Реферат по предмету "Математика"


Обратные тригонометрические функции

--PAGE_BREAK--
Глава
II
. Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями
2.1. Основные соотношения

Приведем 6 групп формул, которые могут значительно облегчить решение задач, содержащих основные тригонометрические функции:

1.      ;

;



      . 

Формулы данной группы наиболее часто используются при решении тригонометрических уравнений.

2.  

Вывод
:По определению      и   

Заметим, что  По формуле приведения имеем



Итак, аргументы  и   заключены в отрезке  в котором синус монотонно возрастает от -1 до +1, и имеют одинаковый синус, равный . Следовательно, сами аргументы также равны, т.е.  откуда и получаем тождество    

   

3.

Вывод:Пусть  Тогда

                                                                                                   (1’)

Равенство (1’) вместе с исходным равенством равносильны следующим равенствам:

                                                                                             (2’)

Эти равенства вытекают из самого определения обратных тригонометрических функций.

Так как левые части всех равенств (2’) равны между собой, то равны и их правые части.                                

 

    

    

4.

    

   

   

    

   

    

   

5.

   

   

   

6.

   

   
2.2. Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции

Традиционные способы решения уравнений с обратными тригонометрическими функциями (аркфункциями) сводятся к вычислению какой-нибудь тригонометрической функции от обеих частей с последующим преобразованием полученных суперпозиций по известным тригонометрическим формулам и формулам приведенных ниже:













                                                                                                       (13)







Формулы (13) легко выводятся из определений аркфункций и основных тригонометрических тождеств. Приведенные формулы можно дополнить подобными им формулами, полученными на основе двух тождеств

                                                                                           (14)

 

и формул приведения.

Основным недостатком упомянутых способов решения является нарушение равносильности уравнения в процессе его преобразования, вследствие чего можно ожидать появления “лишних” корней. Выявление лишних решений путем подстановки в исходное уравнение зачастую вызывает большие трудности либо а) из-за сложности вычислений не табличных значений аркфункций, либо б) в связи с тем, что полученное множество решений бесконечно.

Существует метод решения уравнения с аркфункциями, в процессе которого “лишние” корни вообще не возникают. Метод реализуется в трех приводимых ниже подходах, которые различаются в зависимости от числа аркфункций, участвующих в уравнении.

   Подход(
I
):  Исходное уравнение содержит две аркфункции. Разнесем их в разные части уравнения. Зададим двумя неравенствами области изменения левой и правой части уравнения. Ввиду монотонности аркфункций эти неравенства легко разрешаются относительно аргументов указанных функций. Решение последней системы неравенств и определяет тот промежуток, которому принадлежат корни исходного уравнения.

Задача 1.
Решить уравнение



Решение:Для сравнения воспользуемся сначала традиционной схемой решения.

ОДЗ:

Далее,



С учетом ОДЗ,

В полученном интервале содержится бесконечное множество “лишних” решений, удаление которых превращается здесь в отдельную задачу.

Альтернативное решение, использующее метод (I):

Положим Так как  и  то исходное уравнение равносильно следующей системе:





Ответ:

Задача 2.Решить уравнение



Решение:Положим  Перепишем уравнение в виде:



Так как   то исходное уравнение равносильно системе:







Ответ:

Задача 3.Решить уравнение



Решение:Обозначим



Так как  и  то  и 

Уравнение принимает вид  причем

 и 

Так как — интервал монотонности тангенса, то уравнение  равносильно уравнению

Переходя к уравнению  



можно потерять те корни, для которых  и  не существует. В данном случае этого не произойдет, поскольку



А правые части существуют всегда. Получаем уравнение



которое после преобразований принимает вид



Так как уравнение  не имеет решений, то остается

Ответ:

Подход  (
II
):  Пусть исходное уравнение содержит более двух аркфункций. В этом случае равносильность преобразований сохраняется при использовании следующих схем решения:

(II.1)

(II.2)

При решении задач проверка неравенств  или  не вызывает сложностей и сводится к сопоставлению областей изменения входящих в уравнение аркфункций.

Задача 4.Решить уравнение:

Решение:Положим  Исходное уравнение равносильно системе:



Так как  то достаточно убедиться, что

Правое неравенство верно в силу границ изменения арктангенса. Левая часть неравенства следует из того, что  при 

Ответ:

Задача 5.Решить уравнение:

Решение:Положим   Тогда исходное уравнение равносильно системе:

                                                                                                  (*)

Последнее неравенство с очевидностью следует из неравенств  задающих промежутки изменения переменных. Поэтому система (*) равносильна следующей системе:

Корень первого уравнения системы  является решением исходного уравнения. После сокращения первого уравнения на  возводим его в квадрат.



Так как 

То 

Ответ:

Задача 6.Решить уравнение   

Решение:Пусть



Так как   то обе части уравнения лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение равносильно такому:



или

                                      

После упрощений получим уравнение



имеющее единственный корень   Делаем проверку и убеждаемся, что   является корнем предыдущего уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.

Ответ:

Задача 7.Решить уравнение



Решение:Введем обозначения



Данное уравнение принимает вид  или   Обе части уравнения лежат в интервале  Если взять котангенсы от обеих частей уравнения, то можно потерять лишь корень, которому соответствует значение углов, равное 0, так как это – единственное значение из интервала  в котором котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться равенство  Если  то откуда  и  При  получаем, что  Таким образом, — корень уравнения.

Если  то от обеих частей уравнения можно взять котангенсы:   



Что приведет к следствию исходного уравнения. Раскрыв скобки и подставив выражения тригонометрических функций  и   через   получим уравнение



которое равносильно системе



Получаем два значения неизвестного:  Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют данному уравнению.
    продолжение
--PAGE_BREAK--


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат History of San Marino
Реферат Программа курса «Язык рекламы»
Реферат Вода. Растворы. Основания. Галогены
Реферат Маркетинговая политика продвижения продукции пластиковые окна
Реферат Поняття та види форм державного устрою у зарубіжних країнах
Реферат Борьба за власть в коммунистической партии в 20-е гг. Причины победы Сталина
Реферат Інформаційна технологія класифікації клінічних діагнозів на основі семантико синтаксичної моделі
Реферат Социально-педагогические особенности отношения к браку и предбрачным отношениям современной молодежи
Реферат Каунда, Кеннет
Реферат Теплая или холодная зима – отчего это бывает?
Реферат Операционная система UNIX 4
Реферат Прокуратура при Петре I и его преемниках. Генерал-прокурор П.И. Ягужинский
Реферат Место и роль государства в политической системе общества
Реферат Анализ бизнес среды
Реферат Анализ и формирование организационных структур