Оглавление
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Задача 1
Вычислить определитель 4-го порядка.
/>
Решение:
Определитель 4-го порядка находится по формуле:
/>,
где
aij– элемент матрицы;
Мij– минора элемента aij. Минора элемента aijматрицы А называется определитель матрицы, которая была получена путем удаления из матрицы А строк и столбцов, которые содержат элемент aij
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Задача 2
Решить систему матричным способом.
/>
Решение:
Введем обозначения:
/>
/>
Тогда в матричной форме система имеет вид />, т.е. />
А-1-обратная матрица, которая существует только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е. />
Найдем определитель матрицы по формуле:
/>
/>
Так как />, то матрица А – невырожденная и обратная матрица А-1 существует и единственная.
Найдем обратную матрицу по формуле:
/>, где
/>— присоеденненая матрица, элементы которой />равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы />, и затем транспонированная.
найдем алгебраического дополнения всех элементов матрицы:
/>
Получается матрица
/>
транспонируем матрицу (т.е. матрица AT, полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы)
/>
обратная матрица равна:
/>
Находим значение переменных х1, х2, х3:
/>
Х1=-27, Х2=36, Х3=-9
Задача 3
Решить систему методом Крамера
/>
Решение:
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)
Данную систему представим в виде матрицы:
/>
/>
Найдем определители:
/>,
/>
/>
/>
(/>, т.е. можно применить метод Крамера)
/>;
/>.
Найдем значение x, y:
/>, />
/>, />
Задача 4
Найти общее решение системы, используя метод Жордана-Гаусса:
/>
Решение:
Данную систему представим в виде матрицы:
/>
/>--PAGE_BREAK--
/>
В качестве разрешающего элемента удобнее взять элемент а11=1 (т.к. при делении на «1» число остается без изменения). Делим элементы строки на разрешающий элемент а11. Разрешающие переменную х1 следует исключить из остальных уравнений, поэтому в новой матрице />в первом столбце во всех строках (кроме 1 строки) необходимо поставить значение «0». Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:
/>;
/>;
/>;
/>
/>;
/>;
/>;
/>
/>;
/>;
/>;
/>
/>;
/>;
/>;
/>
/>;
/>
/>;
/>
/>;
/>;
/>;
/>
/>
В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой, например а22=5. Делим элементы разрешающей второй строки на «5». Все элементы первого столбца, кроме а11 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:
/>; />; />
/>; />; />
/>; />/>
/>
В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой и второй, например а33=1. Делим элементы разрешающей второй строки на «1». Все элементы первого и второго столбца, кроме а11=1 и а22=1 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:
/>; />
/>; />
/>; />
/>
Так как больше строк в качестве разрешающих не осталось, выписываем систему уравнений, которая соответствует последней матрице:
/>
Предполагаем, что х4 – это любое число С, тогда
Х1=3,8-3,4С; Х2=23,6-7,8С; Х3=-33+С
Задача 5
Даны векторы.
/>
Найти:
/>
Решение:
Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В.
Из данных уравнений выделим координаты векторов:
/>, где координатами являются (x,y,z)
т.е. координатами вектора />являются (18,2,1), а координатами вектора />являются (1,-2,17).
Скалярное произведение векторов находится по формуле:
/>
/>
Длина />вектора />определяется по формуле:
/>
/>