--PAGE_BREAK--
9.0.
Выполним замену x=y-3 или разделим многочлен на (x+3) (по схеме Горнера):
1
9
9
81
-3
1
6
-9
108=q
-3
1
3
-18=p
-3
1
Получили уравнение , для нахождения корней которого воспользуемся формулами Кардано:
Δ=.
Проверку результата решения осуществим другим способом (школьным). Разложим наше уравнение на множители:
Ответ: .
10.0.
Очевидно, что если число является корнем, то и сопряжённое ему числотоже корень этого многочлена. Значит, многочлен делится на многочлен =. Выполним это деление:
_
_
0
Получаем, что =0, значит
Ответ:
11.0.
Выражение = можно представить в виде =. Из уравнения имеем:
(1)
Выпишем старший член многочлена , систему его показателей и ????
Значит =
Возьмём, на пример, , получим , =, значит 27+9A+B-3=0 (*);, а =, значит 8+2A=2 (**). Из (*) и (**) получаем
систему, решив которую найдём коэффициенты Aи B:
Значит = (это следует из системы (1)).
Ответ: =0.
12.0.
а) α = можно рассмотреть простое алгебраическое расширение . Обозначим , если , то . Минимальным многочленом для будет , причём НОД(,)=1. Известно, что НОД многочленов линейно выражается через них: 1=, где. Из вышесказанного следует, что
Из алгебраического равенства многочленов получаем следующую систему:
После несложных преобразований получаем, равносильную исходной системе, систему:
Возьмём для упрощения преобразований возьмём x= 2: . Значит, искомое выражение можно преобразовать следующим образом:
Ответ: =.
б)
Будем искать множитель, рационализирующий знаменатель, с помощью метода неопределённых коэффициентов. Т. к. , и базис векторного пространства состоит из 6 следующих элементов: , то этот множитель будем искать в виде, где
.
Из того, что, где — отличное от нуля рациональное число, получаем систему (из алгебраического равенства многочленов):
Положим, например, , получим систему решений .
Ответ: .
13.0.
1 способ. Если уравнение имеет рациональные корни, то оно разрешимо в квадратных радикалах. Проверим, имеет ли данное уравнение хотя бы один рациональный корень. Для этого испытаем по схеме Горнера все делители свободного члена, учитывая, что рациональные корни уравнения целые:
2
6
-4
3
1
2
8
4
7≠0
-1
2
4
-8
11≠0
3
2
10
22
77≠0
-3
2
4
10
47≠0
Таким образом, рациональных корней уравнение не имеет, следовательно, оно неразрешимо в квадратных радикалах.
2 способ. Данный многочлен по критерию Эйзенштейна неприводим над Z, а значит и над Q. Следовательно, данное уравнение неразрешимо в квадратных радикалах.
Ответ: данное уравнение неразрешимо в квадратных радикалах.
Задания для самостоятельного решения
№1.Найдите произведение многочленов и , если:
1.0.
=, =;
1.1.
=, =;
1.2.
=, =;
1.3.
=, =-;
1.4.
=, =;
1.5.
=, =;
1.6.
=, =;
1.7.
=, =;
1.8.
=, =;
1.9.
=, =;
1.10.
=, =;
1.11.
=, =;
1.12.
=, =;
1.13.
=, =;
1.14.
=, =;
1.15.
=, =;
1.16.
=, =;
1.17.
=, =;
1.18.
=, =;
1.19.
=, =;
1.20.
=, =;
1.21.
=, =;
1.22.
=, =;
1.23.
=, =;
1.24.
=, =;
1.25.
=, =;
1.26.
=, =. продолжение
--PAGE_BREAK--
№2.Определите частное и остаток от деления многочлена на двучлен , если:
2.0.
=, =;
2.1.
=, =;
2.2.
=, =;
2.3.
=, =;
2.4.
=, =;
2.5.
=, =;
2.6.
=, =;
2.7.
=, =;
2.8.
=, =;
2.9.
=, =;
2.10.
=, =;
2.11.
=, =;
2.12.
=, =;
2.13.
=, =;
2.14.
=, =;
2.15.
=, =;
2.16.
=, =;
2.17.
=, =;
2.18.
=, =;
2.19.
=, =;
2.20.
=, =;
2.21.
=, =;
2.22.
=, =;
2.23.
=, =;
2.24.
=, =;
2.25.
=, =;
2.26.
=, =.
№3.При делении многочлена на в остатке получили ; на в остатке . Найдите остаток при делениина , если:
3.0.
2,-4,11,10;
3.1.
2,1,1,2;
3.2.
3,2,1,4;
3.3.
-2,-1,3,-2;
3.4.
4,6,3,-1;
3.5.
2,3,1,5;
3.6.
1,2,1,2;
3.7.
-2,-1,1,2;
3.8.
-3,-2,1,-4;
3.9.
1,-1,5,-4;
3.10.
-7,2,1,7;
3.11.
-4,6,-1,3;
3.12.
3,2,4,1;
3.13.
1,-3,2,5;
3.14.
-5,2,7,6;
3.15.
3,-7,-6,-9;
3.16.
-9,4,-1,4;
3.17.
5,1,3,8;
3.18.
1,7,-2,1;
3.19.
1,2,-1,8;
3.20.
3,-2,4,-2;
3.21.
5,4,-3,9;
3.22.
5,2,2,-4;
3.23.
3,6,-5,3;
3.24.
7,1,4,-6;
3.25.
1,2,-7,1;
3.26.
6,-2,5,1. продолжение
--PAGE_BREAK--
№4.При каких pи qмногочлен делится на, если:
4.0.
=, =;
4.1.
=, =;
4.2.
=, =;
4.3.
=, =;
4.4.
=, =;
4.5.
=, =;
4.6.
=, =;
4.7.
=, =;
4.8.
=, =;
4.9.
=, =;
4.10.
=, =;
4.11.
=, =;
4.12.
=, =;
4.13.
=, =;
4.14.
=, =;
4.15.
=, =;
4.16.
=, =;
4.17.
=, =;
4.18.
=, =;
4.19.
=, =;
4.20.
=, =;
4.21.
=, =;
4.22.
=, =;
4.23.
=, =;
4.24.
=, =;
4.25.
=, =;
4.26.
=, =.
№5.Найдите НОД многочленов и , а также линейное представление НОДа через и , если:
5.0.
=, =;
5.1.
=, =;
5.2.
=, =;
5.3.
=, =;
5.4.
=, =;
5.5.
=, =;
5.6.
=, =;
5.7.
=, =;
5.8.
=, =;
5.9.
=, =;
5.10.
=, =;
5.11.
=, =;
5.12.
=, =;
5.13.
=, =;
5.14.
=, =;
5.15.
=, =;
5.16.
=, =;
5.17.
=, =;
5.18.
=, =;
5.19.
=, =;
5.20.
=, =;
5.21.
=, =;
5.22.
=, =;
5.23.
=, =;
5.24.
=, =;
5.25.
=, =;
5.26.
=, =.
№6.Отделите кратные корни многочлена (с помощью формальной производной), если: 6.0.
;
6.1.
;
6.2.
;
6.3.
;
6.4.
;
6.5.
;
6.6.
;
6.7.
;
6.8.
;
6.9.
;
6.10.
;
6.11.
;
6.12.
;
6.13.
;
6.14.
;
6.15.
;
6.16.
;
6.17.
;
6.18.
;
6.19.
;
6.20.
;
6.21.
;
6.22.
;
6.23.
;
6.24.
;
6.25.
;
6.26.
. продолжение
--PAGE_BREAK--
№7.Вычислите результант многочленов и :
7.0.
=, =;
7.1.
=, =;
7.2.
=, =;
7.3.
=, =;
7.4.
=, =;
7.5.
=, =;
7.6.
=, =;
7.7.
=, =;
7.8.
=, =;
7.9.
=, =;
7.10.
=, =;
7.11.
=, =;
7.12.
=, =;
7.13.
=, =;
7.14.
=, =;
7.15.
=, =;
7.16.
=, =;
7.17.
=, =;
7.18.
=, =;
7.19.
=, =;
7.20.
=, =;
7.21.
=, =;
7.22.
=, =;
7.23.
=, =;
7.24.
=, =;
7.25.
=, =;
7.26.
=, =.
№8.Решите уравнение:
8.0.
8.1.
;
8.2.
;
8.3.
;
8.4.
;
8.5.
;
8.6.
;
8.7.
;
8.8.
;
8.9.
;
8.10.
;
8.11.
;
8.12.
;
8.13.
;
8.14.
;
8.15.
;
8.16.
;
8.17.
;
8.18.
;
8.19.
;
8.20.
;
8.21.
;
8.22.
;
8.23.
;
8.24.
;
8.25.
;
8.26.
.
№9.Решите уравнение:
9.0. ;
9.1. ;
9.2. ;
9.3. ;
9.4. ;
9.5. ;
9.6. ;
9.7. ;
9.8. ;
9.9. ;
9.10. ;
9.11. ;
9.12. ;
9.13. ;
9.14. ;
9.15. ;
9.16. ;
9.17. ;
9.18. ;
9.19. ;
9.20. ;
9.21. ;
9.22. ;
9.23. ;
9.24. ;
9.25. ;
9.26. .
№10.Число cявляется корнем многочлена 0,. Найдите остальные корни, если:
10.0. , ;
10.1. , ;
10.2. , ;
10.3. , ;
10.4. , ;
10.5. , ;
10.6. , ;
10.7. , ;
10.8. , ;
10.9. , ;
10.10. , ;
10.11. , ;
10.12. , ;
10.13. , ;
10.14. , ;
10.15. , ;
10.16. , ;
10.17. , ;
10.18. , ;
10.19. , ;
10.20. , ;
10.21. , ;
10.22. , ;
10.23. , ;
10.24. , ;
10.25. , ;
10.26. , . продолжение
--PAGE_BREAK--
№11.Пусть – корни уравнения . Вычислите:
11.0. Пусть – корни уравнения . Вычислите ;
11.1. ;
11.2. ;
11.3.;
11.4.;
11.5. ;
11.6. ;
11.7. ;
11.8. ;
11.9. ;
11.10. ;
11.11. ;
11.12.;
11.13.;
11.14. ;
11.15.;
11.16.;
11.17.;
11.18.;
11.19.;
11.20. ;
11.21. ;
11.22. ;
11.23.;
11.24. ;
11.25.;
11.26. .
№12.Освободитесь от иррациональности в знаменателе, если:
12.0. а), б) ;
12.1. а), б);
12.2. а) , б) ;
12.3. а) , б) ;
12.4. а) , б) ;
12.5. а) , б) ;
12.6. а) , б) ;
12.7. а) , б) ;
12.8. а) , б) ;
12.9. а) , б) ;
12.10. а) , б) ;
12.11. а) , б) ;
12.12. а) , б) ;
12.13. а) , б) ;
12.14. а) , б) ;
12.15. а) , б) ;
12.16. а) , б) ;
12.17. а) , б) ;
12.18. а) , б) ;
12.19. а) , б) ;
12.20. а) , б) ;
12.21. а) , б) ;
12.22. а) , б) ;
12.23. а) , б) ;
12.24. а) , б) ;
12.25. а) , б) ;
12.26. а) , б) .
№13.Проверьте, разрешимо ли в квадратных радикалах уравнение:
13.0.
13.1.;
13.2.;
13.3.;
13.4.;
13.5.;
13.6.;
13.7.;
13.8.;
13.9.;
13.10.;
13.11.;
13.12.;
13.13.;
13.14.;
13.15.;
13.16.;
13.17.;
13.18.;
13.19.;
13.20. ;
13.21. ;
13.22. ;
13.23. ;
13.24. ;
13.25. ;
13.26. .
--PAGE_BREAK--
№6
Вариант
Кратность 2
Кратность 3
1.
-1
-2
2.
2
1
3.
1
2
4.
-2
-1
5.
1
-2
6.
-2
1
7.
-1
2
8.
2
-1
9.
3
1
10.
-3
-1
11.
-3
1
12.
-1
-3
13.
1
-3
14.
1
3
15.
-1
3
16.
1
-1
17.
-1
1
18.
3
-1
19.
5
-1
20.
5
1
21.
-5
-1
22.
-5
1
23.
-4
1
24.
-4
-1
25.
4
-1
26.
4
1
№
8
Вариант
Действитель-ные
Комплекс-ные
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
№9
Вариант
Действитель-ные
Комплекс-ные
1.
1
±9i
2.
-9
±5i
3.
1
±5i
4.
-7
±6i
5.
4
±7i
6.
6
±4i
7.
7
±4i
8.
-4
±8i
9.
3
±5i
10.
2
±8i
11.
-6
±3i
12.
4
±6i
13.
9
±2i
14.
7
±3i
15.
3
±2i
16.
-2
±7i
17.
5
±7i
18.
8
±3i
19.
-3
±9i
20.
2
±6i
21.
5
±6i
22.
-8
±4i
23.
-1
±4i
24.
8
±2i
25.
6
±5i
26.
-5
±2i
продолжение
--PAGE_BREAK--