Муниципальное Образовательное Учреждение
Гимназия № 26
Реферат
Геометрия
Основные виды многогранников и их свойства
Выполнила:
Ученица 9-1 класса
Байсакова Ляззат
Преподаватель:
Сысоева Елена Алексеевна
Челябинск
План
Введение
Многогранная поверхность. Многогранник
Пирамида
Призма
Параллелепипед
Объем тела
Заключение
Список используемой литературыВведение
До настоящего времени в курсе геометрии мы занимались планиметрией- изучали свойства плоских геометрических фигур, то есть фигур, полностью расположенныхв плоскости. Но большинство окружающих нас предметов не являются полностью плоскими,они расположены в пространстве. Раздел геометрии, в котором изучают свойства фигурв пространстве, называется стереометрией (от др. греч. στερεός,«стереос» — «твёрдый, пространственный» и μετρέω- «измеряю»).
Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Наряду с данными простейшимифигурами в стереометрии рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Приизучении геометрических тел, пользуются изображениями на чертеже.
/> />
Рисунок 1 Рисунок 2
На рисунке 1 изображена пирамида, на рисунке 2 — куб. Данныегеометрические тела называются многогранниками. Рассмотрим некоторые видыи свойства многогранников.
Многогранная поверхность. Многогранник
Многогранной поверхностью называют объединение конечного числаплоских многоугольников такое, что каждая сторона любого из многоугольников являетсяв то же время стороной другого (но только одного) многоугольника, называемого смежнымс первым многоугольником.
От любого из многоугольников, составляющих многогранную поверхность,можно дойти до любого другого, двигаясь по смежным многоугольникам.
Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называютсяее гранями; стороны многоугольников называются ребрами, а вершины — вершинами многограннойповерхности.
/>
/>
На рис.1 изображены объединения многоугольников, удовлетворяющиеуказанным требованиям и являющиеся многогранными поверхностями. На рис.2 изображеныфигуры, не являющиеся многогранными поверхностями.
Многогранная поверхность делит пространство на две части — внутреннююобласть многогранной поверхности и внешнюю область. Из двух областей внешней будетта, в которой можно провести прямые, целиком принадлежащие области.
5 Объединение многогранной поверхности и ее внутренней областиназывают многогранником. При этом многогранную поверхность и ее внутреннюю областьназывают соответственно поверхностью и внутренней областью многогранника. Грани,ребра и вершины поверхности многогранника называют соответственно гранями, ребрамии вершинами многогранника.
Пирамида
Многогранник, одна из граней которого — произвольный многогранник,а остальные грани — треугольники, имеющие одну общую вершину, называется пирамидой.
Многоугольник называется основанием пирамиды, а остальные грани(треугольники) называются боковыми гранями пирамиды.
Различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. пирамидыв зависимости от вида многоугольника, лежащего в основании пирамиды.
/> />
Треугольную пирамиду также называют тетраэдром. На рис.1 изображеначетырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD и боковыми гранями SAB, SBC, SCD,SAD.
Стороны граней пирамиды называются ребрами пирамиды. Ребра, принадлежащиеоснованию пирамиды, называют ребрами основания, а все остальные ребра — боковымиребрами. Общая вершина всех треугольников (боковых граней) называется вершиной пирамиды(на рис.1 точка S — вершина пирамиды, отрезки SA, SB, SC, SD — боковые ребра, отрезкиАВ, ВС, CD, AD — ребра основания).
Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенногоиз вершины пирамиды S к плоскости основания (концами этого отрезка являются вершинапирамиды и основание перпендикуляра). На рис.1 SO — высота пирамиды.
Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если основаниемпирамиды является правильный многоугольник, а ортогональная проекция вершины наплоскость основания совпадает с центром многоугольника, лежащего в основании пирамиды.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой; всебоковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины,называется апофемой этой пирамиды. На рис.2 SN — апофема. Все апофемы правильнойпирамиды равны между собой.Призма
Многогранник, две грани которого — равные n-угольники, лежащиев параллельных плоскостях, а остальные n граней — параллелограммы, называетсяn-угольной призмой.
многогранник пирамида призма параллелепипед
Пару равных n-угольников называют основаниями призмы. Остальные гранипризмы называют ее боковыми гранями, а их объединение — боковой поверхностью призмы.На рис.1 изображена пятиугольная призма.
/>/>
Стороны граней призмы называют ребрами, а концы ребер — вершинамипризмы. Ребра, не принадлежащие основанию призмы, называют боковыми ребрами.
Призму, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований,называют прямой призмой. В противном случае призма называется наклонной.
Отрезок перпендикуляра к плоскостям оснований призмы, концы которогопринадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.
Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник,называется правильной призмой.Параллелепипед
Параллелепипед — шестигранник, противоположные грани которогопопарно параллельны. Параллелепипед имеет 8 вершин, 12 рёбер; его грани представляютсобой попарно равные параллелограммы.
Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребраперпендикулярны к плоскости основания (в этом случае 4 боковые грани — прямоугольники);прямоугольным, если этот параллелепипед прямой и основанием служит прямоугольник(следовательно, 6 граней — прямоугольники);
Параллелепипед, все грани которого квадраты, называетсякубом.
Объём Параллелепипед равен произведению площади его основанияна высоту.
/>
Объем тела
Каждый многогранник имеет объем, который можно измерить с помощьювыбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов принимают куб,ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром. Аналогично определяется кубический метр и кубическиймиллиметр, и т.д.
В процессе измерения объемов при выбранной единице измеренияобъем тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измеренияобъемов и ее частей укладывается в этом теле. Число, выражающее объем тела, зависитот выбора единицы измерения объемов. Поэтому единица измерения объемов указываетсяпосле этого числа.
Основные свойства объемов:
1. Равные тела имеют равные объемы.
2. Если тело составлено из нескольних тел, то его объем равен сумме объемовэтих тел.
Для нахождения объемов тел в ряде случаев удобно пользоватьсятеоремой, получившей название принцип Кавальери.
Принцип Кавальери состоит в следующем: если при пересечении двухтел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются сеченияравной площади, то объёмы тел равны между собой.
Заключение
Итак, многогранники изучает раздел геометрии под названием стереометрия.Многогранники бывают разных видов (пирамида, призма и т.д.) и имеют разные свойства.Также, следует отметить, что многогранники в отличие от плоских фигур имеют объеми располагаются в пространстве.
Большинство окружающих нас предметов находятся в пространстве,и изучение многогранников помогает нам составить представление об окружающей насреальности с точки зрения геометрии.
Список используемой литературы
1. Геометрия. Учебник для 7-9 классов.
2. Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина.
3. Википедия
4. Math.ru
5. Словарь
6. Fizmatik.ru