Пермская муниципальная гимназия №1.
Рефератна тему
“Отношение сознания к материи:
математикаи объективная реальность.”
Исполнитель
БалакиревДаниил.
Научный руководитель
Калинина Ольга Леонидовна.
Пермь
2002г.
Содержание
1. Введение… 3
2. Экскурс в историю… 5
1.1. Греческая философия и ее математика… 5
1.2. Возрождение. Философские предпосылкиобоснования исчисления бесконечно малых 8
1.3. Неевклидовы геометрии и развитие философииматематики в XIX в.… … 9
1.4. Математика в XX в.… 12
3. Философия и математика… 13
4. Заключение… 19
5. Список литературы… 20
Введение
Роль математики в современной науке постоянно возрастает.Это связано с тем, что, во-первых, без математического описания целого рядаявлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание иосвоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических и некоторыхдругих наук предполагает широкое использование математического аппарата. Болеетого, без разработки и использования последнего было бы, например, невозможнони освоение космоса, ни создание электронно-вычислительных машин, нашедшихприменение в самых различных областях человеческой деятельности.
Есть и другая сторона данного вопроса. Математика — чрезвычайно своеобразная наука, философский анализ целого ряда положенийкоторой весьма сложен. И хотя особенности математического знания были предметомпристального внимания выдающихся философов и математиков всех времен и народов,многие методологические проблемы математики остаются недостаточноразработанными, что в свою очередь тормозит развитие как «чистой» и прикладнойматематики, так и других отраслей науки, в том числе философии.
Философия в сфере математики способствует выработкеадекватного понимания математического знания, решению естественно возникающихвопросов о предмете и методах математики, специфике ее понятий. Действительнофилософское понимание математики может предстать только как сумма выводов,сумма определений, полученных на основе анализа различных ее сторон. Правильноепонимание математики не может быть получено умозрительно или путем простогосравнения случаев, которые подходят под известное интуитивное представление, иподыскания затем некоторых объединяющих их признаков. Такой метод необходим дляпредварительного понимания любого предмета, но сам по себе он недостаточен.
Математики много раз иеняли представление о своей науке иделали это каждой раз под давлением определенных фактов, которые заставляли ихотказаться от устоявшихся привычных воззрений. Другими словами, современное понимание математики не может бытьсформулировано как простое собрание имеющихся интуитивных представлений об этойнауке, не может быть взято непосредственно из знакомства с теми или другимиматематическими теориями, то есть только на основе здравого смысла математика.Оно требует исследования истории математики, необходимо прибегнуть кисследованиям ее структуры, функции, отношения к другим наукам.
Экскурс в историю
1.1.Греческаяфилософия и ее математика
Первой философской теорией математики был пифагореизм,который рассматривал математическое знание как необходимую основу всякогодругого знания и как наиболее истинную ее часть. Как философское течениепифагореизм выходит за рамки собственно философии математики, но в центре еготем не менее лежит определенное истолкование сути математического знания.
Истоки математики уходят в глубокую древность, к Египту иВавилону. Большинство историков науки относят, однако, появление математики кактеоретической дисциплины к более бозднему периоду, а именно к греческомупериоду ее развития, так как ни в египетской, ни в вавилонской математике,несмотря на наличие там довольно сложных и точных результатов, не найленокакго-либо следа собственно математического, дедуктивного рассуждения, то естьвывода одних формул и правил на основе других или иначе — математическогодоказательства в обычном смысле этого слова.
Громадный сдвиг, осуществленный в греческой математике,заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательствопервых геометрических теорем приписывается выдающемуся греческому философуФалесу из Милета, который жио между 625 — 547 гг. до н.э. Если верно, чтодедуктивный метод в математику был внесен Фалесом, то надо сказать, чтоматематика в Греции, начиная с этого момента, развивалась чрезвычайно быстрымитемпами, и прежде всего в плане логической систематизации. В результатематематика оформилась как особая наука, она нашла свой специфический метод — метод дедуктивного доказательства, который определяет ее развитие до настоящеговремени.
Появление математики как систематической науки оказало всвою очередь громадное влияние на философское мышление, которое оказалось в определенном смысле подчиненном математике.Это и естественно. Познание того времени было несколько ограниченныммифологическим и антропоморфным объяснением природы. На фоне разного роданеустойчивых представлений, которые так же трудно доказать, как и опровергнуть,где реальное смешалось с фантастическим, математика появилась как знаниесовершенно особой природы, достоверность которого не вызывает никакогосомнения, посылки которого ясны, а выводы совершенно непреложны.
Неудивительно, что в математике греки увидели не простопрактически полежное средство, но, прежде всего, выражение глубинной сущностимира, нечто связанное с истинной и неизменной природой вещей. Оникосмологизировали и мистифицировали математику, сделав ее исходным пунктом всвоих подходах к описанию действительности. Эта мистификация математики нашласвое выражение в философском учении Пифагора и его последователей. Основнойтезис пифагореизма состоит в том, что «все есть число». Смысл этого утвержденияне сводится к тому естественному истолкованию, под которым подписался бы исовременный ученый, что всюду могут быть обнаружены количественные связи и чтовсякая закономерность может быть выражена посредством неких математическихсоотношений. Греческая философия того времени ориентировалась на отысканиепервоосновы мира, начала, из которого можно было бы объяснить всепроисходящее. Для пифагорейцев именночисла играли роль начала, роль исходных сущностей, определяющих некоторымобразом видимые явления и процессы. Чувственно воспринимаемые вещи сталиистолковываться в своей структуре лишь как подражание числам, свойства их сталирассматриваться в соответствии со свойствами того или иного числа или числовогосоотношения, как проявление числовой гармонии.
Греки заметили, что арифметические действия обладаютособой очевидностью, безусловной необходимостью, принудительной для разума,которой не обладают никакие утверждения о реальных событиях и фактах. Этообстоятельство было истолковано как проявление особого отношения чисел кистине. Философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел и геометрическихфигур, убеждение в истинности тиго или иного утверждения о мире достигалосьсведением его к числовой гармонии.
Что касается природы самой математической закономерности,истоков ее безусловной истинности, то ранние пифагорейцы скорее всего незадумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже некоторуютеорию на этот счет. Математические истины для Платона врождены, онипредставляют собой впечатления об истине самой по себ, которые душа получила,пребывая в более совершенном мире, мире идей. Математическое познание естьпоэтому просто припоминание, оно требует не опыта, не наблюдения природы, алишь видения разумом.
Наряду с пифпгорейской философией, существовала другая,более реалистическая (с современной точки зрения) философия математики, идущаяот атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможностьгеометричесикх построений в пустоте: геометрические фигуры были для него неумозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими изатомов.
Математический атомизм появился скорее как частнаяэвристическая идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики вцелом. Однако он неяво содержал в себе определенную антитезу пифагореизму. Еслидля пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира вонтологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристикематематические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атомамкак первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому иопределяет свойства математических объектов. Пифагорейцы были правы, возражаяпротив превращения математики в физику, настаивая на чистоте математическогометода, а также и на идеализации бесконечной делтмости геометрических величин.Система евклидовской математики не могла быть построена без такой идеализации.Но математический атомизм тем не менее содержал в зародыше будущую, болееэмпиристскую философию математики, которая неизбежно должна была выйти на сценув связи с ростом влияния естественных наук.
1.2.Возрождение.Философские предпосылки обоснования исчисления бесконечно малых
За тысячу лет, которую мы называем эпохой средневековья,в математике не произошло существенных переворотов, хотя математические илогические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций.Философия математики также стояла на мертвой точке: она не вышла за рамкипифагореизма в его платонической и неоплатонической интерпретации. Только в XIV-XVвв. В Европе началось возрождение творческогоматематического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие двастолетия ознаменовались появлением и развитием совершенно новых математическихидей, которые мы относим сегодня к дифференциальному и интегральномуисчислению. Новые идеи возникли всвязи с потребностями науки, в особенностимеханики и это обстоятельство предопределило появление принципиально новойфилософии математики. Математика стала рассматриваться не как врожденное иабсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытное, зависящее в своейструктуре от некоторых внешних реальностей. Эта философская установкапроепределила в свою очередь конкретное методологическое мышление, яркопроявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений.
Основным понятием теории математика и философа Лейбницабыло понятие дифференциала, или бесконечно малого приращения функции. Пусть мыимеем функцию y=f(x). Если мы увеличим ее аргумент (x) на некоторуювеличину h, то получим приращение функции dy=f(x+h)-f(x). Для Лейбница dy не равно 0, но вместе с тем эта величина столь мала, что, умножив ее на любоеконечное число, мы не получим конечной величины. В основном своем определенииЛейбниц проводил чуждую математике и вообще здравому смыслу идею неархимедовойвеличины.
Противоречивость алгоритмов дифференциального исчисления,несогласие их с представлениями о математической строгости, бало очевидным длябольшинства математиков XVIII в. Между тем само это исчислениенаходило все новые приложения в механике и астрономии, превращаясь вцентральную и наиболее продуктивную часть математического знания. Проблемаобоснования дифференциального исчисления становилась все более актуальной, перерастаяв некоторую проблему века, вызвавшую, по словам Маркса, отклик даже в миренеспециалистов.
Движение математического анализа в XVIIIв. к обоснованию, кажется, можно полностью описать всистеме «теория-приложение», те есть как диалектическое взаимодействие этихдвух моментов. Необходимость вычисления площадей, ограниченных произвольнымикривыми и.т.д. привело к открытию алгоритмов дифференциального исчисления.Приложение этих алгоритмов к новым задачам заставило обобщить и уточнитьисходные понятия и сделать более строгими сами алгоритмы. В конечном итогеанализ сформировался как логически непротиворечивая, относительно замкнутая иполная понятийная система.
1.3.Неевклидовыгеометрии и развитие философии математики в XIX в.
Философские дискуссии в математике XIXв. Были связаны в основном с развитием геометрии, а именно с истолкованиемнеевклидовых геометрий. В области математического анализа также возниклипринципиальные трудности, но они казались легко устранимыми и некоторые из них,действительно, были устранены. Неевклидовы геометрии были фактом совсем другогорода. Вопрос о природе математического знания возник всвязи с ними снова и неменее остро чем в предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчислениябесконечно малых.
11 февраля 1826 г. Профессор Казанского университета Н.И.Лобачевский представил ученому совету физико-математического факультета докладс изложением основ геометрии. Главная идея его состояла в том, что аксиомаЕвклида о параллельных прямых независима от других аксиом евклидовой геометрии(невыводима из них) и, следовательно, возможно построить другую геометрию,столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовой геометриизаменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. В последующиегоды Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии и указал ряд ееприложений в области математического анализа.
Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего втом, что их построение и доказательство непротиворечивости представляет собойокончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в течениедвух тысячелетий. Но не только этому математическому значению неевклидовыгеометрии обязаны своей известностью. Они явились не только крупным событием вразвитии математики XIX в., но вместе с тем фактом,противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природематематического знания. Открытия Лобачевского привело математиков к коренномупересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в системе знания, ометодах построения и обоснования математических теорий. Можно сказать безпреувеличения, что современное понимание математики выросло из попытокосмыслить факт неевклидовых геометрий.
В начале XIX в. вистолковании математики имели влияние два направления: эмпиризм и априоризм.
Платон в свое время различал арифметику и геометрию всоответствии с природой их понятий. Числа для Платона относятся к миру идей, вто время как геометрические объекты являются идеальными только наполовину, таккак они связаны с чувственными образами и поэтому занимают промежуточноеположение между миром идей и реальным миром. Аналогичное различение арифметикии геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты арифметики (особенно это касается иррациональных и мнимыхчисел) рассматриваются как мысленные образования, как сфера, где мы можемопираться исключительно на логику, то геометрические понятия неразрывносвязываются с опытными представлениями. Большинством математиков первойполовины XIXв. геометрия понимается чистоэмпирически как наука о реальном пространстве.
Противоположное, рационалистическое воззрение нагеометрию и математику в целом, которому суждено было сыграть исключительнобольшую роль в дискуссиях о природе неевклидовых геометрий, было развито вконце XVIIIв. выдающимся немецким философомИ. Кантом. Согласно Канту, понятия геометрии и арифметики не являютсяотражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлеченыпосредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого илиаприорного созерцания, присущего человеку наряду с эмпирическим. Существуют двеформы чистого созерцания — пространство и время. Пространство и время — необходимые внутренние представления, которые даны человеку даже при абстрагированииот всего эмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная впонятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком жеотношении к чистому представлению времени. Геометрические и арифметическиесуждения не эмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, новместе с тем они и не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являютсяправила логики, поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и неэмпирической. Математика таким образом может быть определена как системасинтетических суждений, выражающая структуру априорных форм чувственности.Как система выводов и доказательств математика должна быть полностьюинткитивно ясной: по Канту, все математические доказательства «постоянноследуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза»
В теоретическом плане априориз представляет резкуюоппозицию эмпиризму. Однако значение этого расхождения не следуетпреувеличивать. В методологических тербованиях к математике рационалистыпрактически сходились с эмпиристами, так как оин также требовали отматематических аксиом очевидности, наглядности, интуитивной ясности, хотятеперь уже от имени априорной чувственности. Синтез геометрических аксиомпосредством чистой интуиции пространства трудно отличить в практическойплоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел илимеханических движений в пространстве.
Таким образом, в начале XIXв. мы видим наличие двух диаметрально противоположных воззрений насущность математики и вместе с тем определенное единство в методологическихтребованиях: от математических истин требовали не только их строгойдоказуемости, но еще и обязательной наглядности, непосредственной данностисознанию, интуитивной ясности того или иного рода.
Возвращаясь к неевклидовым геометриям, нужно отметить,что хотя открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являютсявкладом в философию, одноко существуют открытия, которые влекут за собойизменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другиминауками. Неевклидовы геометрии — пример одного из таких открытий, чрезвычайноредких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам вматематике, имевшим философское значение, можно отнести только три события, аименно появления самой идеи математики как дедуктивной науки, открытиенесоизмеримых величин и открытие дифференциального исчисления.
1.4.Математикав XX в.
Факты, требующие перестройки представления о сущностиматематики как науки, по своему характеру могут быть самыми разными. Такимифактами могут быть отдельные теоремы, новые математические теории, новыеявления в прикладной математике и т. д. История показывает, что на каждомконкретном этапе философия математики вращается вокруг какого-то определенногокруга событий в математике, в какой-то мере, может быть, даже абсолютизируя егои преувеличивая его значимость. Для философии математики XXв. таким математическим базисом являются основанияматематики, попытки математиков устранить противоречия из теории множеств, а вобщем плане — найти средства, гарантирующие надежность математическихрассуждений.
Философия и математика
Подобно тому как основным вопросом философии являетсявопрос об отношении сознания к материи, стержневым вопросом философииматематики является вопрос об отношении понятий математики к объективнойреальности, другими словами, вопрос о реальном содержании математическогознания. От того, как решает этот фундаментальный вопрос тот или иной ученый,зависит характер освещения им всех остальных методологических проблемматематики, а также то, к какому философскому лагерю он примыкает.
Прежде чем перейти к освещению вопроса о месте математикив системе науки, необходимо предварительно выявить хотя бы в общих чертахобъем, содержание и соотношение таких понятий, как философия, обычные науки,специальные науки, частные науки.
Под обычными науками мы понимаем все науки, заисключением математики, которая является необычной наукой. Термин специальныенауки обозначает все науки, вкючая математику, но исключая, разумеется,философию. Частные же науки — это те науки, которые изучают обхекты в рамкахкакой-либо одной формы движения материи (или даже части ее) — физика, химия,биология, и т. д. Стало быть, частные науки — это специальные науки за вычетом математики.
Таким образом, математику, как и философию можно отнестик всеобщим наукам. В самом деле, она считаеся всеобщей и абстрактной наукой,поскольку математический аппарат в принципе может использоваться и практическииспользуется во всех без исключения областях знания. Возникает вопрос — в чемже существенной различие между философией и математикой, изчающими одну и ту жереальную действительность?
Самый общий ответ на него, заключается в том, чтофилософия и математика используют разные способы описания объективнойдействительности и соответствующие им языки: в первом случае мы имеем дело сестественным, а во втором случае — с искусственным языком, предполагающимформально-логический метод описания действительности.
Как известно, философия изучает все явлениядействительности под углом всеобщих закономерностей и дает, по существу,универсальный метод познания и преобразования природного и социальногоокружения. При этом философия изучает и количественную (внешнюю), икачественную стороны объектов, анализируя их прежде всего в плане наиболееобщих принципов, законов и категорий.
Иное дело математика. Ее задача состоит в описании тогоили иного процесса с помощью какого-либо математичекого аппарата, то естьформально-логическим способом. Но на основании этого утверждения нельзя делатьвывод о том, что математика в отличие от философии отображает лишьколичественную сторону объектов предметного мира. Нельзя потому, что лишь висходных понятиях математики воспроизводится чисто внешняя (количество вшироком, философском смысле) сторона этих объектов. Развитая же математическаятеория выражает не только внешнюю, чисто количественную сторону предметовреального мира, но и в значительной степени их внутреннюю, качественнуюсторону.
Итак, раздел между философией и математикой проходит непо линии категорий форма и содержание, качество и количество или каких-то иныхкатегорий философии. Различие между этими двумя способами описаниядействительности заключается в ином — в методе и языке описания процессоввнешного мира, в том, что математика в любом случае предполагает формализацию вшироком смысле слова, формальный способ описания изучаемых явлений. Языкматематики — это формализованный язык, со всеми его недостатками идостоинствами.
Но если дело обстоит так, то математический метод долженбыть охарактеризован как вспомогательный способ теоретического описаниядействительности. В общем и целом так оно и есть. Однако математика иногдавернее и глубже отображает реальность, чем это делается в рамках обычных наук.Больше того, имеют место случаи, когда эвристическая модель математикиоказывается решающей в познании тех или иных процессов, поскольку их изучениена вербальном уровне по некоторым причинам затруднено, а иногда практическидаже невозможно.
Итак, несмотря на одинаково всеобщий характер, философияи математика выполняют различную функцию в познании. При этом философия меньшеотличается от частных наук, чем математика, последняя занимает особоеположение, иначе «вплетена» в ткань науки, чем философия и любая другая наука.
Поподробнее обратимся к функциям математики и философии.
Мировоззренческая функция философии обусловлена тем, чтоона является основой научной картины мира, в создание которой свой посильныйвклад вносит, конечно, каждая специальная наука. Являясь итогомобщественно-исторической практики и познания, философия в этом смысле выступаетв качестве фундамента всего здания науки. Кроме того, философия как системадисциплин обусловливает формирование у человека необходимых ценностныхориентаций, имеет огромное воспитательное значение, являясь не только наукой,но и особой формой общественного сознания — идеологией.
Философия является не только основой мировоззрения, но ивсеобщим методом познания. Отсюда методологическая функция философии. Подобнотому как в системе наук философия выполняет рольстрежня всего знания, онаявляется и всеобщим методом познания и преобразования действительности: системенаук и их субординации соответствует, таким образом, система и субординацияметодов.
Философия выполняет по отношению ко всем частным наукамтакже теоретико-познавательную функцию. Это очевидно уже потому, что теорияпознания является одной из относительно самостоятельных дисциплин, в которойизучаются формы и методы научного познания, структура и уровни его, критерийистины.
Наконец философия в целом, материалистическая диалектикав особенности, выполняет по отношению ко всем остальным наукам логическуюфункцию. Ни один специалист не может успешно вести исследования, обобщать иобъяснять полученные результаты, не используя философских понятий ипредставлений.
Таким образом, философские принципы имеют огромноеметодологическое значение, обладают большой эвристичекой силой, даютвозможность более интенсивно развивать специальные науки.
Говоря о предмете и функциях математики, очевидно, что всовременной науке все более ощутимой становится интегрирующая роль математики,поскольку она, как и философия, является всеобщей научной дисциплиной.Сравнивая ее с философией, необходимо четко определить предмет математическогознания. Дефиниция той или иной науки, конечно, не содержит исчерпывающейхарактеристики этой науки. Ф.Энгельс определял математику как науку,занимающуюся изучением пространственных форм и количественных отношенийреальной действительности. Однако современные, наиболее развитые математическиетеории непосредственно имеют дело уже с так называемыми абстрактнымиструктурами, так что современная математика чаще всего определяется как наука очистых, абстрактных структурах.
Отметим еще одну особенность математики. Обычно предметнауки отличают от ее обхекта. В случае математики отличие объекта от предметавыглядит не так, как во всех иных науках, если иметь ввиду, что под предметомнауки обычно понимают определенную сферу деятельности, совокупность, системутех закономерностей, которые изучаются ею. Математика, строго говоря, неизучает законов развития природной или социальной среды, их изучают обычныенауки. В самом деле, всеобщие законы окружающей нас действительности изучаетфилософия, а частные — остальные (частные) науки. Математике же в этомотношении, что называется не повезло. Она не является частной наукой в обычномпонимании этого слова; она есть особый способ теоретического описаниядействительности. В этом отношении она больше, чем обычная наука, ибо впринципе она может описывать любое явление окружающего нас мира и представляетсобой целую совокупность дисциплин. (Философия — тоже нечто большее, чем наука,но в ином смысле: она является и наукой, и особой формой общественногосознания, содержащей в себе элементы идеологического характера).
Уяснение предмета математики позволяет понять в общихчертах как она соотносится не только с философией, о чем говорилось выше, но ис частными науками, изучающими отдельные фрагменты природного и социальногоокружения, равно как и идеальных по своей природе психических процессов.
Поскольку математика представляет по своей природевсеобщее и абстрактное знание, она в принципе может и должна использоваться вовсех отраслях науки.
Специфика математического подхода к изучениюдействительности во многом объясняет и особенность критерия истины вматематике.
С критерием истины в частных науках дело обстоит болееили менее просто, особенно если не забывать об относительности практики каккритерия истины. В математике же критерий истины выступает в весьмасвоеобразной форме; мы не можем доказать истинность математическогопредложения, основываясь лишь на практике, сколько бы мы не измеряли углытреугольника, нам не удастся доказать, что сумма внутренних углов треугольникаравняется в точности 180 градусам.
И это объясняется не столько ошибками измерения, котороене может быть идеальным, абсолютно точным, сколько аподиктическим характеромматематических понятий, формально-дедуктивным выводом предложений, теорем математики. Короче говоря, практика являетсяисходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственногокритерия истины предложений математики она обычно не выступает. Только вконечном итоге практика определяет пригодность того или иного математического аппаратак описанию конкретных явлений действительности.
Своеобразие критерия истины в математике выражается и втом, что, как правило, в качестве такого критерия выступает в итоге теорияарифметики натуральных чисел, истины которых являются незыблемыми для каждогоматематика. Впрочем, в какой-то мере это относится ко всем наукам, если иметьввиду наличие в философии (как мировоззренческой и методологической основенауки) принципиальных положений, с которыми должны согласовываться всевыдвигаемые гипотезы.
Необходимо заметить, что использование в качественепосредственного критерия истины арифметики натуральных чисел означает, чтоэтот критерий органически связан с двумя другими требованиями — точностью инепротиворечивостью. Удовлетворени этим двум критериям — тоже необходимоеусловие истинности математических построений.
Итак математика — своеобразный способ теоретическогоописания действительности, область знания, имеющая свой особый статус в системенаукю Предметом математического описания может стать любой процессдействительности, а объектями этой области знания являются пространственныеформы и количественные отношения реальной действительности, в общем случае — абстрактные «математические» структуры.
Заключение
Математика — своеобразный способ теоретического описаниядействительности, область знания, имеющая свой особый статус в системе наук.
Математика является наукой, стоящей как бы отдельно отвсех других наук и в этом смысле она похожа с философией. Всеобщность этих двухнаук, их взаимопроникновение друг в друга и взаимоиспользование ведет кразвитию общества и все остальных, так называемых специальных наук. Подобнотому как философия развивалась, обретала новые направления и идей, так иматематика становилась все более развитой и всеобщей наукой.
Список литературы
Е.А.Беляев, В.Я.Перминов «Философские и методологические проблемыматематики», МГУ, 1981, — 214 с.
Сборник научных трудов «Гносеологическийанализ математической науки», Киев Наукова думка, 1985, -130 с.
Е.Д.Гражданников «Экстраполяционнаяпрогностика», Новосибирск, 1988, -142 с.
Н.И.Жуков «Философские проблемыматематики», Минск, 1977, -95 с.
А.Г.Спиркин «Основы философии», Москва,1988, 592 с.