х
k
)2= (ph
а2)/в2[пв2 –h2åJ2], где
J– последовательные натуральные числа. Для нахождение сумм квадратов последних Архимед применил геометрические оценки вида (п3h2)/3 h)2п+1)3h3)/3
откуда (так как пh = в)
(в3)/3 h)2h в3/3 + в3/п + в3/п2 +в3/3п3
что до известной степени эквивалентно оценке для òх2dх
из этих оценок получается
Vоп = p(а2/в2)h [пв2 – h2(п3/3)] = pа2в(1–1/3) = 2/3pа2в
Аналогично Vвпа2в.
Но так как согласно лемме, Vоп – VвпЕ, то искомый объём сегмента
V а2в,
то есть, равен удвоенному объёму конуса с тем же основанием и высотой, что и сегмент.
Единственность предела доказывается, как и во всех других случаях, приведением к противоречию.
Приведённый пример показывает, что в античной математике сложился ряд элементов определённого интегрирования, в первую очередь построение верхних и нижних интегральных сумм, аналогичных до известной степени суммам Дарбу.
продолжение
--PAGE_BREAK--