--PAGE_BREAK--Замечания
1) Любой ограниченный линейный оператор, определенный в комплексном банаховом пространстве, имеющем хоты бы один отличный от нуля элемент, имеет непустой спектр. Существуют операторы, у которых спектр состоит из единственной точки (оператор умножения на число).
2) Теорема 5 может быть уточнена следующим образом. Пусть (можно доказать, что этот предел существует для любого ограниченного оператора А), тогда спектр оператора А целиком лежит внутри круга радиуса r с центром в нуле. Величина r называется спектральным радиусом оператора А.
3) Резольвентные операторы и , отвечающие точкам и , перестановочны между собой и удовлетворяют соотношению , которое легко проверить, умножив обе части этого равенства на . Отсюда вытекает, что если – регулярная точка для А, то производная от по при =, т.е. , существует (в смысле сходимости по операторной норме) и равна .
§2. Унитарные операторы. Оператор сдвига
В этом разделе будем рассматривать пространство Н со скалярным произведением, которое является частным случаем нормированного пространства.
6. Оператор сдвига. Спектр оператора сдвига
Определение 7. Ограниченный линейный оператор U в пространстве Н называется изометрическим, если он не изменяет величины скалярного произведения: длялюбых .
В этом случае, если х=у, то , или . Значит, изометрический оператор сохраняет норму элемента, а норма самого такого оператора, как следует из определения нормы, равна 1 ().
Понятие изометрического оператора можно ввести также для операторов, действующих в нормированном пространстве.
Определение 8. Ограниченный линейный оператор U в нормированном пространстве Е называется изометрическим, если он не изменяет величины нормы: длялюбых .
Лемма 1. Для того, чтобы линейный оператор U в пространстве Н был изометрическим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: длялюбых .
Доказательство. Нужно доказать только достаточность. Для этого используем тождество . Его легко проверить, если представить левую часть в виде скалярных произведений: . Так как левая часть не изменится при замене векторов на векторы , то правая тоже не изменится, т. е. .
Определение 9. Оператор U называется унитарным, если он изометрический и имеет обратный оператор, определенный на всем пространстве Н.
Теорема 7. Спектр унитарного оператора – это множество, лежащее на единичной окружности.
Доказательство. Доказательство проведем в два этапа:
I. Докажем, что спектр унитарного оператора U содержится в единичном круге.
II. Рассмотрим обратный оператор и покажем, что он тоже унитарный. Докажем, что, если принадлежит спектру оператора U, то принадлежит спектру обратного оператора и наоборот.
Для доказательства I этапа применим теорему 4: если А – ограниченный линейный оператор в нормированном пространстве и , то – регулярная точка. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса с центром в нуле. А норма унитарного оператора U, как было показано, равна 1 (). Следовательно, спектр унитарного оператора содержится в единичном круге.
Перейдем ко II этапу. Докажем, что оператор, обратный к унитарному оператору, также унитарный оператор. Покажем, что он удовлетворяет условию изометрии: для всех . Положим Ux=y, тогда , и , т. е. для всех .
Докажем, что, если точка является регулярной для оператора U, то точка является регулярной для обратного оператора U-1. Точка , является регулярной для оператора U, если выполняется условие:
(*).
Оператор U-1является обратным для оператора U, значит, для них верно U-1U=I=UU-1. Используя это, равенство (*) можно переписать:
, или
.
Используем свойство обратных операторов: оператор, обратный произведению операторов, равен произведению обратных операторов к данным, взятых в противоположном порядке, т.е. для двух операторов А и В имеем . Тогда равенство можно переписать в виде:
.
Вычислим отдельно произведение:
.
В итоге , т.е. является регулярной для обратного оператора U-1.
Возьмем множество точек . Тогда точки вида лежат вне единичного круга и все являются для оператора регулярными, так как он унитарный и его норма равна 1. Но поскольку оператор - обратный к оператору , то точки, входящие в , по предыдущему рассуждению являются для него регулярными. Следовательно, спектр оператора U– это множество, лежащее на единичной окружности.
Важным примером изометрического оператора является оператор сдвига.
Определение 10. Оператор , заданный в пространстве последовательностей, называется оператором сдвига, если он каждую последовательность вида (х1, х2,…, хn…) переводит в последовательность вида (0, х1, х2, …, хn…), т.е. выполняется равенство: (х1, х2,…, хn…)=(0, х1, х2, …, хn…).
Можно также рассматривать оператор сдвига, который действует в пространстве последовательностей, бесконечных в обе стороны. Элемент этого пространства можно представить в таком виде: (…х-2, х-1, х0, х1, х2, …).
Определение 11. Оператор называется оператором двухстороннего сдвига, если он каждую последовательность, бесконечную в обе стороны, сдвигает вправо, т.е. выполняется равенство: .
Уточним, о каких пространствах последовательностей будет идти речь:
1) l2– пространство односторонних последовательностей комплексных чисел с натуральной нумерацией, для которых ряд — сходящийся. Скалярное произведение в этом пространстве определяется формулой .
2)l2(-∞;∞) – пространство двусторонних последовательностей комплексных чисел с нумерацией целыми числами, для которых соответственно ряд – сходящийся. Скалярное произведение в этом пространстве определяется формулой .
Рассмотрим оператор одностороннего сдвига U(x1, x2, …, xn, …)=(0, x1, x2, …). Покажем, что этот оператор является изометрическим. Действительно, для любых . А, значит, этот оператор по лемме 1 является изометрическим. Указанный оператор U не является унитарным, так как его образ – это не все пространство l2; векторы, имеющие ненулевую первую координату (например векторы вида (1, х1, х2, …)) не имеют прообраза. Значит, обратного оператора он не имеет.
Теорема 8. Оператор двухстороннего сдвига является унитарным оператором
Доказательство. Рассмотрим оператор двустороннего сдвига
U(…, x-1, x, x1, …)=(…, x-2, x-1, x, x1, …).
Очевидно, что этот оператор сохраняет норму, т.е. является изометрическим: . Покажем, что он имеет обратный оператор – это оператор, который любую последовательность сдвигает влево.
В пространстве последовательностей, как и в любом метрическом пространстве, любой вектор представляется как линейная комбинация элементов базиса. В этом пространстве имеется канонический базис – это последовательности вида
………………………
l-1=(.., 0,1-1, 0, …)
l=(…, 0,10, 0, …)
l1=(…, 0,11, 0, …)
………………………
Подействуем оператором U на произвольный элемент базиса:
Ulk=U(…, 0,1k, 0,…)=(…, 0,1k+1, 0)=lk+1.
Т.е. каждый элемент базиса оператор U переводит в последующий элемент. Чтобы осуществлялось обратное действие, мы должны каждый элемент базиса перевести в предыдущий элемент, т.е. U-1lk=lk-1.
Каждый вектор пространства l2х=(…,х-1, х0, х1, …) может быть представлен в виде: . А так как операторU-1элементы базиса переводит в предыдущие, то, действуя на последовательность , сдвинет ее влево.
Итак, мы получили, что оператор двухстороннего сдвига U имеет обратный оператор и является изометрическим, следовательно, он является унитарным. Спектр этого оператора лежит на единичной окружности.
7.Взвешенные сдвиги
Определение 12. Оператором взвешенного сдвига называется произведение оператора сдвига (одностороннего или двустороннего) на диагональный (в этом же базисе) оператор.
Более подробно: пусть – ортонормированный базис (n= 0, 1, 2, … или n= 0, 1, 2, …) и пусть – ограниченная последовательность комплексных чисел (n пробегает те же значения, что и выше). Оператором взвешенного сдвига называется оператор вида SP, где S– оператор сдвига (Sln= ln+1), а Р – диагональный оператор с диагональю (Pln= ln).
Найдем выражение для нормы и спектрального радиуса оператора взвешенного сдвига через его веса.
Вспомним, что сдвиг S1– изометрический оператор, значит, не изменяет нормы элемента: для любого .Поэтому норма оператора А равна норме соответствующего диагонального оператора: для любого и . Найдем норму диагонального оператора Pln= , где – некоторая ограниченная последовательность комплексных чисел. Рассмотрим произвольную последовательность с единичной нормой: . При этом в базисе элемент имеет разложение . Подействуем на элемент х оператором Р: . При этом . Отсюда следует, что . Покажем, что выполняется также и обратное неравенство. Если для последовательности достигается, т.е. при некотором , то возьмем элемент : , . Если же не достигается, то можно взять подпоследовательность , тогда . Это говорит о том, что не может быть . Итак, и . Мы получили, что норма оператора взвешенного сдвига равна точной верхней грани модулей его весов.
Чтобы найти спектральный радиус оператора взвешенного сдвига, найдем нормы его степеней. Вычислим степени оператора А: Aln = , A2ln = ,A3ln = , и так далее. Следовательно, Ак можно представить в виде произведения изометрии (к-й степени оператора сдвига) и диагонального оператора, у которого n-й диагональный член равен произведению к последовательных чисел , начиная с . Значит, , отсюда, .
8. Операторы сдвига в пространстве функции на единичной окружности
Рассмотрим единичную окружность на комплексной плоскости, т. е. всевозможные комплексные числа , по модулю равные 1. Рассмотрим комплексную последовательность и составим ряд . Если он сходится для всех , таких, что , то – функция от переменной , определенная на единичной окружности. Заметим, что для последовательностей из пространства , таких, что ряд сходящийся, ряд сходится для всех , таких, что . Итак, существует взаимно однозначное соответствие между пространством и множеством A функций на единичной окружности, представимых в виде суммы обобщенного степенного ряда с абсолютно сходящимся рядом коэффициентов. Рассмотрим, в какой оператор переходит при этом оператор сдвига U. Обозначим этот оператор . Пусть и – соответствующая функция. Тогда . Итак, в пространстве А оператору сдвига соответствует оператор умножения на функцию .
Рассмотрим теперь оператор взвешенного сдвига с весами . Его область определения – не все пространство , а только те последовательности , для которых сходится ряд . При этом
. Таким образом, в пространстве А оператору сдвига соответствует оператор дифференцирования.
Часть 2. Нестандартное расширение оператора сдвига
1. Нестандартное расширение поля действительных чисел
Поле R действительных чисел является расширением поля рациональных чисел с помощью определенной конструкции. Например, можно рассматривать действительные числа как классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
Существует некоторая конструкция и для расширения поля R. При этом получается новое поле с линейным порядком, но без выполнения аксиомы Архимеда: . В новом поле существуют положительные элементы, меньшие любой дроби , где . Такие элементы называются бесконечно малыми. Также существуют положительные элементы, большие любого , они называются бесконечно большими. Это поле называется нестандартным расширением поля действительных чисел и обозначается *R.
Та же конструкция (которую мы не будем здесь описывать), дает расширение любого множества, построенного на основании поля действительных чисел, например, булеана , или прямого произведения . Поскольку отображение можно рассматривать как подмножество , то получаем также расширения всех числовых отображений. Всю полученную совокупность множеств называют нестандартным универсумом. На основании нестандартного универсума можно построить теорию, аналогичную математическому анализу, или нестандартный математический анализ.
Мы перечислим без доказательства некоторые необходимые в дальнейшем утверждения нестандартного анализа.
Принцип переноса Если в стандартной теории верно некоторое утверждение, записанное логической формулой с конечным числом логических символов, то аналогичное утверждение верно и в нестандартном универсуме и наоборот.
Пусть дано бинарное отношение . Отношение называется направленным, если для любого конечного набора элементов существует элемент , который находится в отношении со всеми элементами данного набора.
Принцип направленности. Пусть дано направленное отношение . Тогда во множестве *В существует элемент , находящийся в отношении со всеми элементами множества А:
Пример. Выведем из принципа направленности существование бесконечно большого числа в *R. Возьмем прямое произведение и на нем обычное отношение порядка: элементы x и y находятся в отношении , если . По принципу направленности: , что и означает, что в расширении существует элемент, который больше любого стандартного действительного числа, т. е. бесконечно большое число.
Теорема 10 [2]. Пусть - стандартная последовательность. Тогда . То есть число является пределом стандартной последовательности тогда и только тогда, когда для расширенной последовательности все члены с гипернатуральными номерами бесконечно близки к b.
(Соотношение , , означает, что – бесконечно малое число).
Доказательство.
1) Пусть , тогда по определению предела стандартной последовательности выполняется условие . Применим принцип переноса: . Но все бесконечно большие номера будут больше n0, поэтому при любом стандартном положительном для любого бесконечного номера выполняется неравенство , что и означает .
2) Пусть . Возьмем стандартное ε>0, тогда верно утверждение: . По принципу переноса такое же утверждение верно и в стандартном универсуме, следовательно, , что и требовалось доказать.
Множества, входящие в нестандартный универсум, называются внутренними. Это множества, которые являются элементами расширения булеана какого-то стандартного множества. Рассмотрим множества, являющиеся элементами , где – булеан . Для всех множеств из выполняется утверждение: если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань (аксиома непрерывности). И определение ограниченности сверху, и определение точной нижней грани можно записать формулой с конечным числом символов, поэтому к данному утверждению применим принцип переноса. Значит, если множество ограничено сверху некоторым гипердействительным числом, то оно имеет точную верхнюю грань в , которую также будем обозначать .
продолжение
--PAGE_BREAK--