Федеральное агентство по образованию
Среднего профессиональногообразования
«Профессиональный лицей №15»
Кафедра: Станочник (металлообработка)
Контрольная работа
по курсу: «Математика»
на тему: «Область определения функции»
Выполнил студент гр. Т 102
Бахирев Я.А.
Проверил: Корнилова Н.Г.
Воткинск
2010
1. Решить неравенство
x2– 3x+5
x-1
Решение.
Для решения неравенств,правая часть которых – нуль, а левая – алгебраическая дробь, т.е., неравенстввида используем метод интервалов.
Обозначим f(x) x2-3x+5и найдем область определения
x-1
D(f) функция f(x). Для этого определим нули знаменателя функции:
x-1=0, x=1,D(f)=(-;1) (1;).
Найдем нули функции f(x). Для этого решим уравнение:
x2— 3x+5x2-3x+5=0 (1)
x-1x-1=0 (2)
Решая уравнение (1),получим:
x2— 3x+5=0, D= (-3)2-4 1 5=9-20уравнение не имеет решений.
Функция f(x) непрерывна на множестве D(f) и не имеет нулей. Точка 1 разбивает область определенияна промежутки знакопостоянства значений функции. Определим знак значенияфункции f(x) на каждом промежутке знакопостоянства.
Для этого достаточноопределить знак значения функции в любой точке промежутка:
f(0) 02-30+5 f (2)= 22-3 2+5
0-1 2-1
Отметим, для наглядности,на рисунке промежутки знакопостоянства значений функции f(x) и запишем решения данного неравенства:
f (x) (x)>0
f (x) >0, x c (1;).
Ответ: (1;).
2. Решить неравенство
Log5(3x+1)
Решение.
Используя свойствалогарифмов положительныхчисел
loga a=1
m loga b =loga bm
преобразуем неравенство кпростейшему логарифмическому неравенству вида
loga f (x)
Log5(3x+1)
При a>1 функция y=logatв области определения D(loga), задаваемой неравенством t> 0, монотонно возрастает, то есть, если t1>t2>0, тоlogat1 >logat2.Учитывая это, запишем затем, используем формулуперехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному неравенству:
Еслиa > 1, то
Loga f(x) ó0
log5(3x+1)
11
3 с3; 8.
1
Ответ:3; 8.
3. Найдите все решенияуравнения
sinx cosx – v3cosx = 0, принадлежащие отрезку |0; 2 п|.
Решение.
Разложим на множителилевую часть уравнения и, учитывая условие задачи, что x с |0; 2п|, в результате получим следующую систему:
sinx cosx –v3cosx=0, cosx(sinx-v3)=0.
|cosx=0
|sinx-v3=0
0x2п
Используя формулурешения простейшего тригонометрического уравнения
cosf(x)=0ó f(x)=п +пn, n c Z 2
Решим уравнение (1):
cosx=0, x=п+пn,n с Z
Подставляя (4) в двойноенеравенство (3), получим:
0+пn2п, п пn2п п
222, п пn 1 n 3
2 п п 2 п, 2 2.
Так как n с Z, то n=0и n =1. Подставляя n=0 и n=1
в уравнение (4), получим:
sinx=v3 – решений нет, так как — 1sinx1 при любых значениях x.
Ответ: п 3п
2, 2.
4. Найдите наименьшеезначение функции
f(x)=3x2-18x+7 на промежутке [-5; -1].
Решение.
Функция непрерывна идифференцируема в каждой точке промежутка |-5; -1|.
Наименьшее (инаибольшее) значения непрерывной на отрезке функции могут достигаться либо на концахотрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.
Найдем производную f(x) функции f(x), используя свойства производной(теоремы о дифференцировании суммы функций и о вынесении постоянного множителяза знак производной) и формулу дифференцирования степенной функции: