Реферат по дисциплине:
«Математика»
на тему: «Основные этапы становленияи структура современной математики»
Выполнила:студентка 1 курса
Заочногоотделения
группыПБ-1Во
Проверил:
г. Москва 2006 г.
План:
Введение
Геометрия Евклида, какпервая естественнонаучная теория
Основные этапыстановления современной математики. Структура современной математики
Основные чертыматематического мышления
Аксиоматический метод
Принципы аксиоматическогопостроения научных теорий
Математическиедоказательства
Использованная литература
геометрия математика аксиометрический
Введение
Математика – этонаука о количественных отношениях и пространственных формах действительногомира. В неразрывной связи с запросами науки и техники запас количественныхотношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывнорасширяется, так что приведенное определение необходимо понимать в самом общемсмысле.
Целью изучения математикиявляется повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научногомировоззрения.
Пониманиесамостоятельного положения математики как особой науки стало возможным посленакопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые вДревней Греции в VI-V веках до нашей эры. Это было началомпериода элементарной математики.
В течение этого периодаматематические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасомосновных понятий, возникших с самыми простыми запросами хозяйственной жизни.Вместе с тем, уже происходит качественное совершенствование математики какнауки.
Современную математикучасто сравнивают с большим городом. Это — прекрасное сравнение, поскольку вматематике, как и в большом городе, происходит непрерывный процесс роста исовершенствования. В математике возникают новые области, строятся изящные иглубокие новые теории подобно строительству новых кварталов и зданий. Нопрогресс математики не сводится только к изменению лица города из-застроительства нового. Приходится изменять и старое. Старые теории включаются вновые, более общие; возникает необходимость укрепления фундаментов старыхпостроек. Приходится прокладывать новые улицы, чтобы устанавливать связи междудалекими кварталами математического города. Но этого мало — архитектурноеоформление требует значительных усилий, поскольку разностильность различныхобластей математики не только портит общее впечатление от науки, но и мешаетпониманию науки в целом, установлению связей между различными ее частями.
Нередко используется идругое сравнение: математику уподобляют большому ветвистому дереву, которое,систематически дает новые побеги. Каждая ветвь дерева — это та или иная областьматематики. Число ветвей не остается неизменным, поскольку вырастают новыеветви, срастаются воедино сначала росшие раздельно, некоторые из ветвейзасыхают, лишенные питательных соков. Оба сравнения удачны и очень хорошопередают действительное положение дела.
Несомненно, что впостроении математических теорий большую роль играет требование красоты. Самособой разумеется, что ощущение красоты весьма субъективно и нередко встречаютсядостаточно уродливые представления на этот счет. И все же приходится удивлятьсятому единодушию, которое вкладывается математиками в понятие «красота»:результат считается красивым, если из малого числа условий удается получитьобщее заключение, относящееся к широкому кругу объектов. Математический выводсчитается красивым, если в нем простыми и короткими рассуждениями удаетсядоказать значительный математический факт. Зрелость математика, его талантугадываются по тому, насколько развито у него чувство красоты. Эстетическизавершенные и математически совершенные результаты легче понять, запомнить ииспользовать; легче выявлять и их взаимоотношения с другими областями знания.
Математика в наше времяпревратилась в научную дисциплину со множеством направлений исследований,огромным количеством результатов и методов. Математика теперь настолько велика,что нет возможности одному человеку охватить ее во всех ее частях, нетвозможности быть в ней специалистом-универсалом. Потеря связей между ее отдельныминаправлениями — безусловно отрицательное следствие бурного развития этой науки.Однако в основе развития всех отраслей математики есть общее — истоки развития,корни древа математики.
Геометрия Евклида какпервая естественнонаучная теория
В III веке до нашей эры вАлександрии появилась книга Евклида с тем же названием, в русском переводе«Начала». От латинского названия «Начал» произошёл термин«элементарная геометрия». Несмотря на то, что сочинения предшественниковЕвклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих сочиненияхпо «Началам» Евклида. В «Началах» имеются разделы,логически весьма мало связанные с другими разделами. Появление их объясняетсятолько тем, что они внесены по традиции и копируют «Начала»предшественников Евклида.
«Начала»Евклида состоят из 13 книг. 1 — 6 книги посвящены планиметрии, 7 — 10 книги — об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощьюциркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.
«Начала»начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом — «общие понятия», остальные называются «постулатами».Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий — с помощью идеального циркуля. Четвёртый, «все прямые углы равны междусобой», является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом.Последний, пятый постулат гласил: «Если прямая падает на две прямые иобразует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, гдеуглы меньше двух прямых».
Пять «общихпонятий» Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей,объёмов: «равные одному и тому же равны между собой», «если кравным прибавить равные, суммы равны между собой», «если от равныхотнять равные, остатки равны между собой», «совмещающиеся друг сдругом равны между собой», «целое больше части».
Далее началась критикагеометрии Евклида. Критиковали Евклида по трём причинам: за то, что онрассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить спомощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и арифметику идоказывал для целых чисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец,за аксиомы Евклида. Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложныйпостулат Евклида. Многие считали его лишним, и что его можно и нужно вывести издругих аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым инаглядным, равносильным ему: «Через точку вне прямой можно провести в ихплоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую».
Критика разрыва междугеометрией и арифметикой привела к расширению понятия числа до действительногочисла. Споры о пятом постулате привели к тому, что в начале XIX векаН.И.Лобачевский, Я.Бойяи и К.Ф.Гаусс построили новую геометрию, в которойвыполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Онбыл заменён противоположным утверждением: «В плоскости через точку внепрямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную». Этагеометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида.
Модель планиметрииЛобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математикомАнри Пуанкаре в 1882 году.
На евклидовой плоскостипроведём горизонтальную прямую. Эта прямая называется абсолютом (x).Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскостиЛобачевского. Плоскостью Лобачевского называется открытая полуплоскость,лежащая выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре — это дугиокружностей с центром на абсолюте или отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту(AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского — фигура открытойполуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидово движение являетсякомпозицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий,оси которых перпендикулярны абсолюту. Два неевклидовых отрезка равны, если одиниз них неевклидовым движением можно перевести в другой. Таковы основные понятияаксиоматики планиметрии Лобачевского.
Все аксиомы планиметрииЛобачевского непротиворечивы. «Неевклидова прямая — это полуокружность сконцами на абсолюте или луч с началом на абсолюте и перпендикулярныйабсолюту». Таким образом, утверждение аксиомы параллельности Лобачевскоговыполняется не только для некоторой прямой a и точки A, нележащей на этой прямой, но и для любой прямой a и любой не лежащей наней точки A.
За геометриейЛобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии: от евклидовой отделиласьпроективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возниклариманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерениядлин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространствегеометрия за 40 — 50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишьв чём-то сходных со своей прародительницей — геометрией Евклида.
Основные этапыстановления современной математики. Структура современной математики
Академик А.Н.Колмогороввыделяет четыре периода развития математики[1]: зарождения математики,элементарной математики, математики переменных величин, современной математики.
В период развитияэлементарной математики из арифметики постепенно вырастает теория чисел.Создается алгебра как буквенное исчисление. А созданная древними грекамисистема изложения элементарной геометрии – геометрии Евклида – на дватысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математическойтеории.
В XVII веке запросыестествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математическиизучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрическихфигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и созданиедифференциального и интегрального исчисления начинается период математикипеременных величин. Великим открытиям XVII века является введенное Ньютоном иЛейбницем понятие бесконечно малой величины, создание основ анализа бесконечномалых величин (математического анализа).
На первый планвыдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения.Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу,производной, дифференциалу, интегралу.
К этому времени относятсяи появление гениальной идеи Р.Декарта о методе координат. Создаетсяаналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические объектыметодами алгебры и анализа. С другой стороны метод координат открыл возможностьгеометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.
Дальнейшее развитиематематики привело в начале ХIX века к постановке задачи изучения возможныхтипов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точкизрения.
Связь математики иестествознания приобретает все более сложные формы. Возникают новые теории ивозникают они не только в результате запросов естествознания и техники, но и врезультате внутренней потребности математики. Замечательным примером такойтеории является воображаемая геометрия Н.И.Лобачевского. Развитие математики вXIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитиесамой математики, математизация различных областей науки, проникновениематематических методов во многие сферы практической деятельности, прогрессвычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин,например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.
Основными методами вматематических исследованиях являются математические доказательства — строгиелогические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическимрассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа еерешения необходима математическая интуиция.
В математике изучаютсяматематические модели объектов. Одна и та же математическая модель можетописывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тожедифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распадрадиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемыхобъектов, а существующие между ними отношения.
В математике используютдва вида умозаключений: дедукция и индукция.
Индукция – методисследования, в котором общий вывод строится на основе частных посылок.
Дедукция – способрассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частногохарактера.
Математика играет важнуюроль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях.Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том,что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающейдействительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей,предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитыми логическими вычислительным аппаратами был бы невозможен прогресс в различных областяхчеловеческой деятельности.
Математика является нетолько мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки,но также и элементом общей культуры.
Основные чертыматематического мышления
По данному вопросу особыйинтерес представляет характеристика математического мышления, данная А.Я.Хинчиным,а точнее, его конкретно-исторической формы — стиля математического мышления.Раскрывая сущность стиля математического мышления, он выделяет четыре общие длявсех эпох черты, заметно отличающие этот стиль от стилей мышления в другихнауках.
Во-первых, для математикахарактерна доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения.Математик, потерявший, хотя бы временно, из виду эту схему, вообще лишаетсявозможности научно мыслить. Эта своеобразная черта стиля математическогомышления имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в максимальной степенипозволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок; сдругой стороны, она заставляет мыслящего при анализе иметь перед глазами всюсовокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, непропуская ни одной (такого рода пропуски вполне возможны и фактически часто наблюдаютсяпри других стилях мышления).
Во-вторых, лаконизм,т.е. сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к данной целилогический путь, беспощадное отбрасывание всего, что абсолютно необходимо длябезупречной полноценности аргументации. Математическое сочинение хорошего стиля,не терпит никакой “воды”, никаких украшающих, ослабляющих логическое напряжениеразглагольствований, отвлечений в сторону; предельная скупость, суроваястрогость мысли и ее изложения составляют неотъемлемую черту математическогомышления. Черта эта имеет большую ценность не только для математического, но идля любого другого серьезного рассуждения. Лаконизм, стремление не допускатьничего излишнего, помогает и самому мыслящему, и его читателю или слушателюполностью сосредоточиться на данном ходе мыслей, не отвлекаясь побочнымипредставлениями и не теряя непосредственного контакта с основной линиейрассуждения.
Корифеи науки, какправило, мыслят и выражаются лаконично во всех областях знаний, даже тогда,когда мысль их создает и излагает принципиально новые идеи. Какоевеличественное впечатление производит, например, благородная скупость мысли иречи величайших творцов физики: Ньютона, Эйнштейна, Нильса Бора! Может быть,трудно найти более яркий пример того, какое глубокое воздействие может иметь наразвитие науки именно стиль мышления ее творцов.
Для математики лаконизммысли является непререкаемым, канонизированным веками законом. Всякая попыткаобременить изложение не обязательно нужными (пусть даже приятными и увлекательнымидля слушателей) картинами, отвлечениями, разглагольствованиями заранее ставитсяпод законное подозрение и автоматически вызывает критическую настороженность.
В-третьих, четкаярасчлененность хода рассуждений. Если, например, при доказательстве какого-либопредложения мы должны рассмотреть четыре возможных случая, из которых каждыйможет разбиваться на то или другое число подслучаев, то в каждый моментрассуждения математик должен отчетливо помнить, в каком случае и подслучае егомысль сейчас обретается и какие случаи и подслучаи ему еще остаетсярассмотреть. При всякого рода разветвленных перечислениях математик должен вкаждый момент отдавать себе отчет в том, для какого родового понятия онперечисляет составляющие его видовые понятия. В обыденном, не научном мышлениимы весьма часто наблюдаем в таких случаях смешения и перескоки, приводящие кпутанице и ошибкам в рассуждении. Часто бывает, что человек начал перечислятьвиды одного какого-нибудь рода, а потом незаметно для слушателей (а часто и длясамого себя), пользуясь недостаточной логической отчетливостью рассуждения,перескочил в другой род и заканчивает заявлением, что теперь оба родарасклассифицированы; а слушатели или читатели не знают, где пролегает границамежду видами первого и второго рода.
Для того чтобы сделатьтакие смешения и перескоки невозможными, математики издавна широко пользуютсяпростыми внешними приемами нумерации понятий и суждений, иногда (но гораздореже) применяемыми и в других науках. Те возможные случаи или те родовые понятия,которые надлежит рассмотреть в данном рассуждении, заранее перенумеровываются;внутри каждого такого случая те, подлежащие рассмотрению подслучаи, которые онсодержит, также перенумеровываются (иногда, для различения, с помощьюкакой-либо другой системы нумерации). Перед каждым абзацем, где начинаетсярассмотрение нового подслучая, ставится принятое для этого подслучаяобозначение (например: II 3 — это означает, что здесь начинается рассмотрениетретьего подслучая второго случая, или описание третьего вида второго рода,если речь идет о классификации). И читатель знает, что до тех пор, покуда он ненатолкнется на новую числовую рубрику, всё излагаемое относится только к этомуслучаю и подслучаю. Само собою, разумеется, что такая нумерация служит лишьвнешним приемом, очень полезным, но отнюдь не обязательным, и что суть дела нев ней, а в той отчетливой расчлененности аргументации или классификации,которую она и стимулирует, и знаменует собою.
В-четвертых, скрупулезнаяточность символики, формул, уравнений. То есть “каждый математический символимеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановкана другое место, как правило, влечет за собою искажение, а подчас и полноеуничтожение смысла данного высказывания”.
Выделив основные чертыматематического стиля мышления, А.Я.Хинчин замечает, что математика (особенноматематика переменных величин) по своей природе имеет диалектический характер,а следовательно, способствует развитию диалектического мышления. Действительно,в процессе математического мышления происходит взаимодействие наглядного(конкретного) и понятийного (абстрактного). “Мы не можем мыслить линии, – писалКант, – не проведя её мысленно, не можем мыслить себе три измерения, не проведя,из одной точки трех перпендикулярных друг к другу линий”.
Взаимодействиеконкретного и абстрактного “вело” математическое мышление к освоению новых иновых понятий и философских категорий. В античной математике (математикепостоянных величин) таковыми были “число” и “пространство”, которыепервоначально нашли отражение в арифметике и евклидовой геометрии, а позже валгебре и различных геометрических системах. Математика переменных величин“базировалась” на понятиях, в которых отражалось движение материи, — “конечное”, “бесконечное”, “непрерывность”, “дискретное”, “бесконечно малая”,“производная” и т.п.
Если говорить осовременном историческом этапе развития математического познания, то он идет врусле дальнейшего освоения философских категорий: теория вероятностей“осваивает” категории возможного и случайного; топология — категории отношенияи непрерывности; теория катастроф — категорию скачка; теория групп — категориисимметрии и гармонии и т.д.
В математическом мышлениивыражены основные закономерности построения сходных по форме логических связей.С его помощью осуществляется переход от единичного (скажем, от определенныхматематических методов – аксиоматического, алгоритмического, конструктивного,теоретико-множественного и других) к особенному и общему, к обобщеннымдедуктивным построениям. Единство методов и предмета математики определяетспецифику математического мышления, позволяет говорить об особом математическомязыке, в котором не только отражается действительность, но и синтезируется,обобщается, прогнозируется научное знание. Могущество и красота математическоймысли — в предельной четкости её логики, изяществе конструкций, искусномпостроении абстракций.
Принципиально новыевозможности мыслительной деятельности открылись с изобретением ЭВМ, с созданиеммашинной математики. В языке математики произошли существенные изменения. Еслиязык классической вычислительной математики состоял из формул алгебры,геометрии и анализа, ориентировался на описание непрерывных процессов природы, изучаемых,прежде всего в механике, астрономии, физике, то современный её язык — это языкалгоритмов и программ, включающий старый язык формул в качестве частногослучая.
Язык современнойвычислительной математики становится все более универсальным, способнымописывать сложные (многопараметрические) системы. Вместе с тем хочетсяподчеркнуть, что каким бы совершенным ни был математический язык, усиленныйэлектронно-вычислительной техникой, он не порывает связей с многообразным“живым”, естественным языком. Мало того, разговорный язык является базой языкаискусственного. В этом отношении представляет интерес недавнее открытие ученых.Речь идет о том, что древний язык индейцев аймара, на котором говорят примерно2,5 миллиона человек в Боливии и Перу, оказался в высшей степени удобным длякомпьютерной техники. Еще в 1610 году итальянский миссионер-иезуит ЛюдовикоБертони, составивший первый словарь аймара, отмечал гениальность егосоздателей, добившихся высокой логической чистоты. В аймара, например, несуществует неправильных глаголов и никаких исключений из немногих четкихграмматических правил. Эти особенности языка аймара позволили боливийскомуматематику Айвану Гусману де Рохас создать систему синхронного компьютерногоперевода с любого из пяти заложенных в программу европейских языков, “мостиком”между которыми служит язык аймара. ЭВМ “Аймара”, созданная боливийским ученым,получила высокую оценку специалистов. Резюмируя эту часть вопроса о сущностиматематического стиля мышления, следует отметить, что его основным содержаниемявляется понимание природы.
Аксиоматический метод/>
Аксиоматика — основной способ построения теории, с древности и до сегодняшнего дняподтверждающий свою универсальность и все применимость.
В основе построенияматематической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теориикладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальныеположения теории получаются, как логические следствия аксиом.
Аксиоматический методпоявился в Древней Греции, и в данное время применяется практически во всехтеоретических науках, а, прежде всего в математике.
Сравниваятри, в известном отношении, дополняющие друг друга геометрии: Евклидову(параболическую), Лобачевского (гиперболическую) и Риманову (эллиптическую),следует отметить, что наряду с некоторыми сходствами имеется большое различиемежду сферической геометрией, с одной стороны, и геометриями Евклида иЛобачевского — с другой.
Коренноеотличие современной геометрии состоит в том, что теперь она охватывает«геометрии» бесконечного множества разных воображаемых пространств.Однако следует отметить, что все эти геометрии являются интерпретациямиевклидовой геометрии и в основе их лежит аксиоматический метод, впервыеиспользованный Евклидом.
На основеисследований получил своё развитие и широкое применение аксиоматический метод.Как частный случай применения этого способа служит метод следов в стереометрии,позволяющий решать задачи на построение сечений в многогранниках и некоторыхдругих позиционных задач.
Аксиоматическийметод, развитый вначале в геометрии, теперь стал важным орудием изучения и вдругих разделах математики, физики и механики. В настоящее время ведутся работыпо усовершенствованию и более глубокому изучению аксиоматического способапостроения теории.
Аксиоматический методпостроения научной теории заключается в выделении основных понятий,формулировке аксиом теорий, а все остальные утверждения выводятся логическимпутём, опираясь на них. Известно, что одно понятие должно разъясняться спомощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-тоизвестных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которыенельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.
Когда мы доказываемутверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются ужедоказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. Вконце концов, мы приходим к не доказываемым утверждениям и принимаем их бездоказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен бытьтаким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.
Выделив основные понятияи сформулировав аксиомы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическимпутём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основныепонятия составляют основания планиметрии.
Так как нельзя датьединое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятиягеометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющиеаксиомам этой геометрии. Таким образом, при аксиоматическом построении геометрическойсистемы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этихаксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мыможем представить основные понятия в виде объектов любой природы, которыеобладают свойствами, указанными в аксиомах.
После формулировки идоказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многихтеорем приписываются Пифагору и Демокриту.
Гиппократу Хиосскомуприписывается составление первого систематического курса геометрии, основанногона определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались«Элементы».
Аксиоматический методпостроения научной теории
Создание дедуктивного илиаксиоматического метода построения науки является одним из величайшихдостижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколенийученых.
Замечательной чертойдедуктивной системы изложения является простота этого построения, позволяющаяописать его в немногих словах.
Дедуктивная системаизложения сводится:
1) к перечислениюосновных понятий,
2) к изложениюопределений,
3) к изложению аксиом,
4) к изложению теорем,
5) к доказательству этихтеорем.
Аксиома – утверждение,принимаемое без доказательств.
Теорема – утверждение,вытекающее из аксиом.
Доказательство –составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, которое показывает,что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теоремили аксиом.
Внутри дедуктивнойсистемы не могут быть решены два вопроса: 1) о смысле основных понятий, 2) обистинности аксиом. Но это не значит, что эти вопросы вообще неразрешимы.
История естествознаниясвидетельствует, что возможность аксиоматического построения той или иной наукипоявляется лишь на довольно высоком уровне развития этой науки, на базебольшого фактического материала, позволяет отчетливо выявить те основные связии соотношения, которые существуют между объектами, изучаемыми данной наукой.
Образцом аксиоматическогопостроения математической науки является элементарная геометрия. Система аксиомгеометрии были изложены Евклидом (около 300 г. до н. э.) в непревзойденном посвоей значимости труде “Начала”. Эта система в основных чертах сохранилась и посей день.
Основные понятия: точка,прямая, плоскость основные образы; лежать между, принадлежать, движение.
Элементарная геометрияимеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. В пятой группе одна аксиома опараллельных (V постулат Евклида): через точку на плоскости можно провеститолько одну прямую, не пересекающую данную прямую. Это единственнаяаксиома, вызывавшая потребность доказательства. Попытки доказать пятый постулатзанимали математиков более 2-х тысячелетий, вплоть до первой половины 19 века,т.е. до того момента, когда Николай Иванович Лобачевский доказал в своих трудахполную безнадежность этих попыток. В настоящее время недоказуемость пятогопостулата является строго доказанным математическим фактом.
Аксиому о параллельныхН.И. Лобачевский заменил аксиомой: Пусть в данной плоскости дана прямая илежащая вне прямой точка. Через эту точку можно провести к данной прямой, покрайней мере, две параллельные прямые.
Из новой системы аксиомН.И. Лобачевский с безупречной логической строгостью вывел стройную системутеорем, составляющих содержание неевклидовой геометрии. Обе геометрии Евклида иЛобачевского, как логические системы равноправны.
Три великих математика в19 веке почти одновременно, независимо друг от друга пришли к одним результатамнедоказуемости пятого постулата и к созданию неевклидовой геометрии.
Николай ИвановичЛобачевский (1792-1856)
Карл Фридрих Гаусс(1777-1855)
Янош Бойяи (1802-1860)
Математическоедоказательство
Основным методом вматематических исследованиях являются математические доказательства – строгие логическиерассуждения. В силу объективной необходимости, указывает член-корреспондент РАНЛ.Д.Кудрявцев[2], логические рассуждения(которые по своей природе, если они правильные, являются и строгими)представляют метод математики, без них математика немыслима. Следует отметить,что математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Дляправильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенныхиз них и для выбора способа ее решения необходима еще математическая интуиция,позволяющая предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен, наметитьпуть исследования с помощью правдоподобных рассуждений. Но справедливостьрассматриваемого факта доказывается не проверкой ее на ряде примеров, непроведением ряда экспериментов (что само по себе играет большую роль вматематических исследованиях), а чисто логическим путем, по законам формальнойлогики.
Считается, чтоматематическое доказательство является истиной в последней инстанции. Решение,которое основано на чистой логике просто не может быть неправильным. Но сразвитием науки и задачи перед математиками ставятся всё более сложные.
“Мы вошли в эпоху, когдаматематический аппарат стал настолько сложным и громоздким, что с первоговзгляда уже нельзя сказать — правдива или нет встреченная задача”, полагаетКейт Девлин из Стенфордского Университета Калифорнии, США. Он приводит в пример“классификацию простых конечных групп”, которую сформулировали еще в 1980 году,а полного точного доказательства не привили до сих пор. Скорее всего, теоремаверна, но совершенно точно об этом говорить нельзя.
Компьютерное решение тоженевозможно назвать точным, ибо такие вычисления всегда имеют погрешность. В 1998году Хейлс предложил решение теоремы Кеплера при помощи компьютера,сформулированной еще в 1611 году. Эта теорема описывает наиболее плотнуюупаковку шаров в пространстве. Доказательство было представлено на 300страницах и содержало в себе 40000 строк машинного кода. 12 рецензентовпроверяли решение в течение года, но стопроцентной уверенности в правильностидоказательства они так и не достигли, и исследование отправили на доработку. Врезультате оно было опубликовано только через четыре года и без полнойсертификации рецензентов.
Все последние вычислениядля прикладных задач производятся на компьютере, но ученые считают, что длябольшей достоверности математические выкладки должны быть представлены безпогрешностей.
Теория доказательстваразработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, чтопредполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий,законов и т.п. соответствующей науки) и демонстрация (сама процедураразвертывания доказательства; последовательная цепь умозаключений, когда n-ноеумозаключение становится одной из посылок n+1-го умозаключения).Выделяются правила доказательства, указаны возможные логические ошибки.
Математическоедоказательство имеет много общего с теми принципами, которые устанавливаютсяформальной логикой. Более того, математические правила рассуждений и операций,очевидно, послужили одной из основ в разработке процедуры доказательства влогике. В частности, исследователи истории становления формальной логикисчитают, что в свое время, когда Аристотель предпринял первые шаги по созданиюзаконов и правил логики, он обратился к математической и к практике юридическойдеятельности. В этих источниках он и находил материал для логических построенийзадуманной теории.
В XX веках понятие доказательстваутратило строгий смысл, что произошло в связи с обнаружением логическихпарадоксов, таившихся в теории множеств и особенно в связи с результатами,которые принесли теоремы К. Геделя о неполноте формализации.
Прежде всего, этокоснулось самой математики, в связи, с чем было высказано убеждение, что термин«доказательство» не имеет точного определения. Но если уж подобноемнение (имеющее место и поныне) затрагивает саму математику, то приходят квыводу, согласно которому доказательство следует принять не влогико-математическом, а в психологическом смысле. При том подобный взглядобнаруживают и у самого Аристотеля, считавшего, что доказать означает провестирассуждение, которое убедило бы нас в такой степени, что, используя его,убеждаем других в правоте чего-либо. Определенный оттенок психологическогоподхода находим у А.Е.Есенина-Вольпина. Он резко выступает против принятияистины без доказательства, связывая это с актом веры, и далее пишет:«Доказательством суждения я называю честный прием, делающий это суждениенеоспоримым». Есенин-Вольпин отдает отчет, что его определение нуждаетсяеще в уточнениях. Вместе с тем, сама характеристика доказательства как«честного приема» не выдает ли апелляцию кнравственно-психологической оценке?
Вместе с тем обнаружениетеоретико-множественных парадоксов и появление теорем Геделя как разсодействовали и разработке теории математического доказательства, предпринятойинтуиционистами, особенно конструктивистского направления, и Д.Гильбертом.
Иногда считают, что математическоедоказательство носит всеобщий характер и представляет идеальный вариантнаучного доказательства. Однако оно — не единственный метод, есть и другиеспособы доказательных процедур и операций. Верно лишь то, что у математическогодоказательства немало сходного с формально-логическим, реализуемом вестествознании, и что математическое доказательство имеет определеннуюспецифику, равно, как и набор приемов-операций. На этом мы и остановимся,опуская то общее, что роднит его с другими формами доказательств, то есть, неразвертывая во всех шагах (даже и основных) алгоритм, правила, ошибки и т.п.процесса доказательства.
Математическоедоказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность(конечно, в математическом, то есть как выводимость, смысле) какого-либоутверждения.
Свод правил, применяемыхв доказательстве, сформировался вместе с появлением аксиоматических построенийматематической теории. Наиболее четко и полно это было реализовано в геометрииЭвклида. Его «Начала» стали своего рода модельным эталономаксиоматической организации математического знания, и долгое время оставалисьтаковыми для математиков.
Высказывания,представляемые в виде определенной последовательности, должны гарантироватьвывод, который при соблюдении правил логического оперирования и считаетсядоказанным. Необходимо подчеркнуть, что определенное рассуждение являетсядоказательством только относительно некоторой аксиоматической системы.
При характеристикематематического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего,то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию.Вся процедура обоснования истинности вывода осуществляется в рамках принимаемойаксиоматики. Академик А.Д.Александров в связи с этим подчеркивает. Можно тысячираз измерять углы треугольника и убедиться, что они равны 2d. Но математикуэтим ничего не докажешь. Ему докажешь, если выведешь приведенное утверждение изаксиом. Повторимся. Здесь математика и близка методам схоластики, которая такжепринципиально отвергает аргументацию опытно данными фактами.
К примеру, когда былаобнаружена несоизмеримость отрезков, при доказательстве этой теоремыисключалось обращение к физическому эксперименту, поскольку, во-первых, самопонятие «несоизмеримость» лишено физического смысла, а, во-вторых,математики и не могли, имея дело с абстракцией, привлекать на помощьвещественно-конкретные протяженности, измеряемы чувственно-наглядным приемом.Несоизмеримость, в частности, стороны и диагонали квадрата, доказывается, опираясьна свойство целых чисел с привлечением теоремы Пифагора о равенстве квадратагипотенузы (соответственно — диагонали) сумме квадратов катетов (двух сторонпрямоугольного треугольника). Или когда Лобачевский искал для своей геометрииподтверждение, обращаясь к результатам астрономических наблюдений, то этоподтверждение осуществлялось им средствами сугубо умозрительного характера. Винтерпретациях неэвклидовой геометрии, проведенных Кэли — Клейном и Бельтрами,также фигурировали типично математические, а не физические объекты.
Вторая особенностьматематического доказательства — его наивысшая абстрактность, которой оноотличается от процедур доказательства в остальных науках. И опять же, как вслучае с понятием математического объекта, речь идет не просто о степениабстракции, а о ее природе. Дело в том, что высокого уровня абстрагированиядоказательство достигает и в ряде других наук, например, в физике, космологиии, конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельныепроблемы бытия и мышления. Математику же отличает то, что здесь функционируютпеременные, смысл которых — в отвлечении от любых конкретных свойств. Напомним,что, по определению, переменные — знаки, которые сами по себе не имеют значенийи обретают последние только при подстановке вместо них имен определенныхпредметов (индивидные переменные) или при указании конкретных свойств иотношений (предикатные переменные), или, наконец, в случаях замены переменнойсодержательным высказыванием (пропозициональная переменная).
Отмеченной особенностью иобусловлен характер крайней абстрактности используемых в математическомдоказательстве знаков, равно, как и утверждений, которые, благодаря включению всвою структуру переменных, превращаются в функции высказывания.
Сама процедура доказательства,определяемая в логике как демонстрация, протекает на основе правил вывода,опираясь на которые осуществляется переход от одних доказанных утверждений кдругим, образуя последовательную цепь умозаключений. Наиболее распространеныдва правила (подстановки и вывода заключений) и теорема о дедукции.
Правило подстановки. Вматематике подстановка определяется как замена каждого из элементов aданного множества каким-либо другим элементом F (a) из того жемножества. В математической логике правило подстановки формулируется следующимобразом. Если истинная формула M в исчислении высказываний содержитбукву, скажем A, то, заменив ее повсюду, где она встречается,произвольной буквой D, мы получим формулу, также истинную, как иисходная. Это возможно, и допустимо потому именно, что в исчислениивысказываний отвлекаются от смысла высказываний (формул)… Учитываются толькозначения «истина» или «ложь». Например, в формуле M:A--> (BUA) на место A подставляем выражение (AUB),в результате получаем новую формулу (AUB) -->[(BU(AUB)].
Правило вывода заключенийсоответствует структуре условно-категорического силлогизма modus ponens (модусутверждающий) в формальной логике. Он имеет следующий вид:
a--> b
a.
b
Дано высказывание (a->b) и еще дано a. Из этого следует b.
К примеру: Если идетдождь, то мостовая мокрая, дождь идет (a), следовательно, мостоваямокрая (b). В математической логике этот силлогизм записывается такимобразом (a-> b)/>a->b.
Умозаключение определяется,как правило, отделения для импликации. Если дана импликация (a-> b) иее антецедент (a), то мы вправе присоединить к рассуждению(доказательству) также и консеквент данной импликации (b). Силлогизмносит принудительный характер, составляя арсенал дедуктивных средствдоказательства, то есть, абсолютно отвечая требованиям математическихрассуждений.
Большую роль в математическомдоказательстве играет теорема о дедукции — общее название для ряда теорем,процедура которых обеспечивает возможность установить доказуемость импликации: A->B, когда налицо логический вывод формулы B из формулы A. Внаиболее распространенном варианте исчисления высказываний (в классической,интуиционистской и др. видах математики) теорема о дедукции утверждаетследующее. Если дана система посылок G и посылка A, из которых, согласноправилам, выводимоB Г, A />B(/> — знак выводимости), то следует, что только изпосылок G можно получить предложение A--> B.
Мы рассмотрели тип,который является прямым доказательством. Вместе с тем в логике используются итак называемые косвенные, есть не прямые доказательства, которые развертываютсяпо следующей схеме. Не имея, в силу ряда причин (недоступность объектаисследования, утрата реальности его существования и т.п.) возможности провестипрямое доказательство истинности какого-либо утверждения, тезиса, строятантитезис. Убеждаются, что антитезис ведет к противоречиям, и, стало быть,является ложным. Тогда из факта ложности антитезиса делают — на основаниизакона исключенного третьего (a v/>) — вывод об истинности тезиса.
В математике широкоиспользуется одна из форм косвенного доказательства — доказательство отпротивного. Оно особенно ценно и, по сути, незаменимо в принятиифундаментальных понятий и положений математики, например, понятия актуальнойбесконечности, которое никак иначе ввести невозможно.
Операция доказательстваот противного представлена в математической логике следующим образом. Данапоследовательность формул G и отрицание A (G, A). Если из этогоследует B и его отрицание (G, A />B,не-B), то можно сделать вывод, что из последовательности формул G вытекаетистинность A. Иначе говоря, из ложности антитезиса следует истинностьтезиса.
Использованнаялитература:
1. Н.Ш.Кремер,Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман, Высшая математика для экономистов, учебник,Москва, 2002;
2. Л.Д.Кудрявцев,Современная математика и ее преподавание, Москва, Наука, 1985 год;
3. О.И.Ларичев,Объективные модели и субъективные решения, Москва, Наука, 1987 год;
4. А.Я.Халамайзер,«Математика? – Забавно!», издание автора, 1989 год;
5. П.К.Рашевский,Риманова геометрия и тензорный анализ, Москва, 3 издание, 1967 год;
6. В.Е.Гмурман,Теория вероятности и математическая статистика, Москва, Высшая школа, 1977 год;
7. Всемирная сеть Enternet.