--PAGE_BREAK--
Глава
II
. Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями
2.1. Основные соотношения
Приведем 6 групп формул, которые могут значительно облегчить решение задач, содержащих основные тригонометрические функции:
1. ;
;
.
Формулы данной группы наиболее часто используются при решении тригонометрических уравнений.
2.
Вывод
:По определению и
Заметим, что По формуле приведения имеем
Итак, аргументы и заключены в отрезке в котором синус монотонно возрастает от -1 до +1, и имеют одинаковый синус, равный . Следовательно, сами аргументы также равны, т.е. откуда и получаем тождество
3.
Вывод:Пусть Тогда
(1’)
Равенство (1’) вместе с исходным равенством равносильны следующим равенствам:
(2’)
Эти равенства вытекают из самого определения обратных тригонометрических функций.
Так как левые части всех равенств (2’) равны между собой, то равны и их правые части.
4.
5.
6.
2.2. Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции
Традиционные способы решения уравнений с обратными тригонометрическими функциями (аркфункциями) сводятся к вычислению какой-нибудь тригонометрической функции от обеих частей с последующим преобразованием полученных суперпозиций по известным тригонометрическим формулам и формулам приведенных ниже:
(13)
Формулы (13) легко выводятся из определений аркфункций и основных тригонометрических тождеств. Приведенные формулы можно дополнить подобными им формулами, полученными на основе двух тождеств
(14)
и формул приведения.
Основным недостатком упомянутых способов решения является нарушение равносильности уравнения в процессе его преобразования, вследствие чего можно ожидать появления “лишних” корней. Выявление лишних решений путем подстановки в исходное уравнение зачастую вызывает большие трудности либо а) из-за сложности вычислений не табличных значений аркфункций, либо б) в связи с тем, что полученное множество решений бесконечно.
Существует метод решения уравнения с аркфункциями, в процессе которого “лишние” корни вообще не возникают. Метод реализуется в трех приводимых ниже подходах, которые различаются в зависимости от числа аркфункций, участвующих в уравнении.
Подход(
I
): Исходное уравнение содержит две аркфункции. Разнесем их в разные части уравнения. Зададим двумя неравенствами области изменения левой и правой части уравнения. Ввиду монотонности аркфункций эти неравенства легко разрешаются относительно аргументов указанных функций. Решение последней системы неравенств и определяет тот промежуток, которому принадлежат корни исходного уравнения.
Задача 1.
Решить уравнение
Решение:Для сравнения воспользуемся сначала традиционной схемой решения.
ОДЗ:
Далее,
С учетом ОДЗ,
В полученном интервале содержится бесконечное множество “лишних” решений, удаление которых превращается здесь в отдельную задачу.
Альтернативное решение, использующее метод (I):
Положим Так как и то исходное уравнение равносильно следующей системе:
Ответ:
Задача 2.Решить уравнение
Решение:Положим Перепишем уравнение в виде:
Так как то исходное уравнение равносильно системе:
Ответ:
Задача 3.Решить уравнение
Решение:Обозначим
Так как и то и
Уравнение принимает вид причем
и
Так как — интервал монотонности тангенса, то уравнение равносильно уравнению
Переходя к уравнению
можно потерять те корни, для которых и не существует. В данном случае этого не произойдет, поскольку
А правые части существуют всегда. Получаем уравнение
которое после преобразований принимает вид
Так как уравнение не имеет решений, то остается
Ответ:
Подход (
II
): Пусть исходное уравнение содержит более двух аркфункций. В этом случае равносильность преобразований сохраняется при использовании следующих схем решения:
(II.1)
(II.2)
При решении задач проверка неравенств или не вызывает сложностей и сводится к сопоставлению областей изменения входящих в уравнение аркфункций.
Задача 4.Решить уравнение:
Решение:Положим Исходное уравнение равносильно системе:
Так как то достаточно убедиться, что
Правое неравенство верно в силу границ изменения арктангенса. Левая часть неравенства следует из того, что при
Ответ:
Задача 5.Решить уравнение:
Решение:Положим Тогда исходное уравнение равносильно системе:
(*)
Последнее неравенство с очевидностью следует из неравенств задающих промежутки изменения переменных. Поэтому система (*) равносильна следующей системе:
Корень первого уравнения системы является решением исходного уравнения. После сокращения первого уравнения на возводим его в квадрат.
Так как
То
Ответ:
Задача 6.Решить уравнение
Решение:Пусть
Так как то обе части уравнения лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение равносильно такому:
или
После упрощений получим уравнение
имеющее единственный корень Делаем проверку и убеждаемся, что является корнем предыдущего уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.
Ответ:
Задача 7.Решить уравнение
Решение:Введем обозначения
Данное уравнение принимает вид или Обе части уравнения лежат в интервале Если взять котангенсы от обеих частей уравнения, то можно потерять лишь корень, которому соответствует значение углов, равное 0, так как это – единственное значение из интервала в котором котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться равенство Если то откуда и При получаем, что Таким образом, — корень уравнения.
Если то от обеих частей уравнения можно взять котангенсы:
Что приведет к следствию исходного уравнения. Раскрыв скобки и подставив выражения тригонометрических функций и через получим уравнение
которое равносильно системе
Получаем два значения неизвестного: Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют данному уравнению.
продолжение
--PAGE_BREAK--