Министерство Образования Российской Федерации
Вятский Государственный Гуманитарный УниверситетМатематическийфакультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Выпускная квалификационная работа
Операторы проектирования.
Выполнилстудент 5курса
математическогофакультета
ЛежнинВ.В.
/подпись/
/>
Научныйруководитель:
Старшийпреподаватель кафедры математического анализа и МПМ
ГукасовА.К.
/подпись/
/>
Рецензент:
Старшийпреподаватель кафедры математического анализа и МПМ
ПодгорнаяМ.И.
/подпись/
/>
Допущена к защите в ГАК
/>Зав.кафедрой М.В. Крутихина
/>/> /подпись/ >Декан факультета В.И.Варанкина
/>/>/> /подпись/ >
Киров
2003
Оглавление.
Введение. 2
Часть I. Основныепонятия и предложения. 2
Часть II. Дополняемостьв гильбертовых пространствах. 10
Часть III. Задача одополняемости. 13
Литература. 15
Введение.
В данной работерассматриваются операторы проектирования, которые являются частным случаевлинейных операторов, их некоторые свойства, и рассматривается вопрос: как спомощью операторов проектирования можно выяснить дополняемо множество или нет. Также освящается тема дополняемости в гильбертовых пространствах. Попутно длярассмотрения предлагаются некоторые определения и факты, на которые опираютсянужные нам утверждения. К самостоятельно выполненным заданиям относятсядоказательство замкнутости ядра (стр. 6, предложение 2), формула изменениякоэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число и решение задачио дополняемости.
Часть I. Основные понятия и предложения.
Определение. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x+z,y+z)=d(x,y), для любых x,y,z из X.
Определение. Пусть d – метрика на множестве X. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.
Определение. Векторное пространство X называется нормированнымпространством, если каждому элементу x из X сопоставлено неотрицательноевещественное число/>, именуемоенормой x, и выполняются следующие условия:
1. /> £ />+/> «x, yÎX.
2. /> = />/> »xÎX, «a — скаляра.
3. /> > 0, если x¹0.
Примеры нормированныхпространств.
1) l/> — нормированное пространство, вкотором элементы – последовательности комплексных чисел x=(x/>, …,x/>, …), удовлетворяющие условию />
норма в таком пространствеопределяется />;
2) L/>(0,1) — нормированное пространство,состоящее из функций с интегрируемым квадратом на интервале (0, 1),удовлетворяющее условию />dx = />.
3) С/>[0,2p] – пространствонепрерывных 2pпериодических функций на отрезке [0, 2p]. Норма в нем определяется /> = />
Определение. Пусть X, Y – дватопологических линейных пространства. Линейным оператором, действующим из X в Y, называетсяотображение y = Ax, где xпринадлежит X, а y принадлежит Y, удовлетворяющееусловию
A(ax/>+bx/>) = aAx/>+bAx/>.
Определение. Оператор A называется непрерывным в точке x/> области определения, если для любойокрестности V точки y/>= Ax/> существует такая окрестность U точки x/>, что Ax принадлежит V, кактолько x принадлежит пересечению областиопределения и U. Оператор A называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точкеобласти определения.
Определение. Линейныйоператор, действующийизЕ в Е/>, называетсяограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множествопереводит снова в ограниченное.
Предложение 1. Всякий непрерывный линейный операторограничен.
Доказательство.
Пусть М – подмножествоограниченного множества Е, а подмножество АМ множества Е/> не ограничено. Тогда в Е/> найдется такая окрестностьнуля V, что ни одно из множеств />АМ не содержится в V. То тогда существует такаяпоследовательность х/> из М, что ниодин из элементов />Ах/> не принадлежит V, и получается, что />х/> ® 0 в Е, но последовательность {/>Ах/>}/>не сходится к 0 в Е/>, а это противоречитнепрерывности оператора А.
В нормированныхпространствах определение ограниченности линейных операторов можносформулировать так: оператор А ограничен, если существует такая постоянная С,что для всякого f из Е
/>.
Наименьшее из чисел С,удовлетворяющее этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается/>.
Определение. Пусть X — векторное пространство. Линейное отображение P:X → X называетсяпроектором в пространстве X, если/>, т.е. P(P(x)) = Px для любого элемента x из X.
Свойства проекторов.
Пусть P проектор в X с ядром N(P) и образом R(P).
1. R(P) = N(I-P) = {xÎX, Px = x}, где I – тождественное отображение;
2. R(P)ÇN(P) = {0} и X = R(P)+N(P);
Доказательство 1.
а) Так как (I-P)P = IP-/> = P-P = 0, то R(P) содержится в N(I-P);
б) Если x принадлежит N(I-P), то x-Px = 0, следовательно, x = Px принадлежит R(P), значит N(I-P) содержится в R(P);
Таким образом, из а) и б)следует, что R(P) = N(I-P).
Доказательство 2.
Если x принадлежит пересечению R(P) и N(P), то x=Px=0, а следовательно, R(P) и N(P) пересекаются по {0};
Для любого x из X можно представить в виде x=Px+(x-Px), где Pxпринадлежит R(P) и x-Px принадлежит N(P), значит X=R(P)+N(P);
Определение. М –замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Если в X существует такое замкнутое подпространство N, что X=M+N и MÇN={0},то говорят, что М дополняемо в X ичто X является прямой суммой подпространствX=MÅN.
Определение. Топологическоевекторное пространство X называется F-пространством, если топологияпорождается некоторой полной инвариантной метрикой.
Теорема oзамкнутом графике.
Предположим, что X и Y являются F-пространствами,отображение Т:X→Y линейно и множество G={(x, Tx): xÎX} (егографик) замкнуто в X´Y. ТогдаТ – непрерывно.
Предложение 2. Пусть Ù — линейный функционал натопологическом векторном пространстве X. Допустим, чтоÙx ¹0 для некоторого x из X.
Тогда если Ù непрерывен, то ядро N(Ù) замкнуто в X.
Доказательство.
Так как N(Ù) = Ù/>({0}), а {0} – замкнутое множество поля скаляров (каклюбое одноточечное подмножество), то тогда непрерывность Ù влечет замкнутость ядра (как прообраззамкнутого множества при непрерывном отображении).
Теорема 1.
а) Если Р – непрерывныйпроектор в топологическом векторном пространстве X, то Xпредставляется в виде прямой суммы подпространств X=R(P)ÅN(P);
б) Обратно: если Хявляется F-пространством и X представляется в виде прямой суммы подпространств Х=АÅВ, то проектор Р с образом А и ядромВ непрерывен.
Доказательство:
а) Так как Р и I-P непрерывны, то подпространства N(P) и R(P)=N(I-P) замкнуты (см. предложение 2), значит по второму свойствупроекторов X=R(P)ÅN(P);
Чтобы доказать б)достаточно проверить, что проектор Р удовлетворяет условиям теоремы о замкнутомграфике .
Пусть последовательности x/>→x и Px/>→y.
Так как Px/> принадлежит А, А – замкнуто,следовательно y принадлежит A, а значит y = Py.
Аналогично x/> — Px/> принадлежит В, В – замкнуто,следовательно x-y принадлежит B,значит Py = Px поэтому y = Px. Получили, что точка (x, y) принадлежит G (см. теорему озамкнутом графике). Отсюда вытекает, что проектор Р непрерывен.
Определение. Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией,относительно которой групповые операции в G непрерывны.
Расшифровка этогоопределения состоит в том, что постулируется непрерывное отображение j:G´G®G, определенного равенством: j(x,y)=xy/>.
Определение. Топологическая группа G, топология которой компактна,называется компактной группой.
Определение. Топологическое векторноепространство X называетсялокально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержитнепустое выпуклое открытое подмножество.
Определение.Пространство Xназывается пространством Фреше, если оно является локально выпуклым F-пространством.
Определение.Предположим, что топологическое векторное пространствоX и топологическая группа G связаны следующим образом: кждомуэлементу s из G сопоставлен непрерывный линейный оператор T/>:X®X, причем
T/> = T/>T/>, где s, t принадлежат G
и отображение (s, x) ® T/>x прямого произведения G´X в пространстве Xнепрерывно. В этом случае говорят, что группа G непрерывно и линейно действует в пространстве X.
Теорема 2.
Пусть Y – дополняемое подпространство ФрешеХ, и пусть компактная группа G непрерывна илинейно действует на Х, причем Т/>(Y)ÌY для любого sÎG. Тогдасуществует непрерывный проектор Qпространства Х на подпространство Y, коммутирующий со всеми операторами Т/>.
Лемма Фату. Пусть на множестве E задана последовательность измеримых,почти всюду конечных функций f/> (x), которая сходится по мере к некоторой почти всюду конечнойфункции f. Тогда
/>dm £ />/>dm
Пример недополняемого подпространства.
Рассмотримподпространство Y=H/> пространства Х=L/>, где L/> — пространство всех суммируемыхфункций на комплексной плоскости, а H/> состоит из всех функций L/>, для которых />(n)=0, при всех n(n) обозначает n-ый коэффициент Фурье функции f и вычисляется:
/>(n)=/>e/>dx, (n=0,/>1, />2, …). (1)
(для простоты обозначается:f(x)=f(e /> )).
В качестве группы G возьмем мультипликативную группу всех комплексных чисел, помодулю равных 1, и сопоставим каждому элементу
e />ÎG оператор сдвига t/>, полагая, что
(t/>f)(x) = f(x+s), где s –некоторое вещественное число. (2)
Теперь посмотрим, какизменяются коэффициенты Фурье при таком сдвиге: (/>)(n) =/>/>/>e />dx.
Произведем замену: x+s = t Þ x = t-s. Тогда
(/>)(n)=/>e/>d(t-s) =
= />e/>e/>dt=e/>/>e/>dt=e />/>(n),
то есть (t/>f)/>(n)= e />/>(n). (3).
Так как e />ÎG, то t/>(H/>) = H/> для любого вещественного s.
Если бы подпространство H/> было дополняемо в L/>, то из Т2. следовало бы существованиетакого непрерывного проектора Q пространства L/> на H/>, что t/>Q = Qt/> для любого вещественного s. (4).
Найдем вид проектора.Положим e/>(x)=e />. Тогда t/>e/>=e/>e/>, а так как оператор Q линеен, то
Qt/>e/> = e/>Qe/>. (5).
Из (4) и (5) следует, что
(Qe/>)(x-s) = e />(Qe/>)(x). (6).
Пусть С/> = (Qe/>)(0). При Q = 0 соотношение (6) имеет вид
Qe/> = C/>e/>. (7).
Воспользуемся тем, чтообразом оператора Q служитподпространство Н/>. Так как Qe /> принадлежит H/> для любого n, то из (7) следует, что
С/> = 0 для любого n, то С/> = 1 при любом n³0.
Таким образом, проектор Q должен являться «естественным», то естьего действие сводится к замене нулями всех коэффициентов Фурье с отрицательныминомерами:
Q(/>e/>)=/>e/>. (8).
Рассмотрим функцию f/> (x) = />e/>, (0
которая представляет собой ядроПуассона: />, в частности f/>>0. Поэтому
/> = />dx = />dx = 1 для любого r. (10) Но (Qf/>)(x) = />e/> = /> (11).
Так как />dx = ¥, то из леммы Фату следует, что /> ® ¥, при
r ® 1. В силу (10) это противоречитнепрерывности оператора Q.
Таким образом, доказано,что H/> недополняемо в L/>.
Часть II. Дополняемость в гильбертовыхпространствах.
Гильбертовопространство.
Комплексное векторноепространство Н называется пространством с внутренним произведением (унитарноепространство), если каждой упорядоченной паре векторов x,y из Нсопоставлено комплексное число (x,y), называемое скалярным и:
а) (y,x)=/>, „x, yÎH;
b) (x+y,z)=(x+z)+(y+z), “x,y, zÎH;
c) (ax,y)=a(x,y), »x, yÎH, «aÎC;/>
d) (x,x)³0, „xÎH;
e) (x,x)=0 Û x=0, “xÎH;
Если (x,y) = 0, то говорят, что x ортогонален y (обозначение x^y).
Если Е подмножество Н, F подмножество H, то Е^F обозначает, что (x,y) = 0 для любых x из E и любых y из F.
Через Е/> обозначаются все y из H, ортогональные каждому из векторов x из E.
Нормой в пространстве Нназывается число />.
Если полученноенормированное пространство является полным, то оно называется гильбертовымпространством.
Примеры гильбертовыхпространств.
1) l/> — комплексное гильбертовопространство, в котором скалярное произведение определяется формулой (x, y) = />;
2) L/>(0,1) — гильбертово пространство, вкотором скалярное произведение определено формулой
(f, g) = />dx.
Теорема3:
М – замкнутоеподпространство гильбертова пространства Н, следовательно H можно представить в виде прямой суммы M и М/> (Н=МÅМ/>,М/> - ортогональное дополнениек М).
Доказательство:
Если Е подмножество Н, тоиз линейности скалярного произведения (x,y) по x следует, что Е/> являетсяподпространством в Н. Допустим, что элементы g/> принадлежат Е/> и сходятся к g. Тогда для любого f из E
(g, f) = /> = 0, и потому g тоже входит в Е/>, значитЕ/> - замкнутое подпространство.
(1) Если х принадлежит Ми х принадлежит М/>, то (х, х) = 0,а это будет тогда и только тогда, когда х = 0, следовательно МÇМ/>={0}.
(2) Пусть х принадлежит Н.
Рассмотрим множество х-М ={х-х/>: х/>ÎМ}, причем х/> такой, что он минимизируетвеличину />. Пусть х/> = х-х/>, следовательно, />£/> для любых y из М, значит, х/> принадлежитМ/>, поэтому для любого х из Нх можно представить в виде х = х/>+х/>, где х/> из М и х/> из М/>.
Из (1) и (2) следует, что Н представимо в виде прямой суммы М и М/> Н=МÅМ/>,следовательно любое подмножество в гильбертовом пространстве дополняемо.
Примеры дополняемых подпространств вгильбертовом пространстве.
1) в l/> рассмотрим элементы x = (x/>, …,x/>, …), у которых x/>= 0 при четных n и x/> произвольные при n нечетных. Эти элементы образуют в l/> замкнутое подпространство. Назовемего X.
Рассмотрим также элементы y = (y/>, …, y/>, …), у которых y/> произвольные при четных n, и y/>= 0 при нечетных n. Эти элементы образуют замкнутое подпространствов l/>, и при этом это подпространство является ортогональнымдополнением к X, так как их скалярное произведениеравно 0. Следовательно, по Т3. Xдополняемо в H с помощью X/>.
2) L/>(0,1).
Пусть X – подпространство L/>(0,1), состоящее из тех функций L/>(0,1), которые обращаются в 0 наинтервале (0, а].
Пусть Y – подпространство L/>(0,1), состоящее из тех функций L/>(0,1), которые в ноль не обращаются на интервале [a, 1).
Тогда Y является ортогональным дополнением X, так как их скалярное произведение равно 0, а значит X дополняемо в L/>(0,1) с помощью Y.
Часть III. Задача о дополняемости.
Пусть С/>[0,2p] — множество непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0,2p].
Пусть Е – множество четных чисел ипусть
С/> ={f(x)Î С/>: />(n) = 0 „nÏE}.
Требуется доказать, что С/> дополняемо в С/>[0, 2p].
Доказательство:
Чтобы доказать требуемое, необходимо найтитакой непрерывный проектор, который бы отображал множество С/>[0, 2p] на С/>(Т1.), таким образом, чтобы коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах,отображались бы в 0, а на четных оставались бы без изменения.
Рассмотрим оператор P = />(t/>+I),где t/> - оператор сдвига на p, а I — тождественное отображение.
t/> ограничен, так как мы имеем дело с 2p периодическими функциями, так как
/> = /> =1/>, то есть С = 1.
А раз он ограничен, то следовательнои непрерывен (предложение 1).
I — тоже непрерывен.
Теперь посмотрим, как изменятсякоэффициенты Фурье функций при таком отображении.
1) n = 2k-1, где к – целое.
/>((/>)(2k-1)+(/>)(2k-1)) =
= />(e />/>(2k-1)+/>(2k-1)) = />/>(2k-1)(e />+1). (*)
Так как e />=cos j+isin j, значит e /> =cos ((2k-1)p)+isin((2k-1)p).
При любом k – целом выражение cos ((2k-1)p)+isin((2k-1)p) = -1, а, следовательно, и выражение (*) принимает значение 0. Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящиена нечетных номерах при таком отображении обращаются в 0.
2) n=2k, где k – целое.
/>((/>)(2k)+( />)(2k)) = />(e/>/>(2k)+/>(2k)) =
= />/>(2k)(e />+1). (**)
При любом k – целом выражение cos (2kp)+isin(2kp) = 1, а следовательно и выражение (**) не изменяет своего значения, тоесть равно />(2k). Мыпоказали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на четных номерах при такомотображении не изменяются, то есть оператор Р действительно являетсяпроектором.
Таким образом, нашелся такой непрерывныйпроектор P: С/>[0,2p]® С/>,следовательно С/> дополняемо в С/>[0, 2p].
Литература.
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементытеории функций и функционального анализа. М., Наука. 1989.
2. Рудин Уолтер. Функциональный анализ.М., Наука. 1975.
3. Вулих Б.З. Краткий курс в теориюфункций вещественной переменной. М., Наука. 1973.