КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 11
ВАРИАНТ 8
1. В ящике 10 деталей, среди которых 3 бракованных.Случайно извлекли 4 детали. Найти вероятность того, что среди них окажутся двебракованных.
Будем использовать классическое определение вероятности.
/>
Четыре детали из десяти можно выбрать /> способами (число сочетаний издесяти элементов по четыре). Поэтому n — числоравновозможных событий равно т.к.
/>
Две бракованных детали из трех можно выбрать /> способами:
/>
Две стандартных детали из семи можно выбрать /> способами:
/>,
поэтому m — число благоприятных событий равно />.
/>
/>
2. ОТК проверяет изделие на стандартность.Вероятность стандартности изделия равна 0,85. Найти вероятность того, что издвух проверенных изделий только одно стандартно. Ответ записать в видедесятичной дроби.
Введем события /> — первое проверенное изделиестандартное, /> — второе проверенное изделиестандартное, /> — первое проверенное изделиенестандартное, /> — второе изделие нестандартное, /> — из двухпроверенных изделий только одно стандартное. Тогда />. События /> несовместимы, поэтомупо правилу сложения вероятностей />, получаем: />, т.к. события /> и /> — независимы,то />.
По условию:
/>
Получаем:
/>
/>
3. Три стрелка А, В, С стреляют по некоторой цели,делая не более одного выстрела. Вероятности попадания их при одном выстрелесоответственно равны 0,7, 0,8, 0,9. Стрельбу начинает А. Если он промахнется,то стреляет в. Если и В промахнется, то стреляет С. Найти вероятность (в видедесятичной дроби) того, что цель будет поражена.
Пусть событие /> — цель поражена, гипотезы: /> — первыйстрелок попал в цель, /> — первый стрелок промахнулся,второй попал, /> — первый промахнулся, второйпромахнулся, третий попал.
Вероятность события />:
/>.
По формуле умножения вероятностей ( учитывая, что вероятности промахастрелками равен соответственно />).
/>
По формуле сложения вероятностей получим:
/>
/>
4. При рентгеновском обследовании вероятностьобнаружить туберкулез равна 0,9. Вероятность принять здорового человека забольного равна 0,01. Доля больных туберкулезом ко всему населению равна 0,001.Найти вероятность того, что человек здоров, хотя он признан больным приобследовании. Ответ округлить до 0,001.
По формуле умножения вероятностей:
/>
В нашем случае
/>
Искомая вероятность:
/>
5.Стрельба продолжается до первого попадания, но не более 4-х выстрелов.Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Х – число израсходованныхпатронов. Найти (ответы вводить в виде десятичной дроби): а) ряд распределенияХ; б) функцию распределения F (х), в ответ записать F (1,5), F (3,5); в) />; г) />, ответокруглить до 0,01; д) />.
а) Случайная величина Х может принимать значения (1, 2, 3, 4). Найдемвероятности этих значений, используя правило умножения вероятностей /> (промах припервом выстреле, попадание при втором), /> (промахи при первых двухвыстрелах, попадание при третьем), /> (первые три выстрела — промах).
Запишем ряд распределения Х:Х 1 2 3 4 Р 0,6 0,24 0,096 0,064
б) Функцию распределения /> найдем, пользуясь соотношением:
/>,где
/>,получаем:
/>
в) Математическое ожидание /> дискретной случайной величинынайдем по формуле:
/>
г) Дисперсию случайной величины /> найдем по формуле:
/>
д) Искомую вероятность того, что случайная величина Х примет значение /> найдем поформуле:
/>,т.е. />
6. Дана плотность распределения случайной величины Х:
/>
Найти: а) константу А; б) функцию распределения />, в ответ записать
F(3); в) />; г) />,; д) />
а) Из условия нормировки /> следует, что />, откуда
/>,т.е. />.
б) Воспользуемся формулой
/>
Если
/>,
поэтому
/>,при />.
Если />,
/>.
Получаем:
/>
в) Применяем формулу:
/>
г) Применяем формулу:
/>
д) Применим формулу:
/>
7. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение Хее контролируемого размера от номинала не превышает 18 мм. Величина Храспределена нормально, причем σ х =9 мм. Найти вероятность того, чтодеталь будет признана годной. Ответ округлить до 0,01.
Применим формулу:
/>
где
Δ — допустимое отклонение;
σ — среднее квадратическое отклонение,
/>этафункция табулирована, ее значение берем из таблицы.
Получаем:
/>.
Из таблицы находим
/>.
/>
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 12
ВАРИАНТ 8
1. Дана матрица распределения вероятностей системы (X,Y) Х Y -1 3 2 0,11 0,25 0,14 3 0,12 0,20 0,18
Найти: а) ряды распределений X и Y; б) />; в) />; г) />; д) />; е) />; ж) />, округлить до 0,01; з) рядраспределения Y, если X = 0; и) />, округлить до 0,01.
а) Суммируя по столбцам, а затем по столбцам элементы матрицыраспределения, получаем искомые ряды распределения.Х -1 3 Р 0,23 0,45 0,32 Y 2 3
Р 0,5 0,5
б) Используем формулу:
/>
в) />.
г) Используем формулу:
/>
д) />.
е) Используем формулу:
/>
ж) />.Вычитаем по формуле:
/>
з) Используем формулу:
/>
Получаем ряд распределения:
/> 2 3 Р
/>
/>
и) />
2. Дана плотность распределения вероятностей системы (X, Y)
/>
Найти: а) константу
С; б) />; в) />; г) />; д) />; е) />; ж) />; з) />; и) F(2,10); к) />
а) Константу С найдем из условия нормировки:
/>
Найдем уравнение прямой ОВ:
/>
Получим:
/>
б) Используем формулы:
/>
/>,если x4, если0
/>
/>,если у1, если 0
/>
в) По формуле
/>
получаем:
/>
г) />.
д)/>
е)/>
ж) />.
/>,
где D — область, лежащая внутри треугольника ОАВ
/>
з) />.
и) />,
где D — треугольник ОСD:
/>
к) />
При/>величина x меняется равномерно от /> до />, поэтому />
3. По данным выборки объема n = 12 нормально распределенной случайнойвеличины Х найдена исправленная дисперсия s = 5,1. Найти доверительныйинтервал, содержащий среднее квадратичное отклонение /> величины Х с вероятностью 0,99. Вответ ввести координату правого конца интервала.
Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение S’:
/>
Доверительный интервал ищем в виде:
/> или/> взависимости от величины q, которое находим из таблицы.
При n=12, γ=0,99находим q=0,9, следовательно, т.к. q
/>.
/>
или />