Реферат натему
Опытприменения критерия Сильвестра в некоторых задачах устойчивости консервативныхсистем
Санкт-Петербург 2010г.
Биография
Джеймс Джозеф Сильвестр (3 сентября 1814, Лондон — 15 марта, 1897, Оксфорд) — известныйанглийский математик еврейского происхождения. Сильвестр начал изучатьматематику в Сент-Джон-колледже Кембриджского университета в 1831 году. Его учёбапрерывалась длительными болезнями, но в итоге он занял второе место навыпускном экзамене по математике в 1837 году. Однако он не получил степени бакалавра,так как для этого требовалось подтвердить своё согласие с догматами англиканскоговероисповедания, что Сильвестр отказался сделать. В 1841 году он получилстепень бакалавра и магистра в Тринити-колледже в Дублине. Здесь евреям, как икатоликам, разрешалось получать образование. В том же году он переехал в СШАчтобы стать профессором в Университете Вирджинии, но вскоре вернулся в Англию. В1877 году Сильвестр снова переехал в Америку чтобы стать первым профессоромматематики в новом Университете Джона Хопкинса в Балтиморе. Его жалованиесоставило 5000 долларов (довольно щедрое по тем временам), и он потребовал,чтобы его выплачивали золотом.В 1878 году он основал «Американскийматематический журнал» — второй в то время в США.В 1880 году Сильвестр былнагражден Медалью Копли. В 1883 году он вернулся в Англию, чтобы стать главойкафедры геометрии в Оксфордском университете. Он руководил кафедрой до самойсмерти, хотя в 1892 году университет назначил ему заместителя.
Именем Сильвестра названа бронзовая медаль (см. Медаль Сильвестра),вручаемая с 1901 года Королевским обществом за выдающиеся заслуги в математике.
Устойчивость равновесияконсервативной системы с конечным числом степеней свободы
Установленное теоремойЛагранжа-Дирихле условие устойчивого равновесия системы с конечным числомстепеней свободы заключается в том, что устойчивому равновесному положениюсоответствует минимум потенциальной энергии.
Длясистемы с конечным числом степеней свободы минимум потенциальной энергии определяетсярядом условий. Эти условия обеспечивают соотношения между параметрами системы,при которых любому приращению обобщенных координат, отсчитываемых от положенияравновесия, соответствует положительное приращение потенциальной энергии.
Потенциальнаяэнергия консервативной системы с sстепенями свободы определяется выражением:
/>
Наосновании теоремы Лагранжа — Дирихле потенциальная энергия системы представляетсобой положительную знакоопределенную форму.
Функциюназывают знакоопределенной, если при любых значениях аргументов она сохраняетодин и тот же знак, т. е. является или положительной или отрицательной.
Чтобыопределить условия, при которых рассматриваемая квадратичная форма являетсяопределенно положительной, воспользуемся критерием Сильвестра ознакоопределенности квадратичной формы: для того чтобы квадратичная форма былаопределенно положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры еедискриминанта были положительны, т. е. выполнялись следующие условия:
/>
Для потенциальной энергиисистемы:
/>
Сувеличением числа степеней свободы исследование устойчивости равновесия системзначительно усложняется.
ТеоремаЛагранжа — Дирихле дает критерий, позволяющий утверждать, что равновесноеположение консервативной системы устойчиво, если ее потенциальная энергия имеетминимум. Однако по этой теореме нельзя определить, каково равновесие системы,если ее потенциальная энергия в равновесном положении не имеет минимума. В этихслучаях применяют следующие теоремы Ляпунова о неустойчивости равновесия.
Теорема1. Равновесное положение системы является положением неустойчивого равновесия,если потенциальная энергия системы в этом положении не имеет минимума; при этомотсутствие минимума определяется членами второго порядка малости, действительновходящими в разложение уравнения потенциальной энергии в ряд Маклорена постепеням малых приращений координат.
Теорема2. Равновесное положение системы является положением неустойчивого равновесия,если потенциальная энергия системы в этом положении имеет максимум; при этомналичие максимума устанавливается членами наименее высокого порядка малости,действительно входящими в разложение уравнения потенциальной энергии в рядМаклорена.
Теорему2 применяют тогда, корда невозможно определить наличие или отсутствие минимумапотенциальной энергии по членам второго порядка, например в случае, когда членывторого порядка малости в разложении потенциальной энергии отсутствуют.
ТеоремаЛагранжа — Дирихле и теоремы Ляпунова относятся к случаю равновесияконсервативной системы.
Пример 1
Определитьусловия устойчивости равновесного положения системы с тремя степенями свободы,если потенциальная энергия этой системы определяется следующим выражением:
/>
Где />-обобщённые координатысистемы; a, b, d, e, f-вещественные постоянные.
Решение.Для того чтобы потенциальная энергия системы была определенно положительной, еедискриминант должен иметь все главные диагональные миноры положительными.
/>
Так как
/>
то наосновании критерия Сильвестра получим следующие условия устойчивости равновесиясистемы:
/>/>
Последний определительтретьего порядка вычисляем по правилу Саррюса
/>
А поэтому
/>
Следовательно, условияустойчивости равновесия этой системы определяются неравенствами
/>
Функции Ляпунова.Критерий Сильвестра
Одним из наиболее эффективныхметодов исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова,рассмотрим прямой метод для автономных систем.
Рассмотрим некоторыевещественные функции
/>определённых в области
/> (1)
Где />-постоянноеположительное число.
Предполагается что вобласти (1) эти функции однозначны, непрерывны и обращаются в нуль, когда все х1,..., хnравны нулю, т.е.
V(0)=0 (2)
Если в области (1)функция V кроме нуля может принимать значениятолько одного знака, то она называется знакопостоянной (соответственно положительнойили отрицательной). Если же знакопостоянная функция обращается в нуль только втом случае, когда все хг,… ., хп равны нулю, тофункция V называется знакоопре-деленной (соответственноопределенно-положительной или определенно-отрицательной). Функции, принимающиекак положительные, так и отрицательные значения, называются знакопеременными функциями.Введенные таким образом функции V, используемые для исследованияустойчивости движения, называются функциями Ляпунова.
/>Рассмотрим признаки, с помощьюкоторых можно определить характер функции V. Преждевсего заметим, что знакоопределенная функция V должна содержать все переменные хъ… ., хп.Действительно, пусть, на- пример, функция V не содержит переменную хп. Тогда при хг=… = хп^ = 0, функция V будетобращаться в нуль, что недопустимо для знакоопределенных функций.
Пустьзнакоопределенная функция V — У (х) непрерывнавместе со своими производными. Тогда при х} =… = хп —0 она. будет иметь изолированный экстремум и, следовательно, все частныепроизводные первого порядка, вычисленные в этой точке, будут равны нулю(необходимые условия существования экстремума)
/> ( 3)
Разложим функцию V в ряд Маклорена по степеням х1,..., хn
/>
где точками обозначенычлены высшего порядка. Учитывая соотношения (2) и (3), получим
/> (4)
Здесь постоянные числа ckj=cjkопределены равенствами
/> (5)
Из формулы (4) видно, чторазложение ш-ткоопре-делЕенной функции V в ряд по степеням хъ… ., хп несодержит членов первой степени.
Предположим, чтоквадратичная форма
/> (6)
принимаетположительные значения и в нуль обращается только при х1 =… =хт= 0. Тогда вне зависимости от членов высшего порядка при достаточно малыхпо модулю Xf функция У будет принимать такжеположительные значения и в нуль она булет обращаться только при хг =… = хп = 0. Таким образом, если квадратичная форма (6)определённо-положительна, то и функция V будет определённо-положительной.
Рассмотримматрицу коэффициентов квадратичной формы (6):
/> (7)
и составим из нее п главныхдиагональных миноров (в матрице (7) они окантованы пунктиром)
/> (8)
Влинейной алгебре доказывается следующий критерий Сильвестра: для того чтобыквадратичная форма с вещественными коэффициентами былаопределенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главныедиагональные миноры А 1г Д2,… ., Ап матрицыее коэффициентов были положительны, т. е.
/> (9)
Изсказанного следует, чтокритерий Сильвестра (9) для квадратичной части функции V является достаточным (но не необходимым) условиемопределенной положительности самой функции V.
Еслифункция V определенно-отрицательна, то функция— V будет определенно-положительной.Поэтому достаточным условием определенной отрицательности функции V будет критерий Сильвестра (9) для матрицы —С. Этот критерий имеетвид
/> (10)
Т.е. определители />должныпоследовательно чередовать знак, причём знак /> должен быть отрицательным.
В качестве примерарассмотрим функцию
/>
Разложимэту функцию в ряд по степеням хх и х2. Имеем
/>
где точками обозначениячлены, содержащие х1 и х2 в степени выше второй. Вносяэти выражения для sin3 xt и cos (xL — х2) в функцию V, получим
/>
Или, упрощая
/>
Составим матрицукоэффициентов квадратичной части функции
V (по главной диагонали стояткоэффициенты при квадратах переменных, элементы с12иC2i равны половине коэффициента при дроизведениж ххх2):
/>
Вычислим теперь главныедиагональные миноры:
/>
Отсюда следует, чтоусловие Сильвестра выполнено (все />) ипоэтому рассматриваемая функция V в окрестностипуля определенно положительна. Заметим, что на всей плоскости хгх2функция V только положительна, так как при хг= х2 = пп Щ= 0 (га — 1,2,… .) она обращается в нуль.