--PAGE_BREAK--1.2.2 Модель Шарпа
На відміну від моделі Марковіца, яка розглядає взаємозв'язок доходності цінних паперів, модель Шарпа розглядає взаємозв'язок доходності кожного цінного папера з доходністю ринку в цілому.
Основною перевагою моделі Шарпа є те, що математично обґрунтована взаємозалежність доходності та ризику: чим більший ризик, тим вища доходність цінного папера.
Модель Шарпа застосовується в основному при розгляді великої кількості цінних паперів, що описують велику частину фондового ринку. Основний недолік моделі – необхідність прогнозувати доходність фондового ринку та безризикову ставку доходності. Не враховується ризик коливань безризикової доходності. Крім того, при значній зміні співвідношення між безризиковою доходністю та доходністю фондового ринку модель дає похибки.
Основні припущення моделі Шарпа:
як доходність цінного папера береться математичне очікування доходності;
існує деяка безризикова ставка доходності Rf, тобто доходність якогось цінного папера, ризик якого завжди мінімальний у порівнянні з іншими цінними паперами;
взаємозв'язок відхилень доходності цінного папера від безризикової ставки доходності (далі відхилення доходності цінного папера) з відхиленням доходності ринку в цілому від безризиковоі ставки доходності (далі: відхилення доходності ринку) описується функцією лінійної регресії;
під ризиком цінного папера слід розуміти ступінь залежності змін доходності цінного папера від змін доходності ринку в цілому;
вважається, що дані минулих періодів, які використовуються при розрахунку доходності та ризику, відображають повною мірою майбутні значення доходності.
За моделлю Шарпа відхилення доходності цінного папера пов'язуються з відхиленнями доходності ринку функцією лінійної регресії виду:
(ri — Rf) = a + b(Rm — Rf) (1.8)
де (ri — Rf) — відхилення доходності цінного папера від безризикового;
(Rm — Rf) — відхилення доходності ринку від безризикового;
a, b — коефіцієнти регресії.
Виходячи з формули (1.8), можна по прогнозованій доходності ринку цінних паперів у цілому розрахувати доходність будь-якого цінного папера, що його складає:
Ri = Rf + ai + bi(Rm — Rf) (1.9)
Де ai, bi — коефіцієнти регресії, що характеризують даний цінний папір.
Коефіцієнт b називають b-ризиком, оскільки він характеризує ступінь залежності відхилень доходності цінного папера від відхилень доходності ринку в цілому. Основні переваги моделі Шарпа — математично обгрунтована взаємозалежність доходності та ризику: чим більший b-ризик, тим вища доходність цінного папера.
Крім того, модель Шарпа має особливість: існує небезпека, що оцінюване відхилення доходності цінного папера не належатиме побудованій лінії регресії. Цей ризик називають залишковим ризиком. Залишковий ризик характеризує ступінь розбросу значень відхилень доходності цінного папера навколо лінії регресії. Залишковий ризик визначають як середньоквадратичну відстань від точок доходності цінного папера до лінії регресії. Залишковий ризик і-го цінного папера позначають sei.
За моделлю Шарпа доходність портфеля цінних паперів — це середньозважена доходність цінних паперів, що його складають, з урахуванням b-ризику цінних паперів. Доходність портфеля визначається за формулою:
(1.10)
Де Rf — безризикова доходністъ;
Rm — очікувана доходність ринку в цілому.
Ризик портфеля цінних паперів може бути знайдений за допомогою оцінки середнього квадратичного відхиления функціі (1.10), і визначається за формулою:
(1.11)
де sm — середньоквадратичне відхилення доходності ринку в цілому, тобто ризикованість ринку в цілому;
bi, sei — b-ризик і залишковий ризик і-го цінного папера.
При використанні моделі Шарпа для розрахунку характеристик портфеля пряма задача набуває вигляду:
(1.12)
Зворотня задача виглядає аналогічним чином:
(1.13)
Основний недолік моделі — необхідність прогнозувати доходність фондового ринку та безризикову ставку доходності. Модель не враховуе ризик коливань безризикової доходності. Крім того, при значній зміні співвідношення між безризиковою доходністю та доходністю фондового ринку модель дає похибки.
Таким чином, модель Шарпа може застосовуватися при розгляді великої кількості цінних паперів, що описують велику частку відносно стабільного фондового ринку.
1.2.3 Модель Квазі-Шарпа
Модель Марковіца та Шарпа були створені та успішно працюють в умовах західних фондових ринків, яким притаманні стабільність і порівняна прогнозованість. У країнах з перехідною економікою фондові ринки перебуваютъ на етапі становления і розвитку. Відбувається постійна реорганізація. Фондовий ринок України не є винятком. У таких умовах застосування моделей Марковіца і Шарпа приводить до похибок, пов'язаних із нестабільністю котирування цінних паперів та фондового ринку в цілому.
З огляду на це було зроблено спробу розробити нову модель розрахунку характеристик фондового портфеля, яка може ефективно працювати в умовах сучасного фондового ринку України.
Модель Квазі-Шарп грунтується на взаємозв'язку доходності кожного цінного папера з деякого набору N цінних паперів з доходністю одиничного портфеля з цих паперів.
Модель Квазі-Шарп раціонально застосовувати при розгляді порівняно невеликої кількості цінних паперів, що належать до однієї чи кількох галузей. З допомогою її добре підтримувати оптимальну структуру вже існуючого портфеля. Основний недолік моделі – розглядається окремий сегмент фондового ринку, на якому працює агент фондового ринку, без урахування глобальних тенденцій [6].
Основні припущення моделі Квазі-Шарп полягають у наступному:
за характеристику доходності цінного папера береться математичне очікування доходності;
під одиничним портфелем цінних паперів слід розуміти портфель, що складається з усіх цінних паперів, що розглядаються, взятих у рівній пропорції;
взаємозв'язок доходності цінного папера і доходності одиничного портфелю описується лінійною функцією
під ризиком цінного папера слід розуміти ступінь залежності змін доходності цінного папера від змін доходності одиничного портфеля;
вважається, що дані минулих періодів, використані при розрахунку доходності та ризику, відображають повною мірою майбутнє значення доходності.
Як і в моделі Шарпа, в моделі Квазі-Шарп існує ризик того, що поцінована доходність цінного папера не належатиме вибудованій лінії регресії. Цей ризик називається залишковим ризиком. Залишковий ризик характеризує ступінь розбросу значень доходності цінного папера навколо лінії регресії. Залишковий ризик і-го цінного папера позначають bei.
Загальний ризик вкладень у даний цінний папір складається з b-ризику, тобто ризику зниження доходності при падінні доходності одиничного портфеля, і залишкового ризику bei, тобто ризику зниження доходності при падінні доходності одиничного портфеля і залишкового ризику bei, тобто ризику зниження доходності і невідповідності лініі регресії.
За моделлю Квазі-Шарп доходність портфеля цінних паперів — це середньозважена доходностей цінних паперів, що його складають:
(1.14)
де Rsp — очікувана доходність одиничного портфеля.
Ризик портфеля цінних паперів внзначається за формулою:
(1.15)
де ssp — ризикованість одиничного портфеля.
З використанням моделі Квазі-Шарп для розрахунку характеристик портфеля пряма задача набуває вигляду:
(1.16)
Відповідно, зворотня задача має наступне кінцеве зображення:
(1.17)
Модель Квазі-Шарп раціонально застосовувати при розгляді порівняно невеликої кількості цінних паперів, що належать одній або кільком галузям. З допомогою її добре підтримувати оптимальну структуру вже існуючого портфеля. Основний недолік моделі — розглядається окремий сегмент фондового ринку, без урахування глобальних тенденцій.
З огляду на розглянуті моделі, в даній роботі буде розглянуто приклад реалізації саме цієї моделі Квазі-Шарп, оскільки вона має найбільше відповідати наявному стану української економіки та рівню розвитку фондового ринку. Також зазвичай вона може бути використана типовим учасником нашого фондового ринку при вирішенні задачі оптимізації вже існуючого портфелю цінних паперів декількох емітентів.
2. МОДЕЛІ ОПТИМІЗАЦІЇ ПОРТФЕЛЯ ЦІННИХ ПАПЕРІВ
2.1 Побудова моделі Квазі-Шарпа
Модель Квазі-Шарпа відноситься до оптимізаційних моделей і тому для неї характерні певні особливості, які притаманні всім моделям, які відносяться до «портфельної теорії». Розглянемо загальні засади цієї моделі.
Нехай доходність портфелю з N цінних паперів Rp та його ризикованість sp визначається функціями:
Rp = RETURN (Wi, si, ri; i = 1K N); (2.1)
sp = RISK (WI, si, ri; i = 1K N), (2.2)
де Wi — процентна частка цінних паперів портфеля;
si — деяка характеристика ризику даного цінного паперу, звичайно це середнє квадратичне відхилення доходності цінних паперів;
ri — доходність цінних паперів.
При розв'язуванні задачі необхідно урахувати наступні натуральні обмеження:
сума усіх акцій (у відсотках) складає 100%:
W1+W2+K+Wi+K+Wn = 1 (2.3)
кількість акцій не може бути від'ємною (WI = 0)
Розв'язуванням задачі є певна цільова структура портфеля, представлена набором значень (W1, W2,..., WN). Ідеальна постановка задачі оптимізації портфеля — отримати максимальну доходність при мінімальному ризику:
(2.4)
Але така задача некоректна, тобто не має однозначного рішення. Ідеальний результат недосяжний, як і все ідеальне.
Виходом з положення є введення критичних обмежень.
Перший варіант — задатися певною максимально допустимою величиною ризику sreq Тоді задача оптимізації зводиться до вибору такої структури портфеля, при якій ризик портфеля не перевищує заданого значення, а доходність портфеля є максимальною. Така задача надалі буде називатися прямою задачею:
(2.5)
Другий варіант — задається певною мінімально допустимою величиною доходності. В цьому випадку задача оптимізації зводиться до вибору такої структури портфеля, прибуток якого вищий або ж дорівнює заданому значенню, а ризик мінімальний:
(2.6)
Розв'язавши пряму і обернену задачі з оптимізації портфеля з N цінних паперів підприємство отримає дані — скільки та які цінні папери необхідно придбати, щоб сформувати портфель, який (по міркам підприємства) має достатньо високу доходність при допустимому ризику
За моделлю Квазі-Шарп доходність цінного папера пов'язується з доходністю одиничного портфеля функцією лінійної регресії вигляду:
(2.7)
де Ri — доходність цінного паперу;
Rsp — доходність одиничного портфеля;
bі — коефіцієнт регресії;
ЇR — середня доходністъ цінного папера за минулі періоди;
ЇRsp — середня доходність одиничного портфеля за минулі періоди.
Коефіціент b характсризує ступінь залежності доходності цінного папера від доходності одиничного портфеля. Чим вищий b, тим сильніше залежить доходність цінного папера від коливань доходності одиничного портфеля, тобто від коливань доходності решти цінних паперів, що входять в одиничний портфель. Коефіцієнт b називають b-ризиком, але його трактування має відміну від трактування однойменного показника в моделі Шарпа.
При практичному застосуванні моделі Квазі-Шарп для оптимізації фондового портфеля використовуються наступні формули.
За доходність одиничного портфеля у період t береться середнє значення доходності цінних паперів, що його складають, за цей же період:
(2.8)
де Rspt — доходність одиничного портфеля в період t
Rit — доходність i-го цінного папера за період t.
Середня доходність цінного папера за минулі періоди:
(2.9)
де Rit — доходність цінного папера за період t,
T — кількість періодів часу, що розглядається.
Середня доходність одиничного портфеля за минулі періоди:
(2.10)
Коефіцієнт b цінного папера розраховується за формулою:
(2.11)
Залишковий ризик цінного паперу:
(2.12)
Ризикованість одиничного портфеля:
(2.13)
В розглянутій моделі є зовнішня змінна – норма доходності цінних паперів емітента за кожен із періодів. До контрольованих змінних слід віднести:
склад портфелю цінних паперів;
норма ризику портфелю;
норма доходності всього портфелю;
максимальна частка цінних паперів кожного з емітентів у портфелі.
Прикладом неконтрольованих змінних можуть служити стан законодавства, політична стабільність.
Змінні управління залежать від того, який тип задачі буде вирішуватись: пряма чи зворотна. При розв’язанні прямої задачі змінною управління є бажаний рівень доходності портфелю цінних паперів. Тобто змінюючи його, можна знайти оптимальний набір, який задовольняє заданому рівню доходності.
При розв’язанні зворотної задачі змінною управління є максимальний рівень ризику, який стає своєрідним обмеженням при розв’язанні задачі оптимізації.
Розробка програмного засобу передбачає реалізацію лінійного алгоритму на основі наведеної нижче блок-схеми (рисунок 2.1).
Рисунок 2.1 – Блок-схема алгоритму вирішення задачі оптимізації портфелю цінних паперів
2.2 Інформаційна модель задачі
Розглянемо інформаційну модель задачі, яку розділено на такі основні підсистеми:
підсистема вхідної інформації;
підсистема обробки;
підсистема виводу інформації.
Схематично модель вирішення прямої задачі оптимізації портфеля цінних паперів можна зобразити у наступному вигляді (рисунок 2.2):
Для вирішення зворотної задачі оптимізації портфеля цінних паперів інформаційна модель буде мати дещо інший вигляд (рисунок 2.3):
Інформаційне забезпечення моделі має своєю основою статистичну інформацію про стан фондового ринку цінних паперів України, яка доступна на сайті компанії «Foyil». Головна перевага FoyilSecurities– акцент на аналітичні дослідження щодо кожного емітенту, цінні папери якого рекомендуються клієнтам. Аналітичний відділ FoyilSecuritiesпроводить усебічні дослідження українських публічних компаній[7].
2.3 Перевірка адекватності моделі
Перевірка адекватності моделі була проведена з використанням вже розрахованого прикладу[3]. Для експерименту було взято тестовий портфель із наступними характеристиками (таблиця 2.1).
Для повноти прикладу використовувалися значення доходності цінних паперів кожного з емітентів за період 12 місяців. Тестовий приклад із п’ятьма видами цінних паперів вимагав розширення реалізованої моделі для роботи із більшою кількістю емітентів.
Після підстановки тестових значень в обрану модель отримав значення доходності портфелю 3,1% при рівні ризику 7,2% у випадку вирішення прямої задачі оптимізації.
Таблиця 2.1 – Характеристики тестового портфелю
Результатом проведення експерименту для оберненої задачі оптимізації стало отримання рівня доходності портфелю 3,7% при рівні ризику 8,62%. Для прямої задачі – 3,8% і 8,9% відповідно
При розгляданні отриманих результатів і порівнянні їх з еталонними отримаємо з відношень «результат/еталон», що коефіцієнти становлять 1,06 для значення доходності і 1,077 для значення ризику при вирішенні зворотної задачі оптимізації. У випадку експерименту із прямою задачею коефіцієнти становлять 0,95 для значення доходності та 0,96 для значення ризику.
Врезультаті проведених експериментів виявлено, що максимальне відхилення результатів досліджуваної моделі від еталонних становило не більше 7%, що говорить про високий рівень адекватності моделі.
продолжение
--PAGE_BREAK--